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1、2022年高三數(shù)學專題復習 中檔題滿分練（3）理
1．已知向量a＝(2sin x，－cos x)，b＝(cos x，2cos x)，f(x)＝a·b＋1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期，并求當x∈
時f(x)的取值范圍；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若g＝1，a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面積．
2.如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝1，PB＝PD＝，點E在PD上，且PE＝2ED.
(1)求二面角P－AC－E的大小；
(2)試在棱PC上確
2、定一點F，使得BF∥平面AEC.
3．(xx·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)，g(x)＝ax2－x＋5，其中a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)，g(x)存在相同的零點，求a的值．
(2)若存在兩個正整數(shù)m，n，當x0∈(m，n)時，有f(x0)<0與g(x0)<0同時成立，求n的最大值及n取最大值時a的取值范圍．
4．(xx·無錫質檢)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知點(an－1，an)(n∈N*，n≥2)在函數(shù)y＝3x的圖象上，且S4＝80.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)在an與an＋1之間插入
3、n個數(shù)，使這n＋2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列，設數(shù)列的前n項和為Pn.
①求Pn；②若16Pn＋≤成立，求n的最大正整數(shù)值．
中檔題滿分練(三)
1．解 (1)f(x)＝a·b＋1＝2sin xcos x－2cos2x＋1
＝sin 2x－cos 2x＝2sin
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
當x∈時，－≤2x－≤π，sin∈，
因此f(x)的取值范圍是[－，2]．
(2)依題意，g(x)＝f＝2sin＝2cos 2x.
由g＝1，得2cos A＝1，∴cos A＝，
∵0＜A＜π，∴A＝，
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2
4、－3bc，
∴4＝42－3bc，則bc＝4，
故S△ABC＝bcsin A＝×4×sin＝.
2．解 (1)∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝AC＝1，
在△PAB中，由PA2＋AB2＝2＝PB2，知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，且AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD.
建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，
則A(0，0，0)，B，C，P(0，0，1)，D(0，1，0)，E.
∴＝，＝.
設平面ACE的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
取y＝－，則n＝(1，－，2)．
同理，平面ACP的一個法向量為m＝，
∴cos〈n，m〉＝＝＝，
5、
∴〈n，m〉＝60°.
故二面角P－AC－E的大小為60°.
(2)設＝λ (0＜λ＜1)，
∵＝，＝，
∴＝＋＝＋λ＝＋
＝，
由BF∥平面AEC，知⊥n，
∴(λ－1)×1＋(λ＋1)×(－)＋(1－λ)×2＝0，
解得λ＝.
∴當點F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC.
3．解 (1)解方程x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝0得：x＝－4，或x＝a＋5，
由函數(shù)f(x)，g(x)存在相同的零點，
則－4，或a＋5為方程ax2－x＋5＝0的根，
將－4代入ax2－x＋5＝0：得16a＋9＝0，解得：a＝－，
將a＋5代入ax2－x＋5＝0得：a3＋10a2＋
6、24a＝0，解得：a＝－6，或a＝－4，或a＝0，
綜上a的值為－，或－6，或－4，或0.
(2)令f(x)<0，則－40，
即a>－5，
即N＝(0，a＋5)，
令g(x)<0，即ax2－x＋5<0的解集為M，
則由題意得區(qū)間(m，n)?M∩N.
①當a<0時，因為g(0)＝5>0，
故只能g(a＋5)＝a[(a＋5)2－1]<0，
即a>－4，或a<－6，
又因為a>－5，
所以－4
7、M∩N＝?，不合題意，
③當a>0時，因為g(0)＝5>0，
所以g(a＋5)＝a[(a＋5)2－1]>0，
故無解，
綜上，n的最大值為4，a的取值范圍是－1≤a≤－.
4．解 (1)依題意，an＝3an－1(n∈N*，n≥2)，
∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q＝3.
又S4＝＝80，
∴a1＝2.
因此數(shù)列{an}的通項公式an＝2·3n－1.
(2)①由(1)知，an＋1＝2·3n，
依題意，dn＝＝，＝.
∴Pn＝＋＋＋…＋，(*)
則Pn＝＋＋…＋＋，(**)
(*)－(**)，Pn＝＋－
＝＋·－＝－.
∴Pn＝－.
②16Pn＋＝15－＋＝15－，
解不等式15－≤，3n≤81，則n≤4.
所以n的最大正整數(shù)為4.
2022年高三數(shù)學專題復習 中檔題滿分練（3）理
