2022年高三數(shù)學大一輪復習 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.判斷函數(shù)的奇偶性；2.利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)或參數(shù)范圍；3.函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性的綜合應用． 復習備考要這樣做　1.結(jié)合函數(shù)的圖象理解函數(shù)的奇偶性、周期性；2.注意函數(shù)奇偶性和周期性的小綜合問題；3.利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關問題． 1． 奇、偶函數(shù)的概念 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫 做偶函數(shù)． 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．

2、 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱． 2． 奇、偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反． (2)在公共定義域內(nèi)， ①兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)； ②兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)； ③一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)． 3． 周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何 值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最

3、小的正數(shù)，那么這個最小 正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． [難點正本　疑點清源] 1． 函數(shù)奇偶性的判斷 (1)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件； (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立． 2． 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) (1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (

4、3)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反． 1． (課本改編題)已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是 ________． 答案　 解析　由f(x)是偶函數(shù)知，f(x)＝f(－x)， 即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0. 又f(x)的定義域應關于原點對稱， 即(a－1)＋2a＝0，∴a＝，故a＋b＝. 2． (xx·廣東)設函數(shù)f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，則f(－a)＝________. 答案?。? 解析　

5、令g(x)＝f(x)－1＝x3cos x， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)， ∴g(x)為定義在R上的奇函數(shù)．又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10. 又g(－a)＝f(－a)－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9. 3． 設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lg x，則滿足f(x)>0的x的取值范圍是________． 答案　(－1,0)∪(1，＋∞) 解析　畫草圖，由f(x)為奇函數(shù)知：f(x)>0的x的取值范圍為(－ 1,0)∪(1，＋∞)． 　　　　

6、　　　　　　　　　　　　　　 4． 函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，則 (　　) A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù) C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函數(shù) 答案　D 解析　因為f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)， 所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 即f(－x)＝－f(2＋x)，f(－x－1)＝－f(x－1)， 即f(－x)＝－f(－2＋x)，于是f(x＋2)＝f(x－2)， 即f(x)

7、＝f(x＋4)， 所以函數(shù)f(x)是周期T＝4的周期函數(shù)． 所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)， f(－x＋3)＝－f(x＋3)， 即f(x＋3)是奇函數(shù)． 5． (xx·大綱全國)設f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f等 于 (　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)， ∴f＝

8、f ＝f＝－f＝－2××＝－. 題型一　判斷函數(shù)的奇偶性 例1　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝. 思維啟迪：確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱．若對稱， 再驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． 解　(1)由，得x＝±3. ∴f(x)的定義域為{－3,3}． 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)． (2)由，得－1

9、點對稱． ∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (3)由，得－2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定義域為[－2,0)∪(0,2]，關于原點對稱． ∴f(x)＝＝. ∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函數(shù)． 探究提高　判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件： (1)定義域關于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域?qū)鉀Q問題是有利的； (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立． 下列函數(shù)： ①f(

10、x)＝＋；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝；⑤f(x) ＝lg . 其中奇函數(shù)的個數(shù)是 (　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 答案　D 解析?、賔(x)＝＋的定義域為{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，則f(x)＝ ＋既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)； ②f(x)＝x3－x的定義域為R， 又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)， 則f(x)＝x3－x是奇函數(shù)； ③由x＋>x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x

11、＋)的定義域為R， 又f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－ln(x＋)＝－f(x)， 則f(x)為奇函數(shù)； ④f(x)＝的定義域為R， 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， 則f(x)為奇函數(shù)； ⑤由>0得－1

12、4]時，求f(x)的解析式； (3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)． 思維啟迪：(1)只需證明f(x＋T)＝f(x)，即可說明f(x)是周期函數(shù)； (2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，進而求f(x)在[2,4]上的解析式； (3)由周期性求和． (1)證明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)． (2)解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8， 又f(

13、4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]． (3)解　∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1. 探究提高　判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x) (T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且 周期為T，函數(shù)的周期

14、性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題． 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x) ＝x，則f(105.5)＝________. 答案　2.5 解析　由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－＝－＝f(x)． 故函數(shù)的周期為4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)． ∵2≤2.5≤3，由題意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5. 題型三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 例3　設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求

15、f(π)的值； (2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積； (3)寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． 思維啟迪：可以先確定函數(shù)的周期性，求f(π)；然后根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性、周期性畫 出函數(shù)圖象，求圖形面積、寫單調(diào)區(qū)間． 解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π) ＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)， 得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1

16、)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱． 又當0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示． 當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S， 則S＝4S△OAB＝4×＝4. (3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k－1,4k＋1] (k∈Z)， 單調(diào)遞減區(qū)間為[4k＋1,4k＋3] (k∈Z)． 探究提高　函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，可以利用函數(shù)的周期性、對稱性確定函數(shù)圖象，充分 利用已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想． (1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x

17、)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增 函數(shù)，則 (　　) A．f(－25)

18、)＝f(－1)，f(11) ＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)， f(80)＝f(0)，故f(－25)

19、等式的解集是 {x|

20、(－1)＋f(x)．(3) 就是要出現(xiàn)f(M)N的形式求解． 規(guī)范解答 解　(1)令x1＝x2＝1， 有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.[2分] (2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：[4分] 令x1＝x2＝－1， 有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)為偶函數(shù)．[7分] (3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.[8分] 由f(3

21、x＋1)＋f(2x－6)≤3， 變形為f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*) ∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． ∴不等式(*)等價于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．[9分] 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0. 解得－≤x<－或－

22、，那么這個解題過程就一定是 規(guī)范的．等價轉(zhuǎn)化要做到規(guī)范，應注意以下幾點： (1)要有明確的語言表示．如“M”等價于“N”，“M”變形為“N”． (2)要寫明轉(zhuǎn)化的條件．如本例中：∵f(x)為偶函數(shù)，∴不等式(*)等價于f[|(3x＋1)(2x－ 6)|]≤f(64)． (3)轉(zhuǎn)化的結(jié)果要等價．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)?|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，則這個轉(zhuǎn)化就不等價了. 方法與技巧 1． 正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題： (1)定義域在數(shù)軸上關于原點

23、對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件； (2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式． 2． 奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)．為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要 先將函數(shù)進行化簡，或應用定義的等價形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝ ±1(f(x)≠0)． 3． 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì) 可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性． 失誤與防范 1． 判斷函數(shù)的奇偶性，首先應該判斷函數(shù)定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱 是函數(shù)具有奇偶

24、性的一個必要條件． 2． 判斷函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．對于偶函數(shù)的判斷以此類推． 3． 分段函數(shù)奇偶性判定時，要以整體的觀點進行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間 上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性. (時間：60分鐘) A組　專項基礎訓練 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx·廣東)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是 (　　) A．y＝sin x

25、 B．y＝x3 C．y＝ex D．y＝ln 答案　D 解析　由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項為奇函數(shù)，C項為非奇非偶函數(shù)，D項為偶函數(shù)． 2． (xx·天津)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為 (　　) A．y＝cos 2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0 C．y＝，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R 答案　B 解析　選項A中函數(shù)y＝cos 2x在區(qū)間上單調(diào)遞減，不滿足題意； 選項C中的函數(shù)為奇

26、函數(shù)； 選項D中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選B. 3．(xx·遼寧)若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a等于(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　∵f(－x)＝－f(x)， ∴＝－， ∴(2a－1)x＝0，∴a＝. 4． (xx·福州質(zhì)檢)已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)等于 (　　) A．－2 B．2 C．－98

27、 D．98 答案　A 解析　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的函數(shù)， ∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)， 而當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故選A. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 設函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為________． 答案?。? 解析　因為f(x)是偶函數(shù)，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化簡

28、得 x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因為上式對任意實數(shù)x都成立，所以a＝－1. 6． 設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝______. 答案　－3 解析　因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，因此f(－x)＋f(x)＝0.當x＝0時，可得f(0)＝0， 可得b＝－1，此時f(x)＝2x＋2x－1，因此f(1)＝3.又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝－3. 7． (xx·江南十校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件f＝－f(x)，且函數(shù)y ＝f為奇函數(shù)，給出以下四個命題： ①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；

29、 ②函數(shù)f(x)的圖象關于點對稱； ③函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)； ④函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)． 其中真命題的序號為________． 答案?、佗冖? 解析　由f(x)＝f(x＋3)?f(x)為周期函數(shù)，且T＝3，①為真命題；又y＝f關于(0,0) 對稱， y＝f向左平移個單位得y＝f(x)的圖象， 則y＝f(x)的圖象關于點對稱，②為真命題； 又y＝f為奇函數(shù)，∴f＝－f，f＝－f＝－f(－x)， ∴f＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，∴f(x)為偶函數(shù)，不可能為R上 的單調(diào)函數(shù)．所以③為真命題，④為假命題． 三、解答題(共25分) 8．

30、(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ (x≠0)． (1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由； (2)若f(1)＝2，試判斷f(x)在[2，＋∞)上的單調(diào)性． 解　(1)當a＝0時，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x) ，函數(shù)是偶函數(shù)． 當a≠0時，f(x)＝x2＋ (x≠0)， 取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0； f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)． ∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1， 這時f(x)＝x2＋. 任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1

31、(x1)－f(x2)＝(x＋)－ ＝(x1＋x2)(x1－x2)＋ ＝(x1－x2). 由于x1≥2，x2≥2，且x1， 所以f(x1)

32、x)是定義在R上的奇函數(shù)， 故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)． 從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期為4的周期函數(shù)． (2)解　由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)＝0. x∈[－1,0)時，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－. 故x∈[－1,0]時，f(x)＝－. x∈[－5，－4]時，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 從而，x∈[－5，－4]時，函數(shù)f(x)＝－. B組　專項能力提升 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx·安徽)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0

33、時，f(x)＝2x2－x，則f(1)等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　A 解析　∵f(x)是奇函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝2x2－x， ∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3. 2． 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 013)＋f(2 015)的值為 (　　) A．－1

34、 B．1 C．0 D．無法計算 答案　C 解析　由題意，得g(－x)＝f(－x－1)， 又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， ∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)， ∴f(x)的周期為4， ∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)， 又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0， ∴f(2 013)＋f(2 015)＝0. 3． (xx·淄博一模)設奇函數(shù)f

35、(x)的定義域為R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝， 則a的取值范圍是 (　　) A．a(chǎn)<－1或a≥ B．a(chǎn)<－1 C．－1

36、 4． (xx·浙江)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________. 答案　0 解析　∵函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|， ∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0. 5． 已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，則f(2 015)＝________. 答案　 解析　方法一　令x＝1，y＝0時，4f(1)·f(0)＝f(1)＋f(1)， 解得f(0)＝， 令x＝1，y＝1時，4f(1)·f(1)＝f(2)＋f(0)， 解得f(

37、2)＝－， 令x＝2，y＝1時，4f(2)·f(1)＝f(3)＋f(1)， 解得f(3)＝－， 依次求得f(4)＝－，f(5)＝，f(6)＝，f(7)＝， f(8)＝－，f(9)＝－，… 可知f(x)是以6為周期的函數(shù)， ∴f(2 015)＝f(335×6＋5)＝f(5)＝. 方法二　∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)， ∴構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)＝cos x， ∴f(2 015)＝cos＝. 6． 設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)＝1－x，則①2是函數(shù)f(x

38、)的周期；②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；④當x∈(3,4)時，f(x)＝x－3.其中所有正確命題的序號是________． 答案?、佗冖? 解析　由已知條件：f(x＋2)＝f(x)， 則y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，①正確； 當－1≤x≤0時0≤－x≤1， f(x)＝f(－x)＝1＋x， 函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示： 當3

39、－x)＝f(7＋x)且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1) ＝f(3)＝0， (1)試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性； (2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 011,2 011]上根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論． 解　(1)若y＝f(x)為偶函數(shù)， 則f(－x)＝f(2－(x＋2))＝f(2＋(x＋2)) ＝f(4＋x)＝f(x)， ∴f(7)＝f(3)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上， 只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函數(shù)． 若y＝f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝f(－0)＝－f(0)， ∴f(0)＝0，這些f(x)在閉區(qū)間[0,7]上， 只有f(1)＝

40、f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函數(shù)． 綜上可知：函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)∵f(x)＝f[2＋(x－2)]＝f[2－(x－2)]＝f(4－x)， f(x)＝f[7＋(x－7)]＝f(7－(x－7))＝f(14－x)， ∴f(14－x)＝f(4－x)，即f[10＋(x－4)]＝f(4－x) ∴f(x＋10)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為10. 又∵f(1)＝f(3)＝0， ∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)， f(3)＝f(3＋10n)＝0(n∈Z)， 即x＝1＋10n和x＝3＋10n(n∈Z)均是方程f(x)＝0的根． 由－2 011≤1＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403個； 由－2 011≤3＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402 個； 所以方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 011,2 011]上的根共有805個．