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1、2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 專題二第四講 思想方法與規(guī)范解答教案 理
思想方法
1.數(shù)形結(jié)合思想
所謂數(shù)形結(jié)合思想,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.
數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個方面:
(1)“以形助數(shù)”,把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);
(2)“以數(shù)解形”,把直觀圖形數(shù)量化,使形更加精確.
本專題中集合的運算、求二次函數(shù)的最值,確定函數(shù)零點問題、求不等式恒成立中參數(shù)等都經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合思想.
[例1] (xx年高考遼寧卷)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=f(x),f(x)=f(
2、2-x),且當x∈[0,1]時,f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos (πx)|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在[-,]上的零點個數(shù)為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 根據(jù)函數(shù)y=f(x)的特點確定其性質(zhì),然后根據(jù)定義域分別作出圖象求解.
根據(jù)題意,函數(shù)y=f(x)是周期為2的偶函數(shù)且0≤x≤1時,f(x)=x3,則當-1≤x≤0時,f(x)=-x3,且g(x)=|xcos (πx)|,所以當x=0時,f(x)=g(x).當x≠0時,若0
3、s πx|.
同理可以得到在區(qū)間[-,0),
(,1],(1,]上的關(guān)系式都是上式,
在同一個坐標系中作出所得關(guān)系式等號兩邊函數(shù)的圖象,如圖所示,有5個根.所以總共有6個.
[答案] B
跟蹤訓(xùn)練
已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a0;②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.
其中正確結(jié)論的序號是( )
A.①③ B.①④
C.②③
4、 D.②④
解析:利用函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合思想求解.
∵f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
由f′(x)<0,得10,得x<1或x>3,
∴f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù),
在區(qū)間(-∞,1),(3,+∞)上是增函數(shù).
又a0,
y極小值=f(3)=-abc<0,
∴00.
又x=1,x=3為函數(shù)f(x)的極值點,后一種情況不可能成立,如圖.
∴f(0
5、)<0,∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0,
∴正確結(jié)論的序號是②③.
答案:C
2.分類討論思想
分類討論思想是由問題的不確定性而引起的,需要按照問題的條件劃分為幾類,從而解決問題,在本專題中常見的分類討論思想的運用有以下兩個方面:
(1)二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值求法,注意對稱軸與區(qū)間關(guān)系;
(2)含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷,極值、最值的求法.
[例2] (xx年高考課標全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a=1,k為整數(shù),且當x>0時,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
[解析] (1)f(x)的定義域
6、為(-∞,+∞),f′(x)=ex-a.
若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
若a>0,則當x∈(-∞,ln a)時,f′(x)<0;當x∈(ln a,+∞)時,f′(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減,
在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)由于a=1,所以(x-k)f′(x)+x+1
=(x-k)(ex-1)+x+1.
故當x>0時,(x-k)f′(x)+x+1>0等價于
k<+x(x>0).①
令g(x)=+x,
則g′(x)=+1=.
由(1)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而h(1
7、)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點.設(shè)此零點為α,則α∈(1,2).
當x∈(0,α)時,g′(x)<0;當x∈(α,+∞)時,g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(α).
又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等價于k
8、:(1)因為當a=1時,f(x)=x2e-x,
f′(x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x,所以f(-1)=e,f′(-1)=-3e.
從而y=f(x)的圖象在點(-1,f(-1))處的切線方程為y-e=-3e(x+1),即y=-3ex-2e.
(2)f′(x)=2xe-ax-ax2e-ax=(2x-ax2)e-ax.
①當a=0時,若x<0,則f′(x)<0,
若x>0,則f′(x)>0.
所以當a=0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù).
②當a>0時,由2x-ax2<0,解得x<0或x>,
由2x-ax2>0,解得0
9、<.
所以當a>0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0),(,+∞)上為減函數(shù),在區(qū)間(0,)上為增函數(shù).
③當a<0時,由2x-ax2<0,解得0,解得x<或x>0.
所以,當a<0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,),(0,+∞)上為增函數(shù),在區(qū)間(,0)上為減函數(shù).
綜上所述,當a=0時,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當a>0時,f(x)在(-∞,0),(,+∞)上單調(diào)遞減,在(0,)上單調(diào)遞增當a<0時,f(x)在(,0)上單調(diào)遞減,在(-∞,),(0,+∞)上單調(diào)遞增.
考情展望
高考對本專題的考查主要是兩個方面
10、:一是在選擇填空題中考查函數(shù)圖象與性質(zhì)及應(yīng)用,二是在解答題中考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,常與不等式聯(lián)系,難度較大,多涉及含參數(shù)問題.
名師押題
【押題】 設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-p(x-1),p∈R.
(1)當p=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1),對任意x≥1都有g(shù)(x)≤0成立,求p的取值范圍.
【解析】 (1)當p=1時,f(x)=ln x-x+1,其定義域為(0,+∞).所以f′(x)=-1.
由f′(x)=-1>0得01.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1
11、,+∞).
(2)由函數(shù)g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)
=xln x+p(x2-1)(x>0),得g′(x)=ln x+1+2px.
由(1)知,當p=1時,f(x)≤f(1)=0,
即不等式ln x≤x-1成立.
①當p≤-時,g′(x)=ln x+1+2px≤(x-1)+1+2px=(1+2p)x≤0.
即函數(shù)g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,從而g(x)≤g(1)=0,滿足題意;
②當-
0,1+2px>0,從而g′(x)=ln x+1+2px>0,即函數(shù)g(x)在(1,-)上單調(diào)遞增,從而存在x0∈(1,-)使得g(x0)>g(1)=0,不滿足題意;
③當p≥0時,由x≥1知g(x)=xln x+p(x2-1)≥0恒成立,此時不滿足題意.
綜上所述,實數(shù)p的取值范圍為