2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第36講 空間向量及其應用教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第36講 空間向量及其應用教案 新人教版 一．課標要求： （1）空間向量及其運算 ① 經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程； ② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示； ③ 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示； ④ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。 （2）空間向量的應用 ① 理解直線的方向向量與平面的法向量； ② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系； ③ 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）； ④ 能用

2、向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。 二．命題走向 本講內容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應用。本講是立體幾何的核心內容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運算，結合主觀題借助空間向量求夾角和距離。 預測07年高考對本講內容的考查將側重于向量的應用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度。 三．要點精講 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向

3、量。如位移、速度、力等。 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。 說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移。 2．向量運算和運算率 加法交換率： 加法結合率： 數(shù)乘分配率： 說明：①引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。 3．平行向量(共線向量)：如果表

4、示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作∥。 注意：當我們說、共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。 共線向量定理：對空間任意兩個向量（≠）、，∥的充要條件是存在實數(shù)使＝ 注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質定理：若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實數(shù)，使＝（≠0），則有∥（若用此結論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）。 ⑵對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量。 ⑶

5、若直線l∥，，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導的表達式。 推論：如果?l為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式 ① 其中向量叫做直線l的方向向量。 在l上取，則①式可化為 ② 當時，點P是線段AB的中點，則 ③ ①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點公式。 注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點共線問題。⑶結合三角形法則記憶方程。 4．

6、向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內，我們就說向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別。 共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理 如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使① 注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質和判定兩個方面。 推論：空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數(shù)對x、y，使 ④ 或對空間任一定點O，有⑤ 在平面MAB內，點P對應的實數(shù)對（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于對于空間

7、任意一點P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內；對于平面MAB內的任意一點P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。 5．空間向量基本定理：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組x, y, z, 使 說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可

8、以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。 推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數(shù)組，使 6．數(shù)量積 （1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作 A B O （1） O A B （2） A

9、B O （3） 說明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=； ⑵如果=，則稱與互相垂直，記作⊥； A B O （4） ⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同， 圖（3）中∠AOB=， 圖（4）中∠AOB=, 從而有==. （2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。 （3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。 A B l 即=， 向量: （4）性質與運算率 ⑴。 ⑴ ⑵⊥=0 ⑵= ⑶

10、⑶ 四．典例解析 題型1：空間向量的概念及性質 例1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；②為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（ ） ①② ①③ ②③ ①②③ 解析：對于①“如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系一定共線”；所以①錯誤。②③正確。 點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。 例2．下列命題正確的是（

11、 ） 若與共線，與共線，則與共線； 向量共面就是它們所在的直線共面； 零向量沒有確定的方向； 若，則存在唯一的實數(shù)使得； 解析：A中向量為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證不為零向量。 答案C。 點評：零向量是一個特殊的向量，時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質，要兼顧。 題型2：空間向量的基本運算 例3．如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ） 解析：顯然； 答案為A。 點評：類比平面向量表達平面位置關系過程，掌握好空間向量的用途

12、。用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力。 例4．已知：且不共面.若∥,求的值. 解：∥,,且即 又不共面, 點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。 題型3：空間向量的坐標 例5．（1）已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（　?。? A. ：||=：||　　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零實數(shù)k，使=k （2）已知向量=（2，4，x

13、），=（2，y，2），若||=6，⊥，則x+y的值是（　　） A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1 （3）下列各組向量共面的是（　?。? A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5) B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1) C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1) D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1) 解析：（1）D；點撥：由共線向量定線易知； （2）A　點撥：由題知或； （3）A　點撥：由共面向量基本定理可得。 點評：空間向量的坐標運算除了數(shù)量積外就是考察共線

14、、垂直時參數(shù)的取值情況。 例6．已知空間三點A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k－2互相垂直，求k的值. 思維入門指導：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用，套用公式即可得到所要求的結果. 解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=， ∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）. (1)cos==－， ∴和的夾角為－。 (2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2）， ∴（k－1，k，2）·（k+2，

15、k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。 則k=－或k=2。 點撥：第（2）問在解答時也可以按運算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。 題型4：數(shù)量積 例7．(xx江西、山西、天津理，4)設、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不與垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案：D 解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結合律.故①假

16、； ②由向量的減法運算可知||、||、|－|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真； ③因為［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假； ④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立.故④真. 點評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律。 例8．（1）（xx上海文，理2）已知向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，則（2－）·=_____. （2）設空間兩個不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。

17、 解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。 （2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1. 又∵與的夾角為，∴·=||||cos==. 又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。 另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。 (2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解. ∴或同理可得或 ∵≠，∴或 ∴cos<，>=·+·=+=. ∵0≤<，>≤π，∴<，>=。 評述：本

18、題考查向量數(shù)量積的運算法則。 題型5：空間向量的應用 例9．（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：++≤4。 （2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點M1（1，-2，1）移到點M2(3，1，2)，求物體合力做的功。 解析：（1）設=(，，)，=(1，1，1)， 則||=4，||=. ∵·≤||·||， ∴·=++≤||·||=4. 當==時，即a=b=c=時，取“=”號。 （2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。 點評：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，則

19、由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查||·||≥·的應用，解題時要先根據(jù)題設條件構造向量，，然后結合數(shù)量積性質進行運算?？臻g向量的數(shù)量積對應做功問題。 例10．如圖,直三棱柱中,求證: 證明： 同理 又 設為中點,則 又 點評：從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關系問題，要用到空間多邊形法則，向量的運算，數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條件。 五．思維總結 本講內容主要有空間直角坐標系，空間向量的坐標表示，空間向量的坐標運算，平行向量，垂直向量坐標之間的關系以及中點公式.

20、空間直角坐標系是選取空間任意一點O和一個單位正交基底｛i，j，k｝建立坐標系，對于O點的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點的坐標，直線的坐標表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關系和性質；空間向量的坐標運算同平面向量類似，具有類似的運算法則.一個向量在不同空間的表達方式不一樣，實質沒有改變.因而運算的方法和運算規(guī)律結論沒變。如向量的數(shù)量積a·b=|a|·|b|cos在二維、三維都是這樣定義的，不同點僅是向量在不同空間具有不同表達形式.空間兩向量平行時同平面兩向量平行時表達式不一樣，但實質是一致的，即對應坐標成比例，且比值為，對于中點公式要熟記。 對本講內容的考查主要分以下三類： 1．以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質 此類題一般難度不大，用以解決有關長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。 2．向量在空間中的應用 在空間坐標系下，通過向量的坐標的表示，運用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質。 在復習過程中，抓住源于課本，高于課本的指導方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本。因此，掌握雙基、精通課本是本章關鍵。