2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)與平面向量過(guò)關(guān)提升 文

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1、2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)與平面向量過(guò)關(guān)提升 文 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．已知向量a＝(2，1)，b－a＝(－3，k2－3)，則k＝2是a⊥b的____條件． 2．要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向________平移________個(gè)單位． 3．(xx·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|＜π)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝________． 4．(xx·全國(guó)卷Ⅰ改編)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，＝x＋y，則x＋y＝______________． 5．已知|a|＝4，|

2、b|＝1，且〈a，b〉＝π，當(dāng)|a＋xb|取得最小值時(shí)，則實(shí)數(shù)x的值為________． 6．已知sin α－cos α＝，則2cos2＝________． 7．(xx·山東高考)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60°，則·＝________． 8．(xx·浙江高考)函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是______，單調(diào)遞減區(qū)間是________． 9．已知sin＋sin＝，且θ∈，則cos＝________． 10．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則ω＝________，φ＝________． 11．(xx·濰坊二模)

3、已知G為△ABC的重心，令＝a，＝b，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交AB、AC于P、Q兩點(diǎn)，且＝ma，＝nb，則＋＝________． 12．已知函數(shù)f(x)＝2cos(x＋φ) ，且f(0)＝1，f′(0)>0，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位，得函數(shù)y＝g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在[0，π]上的最小值為________． 13．(xx·四川高考)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點(diǎn)M，N滿足＝3，＝2，則·＝________． 14．(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝________． 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答

4、應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)(xx·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝sincos－sin2. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間[－π，0]上的最小值． 16．(本小題滿分14分)(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos A＝. (1)求·； (2)若c－b＝1，求a的值． 17．(本小題滿分14分)(xx·廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (

5、1)若m⊥n, 求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 18．(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝sin x－cos x，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)． (1)求函數(shù)g(x)＝f(x)f′(x)－f2(x)的最大值和最小正周期； (2)若f(x)＝2f′(x)，求的值． 19．(本小題滿分16分)(xx·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. (1)求tan C的值； (2)若△ABC的面積為3，求b的值． 20．(本小

6、題滿分16分)(xx·江蘇高考)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C. 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的長(zhǎng)； (2)問(wèn)：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ (3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控

7、制在什么范圍內(nèi)？ 專題過(guò)關(guān)·提升卷 1． 充分不必要　[由a＝(2，1)，b－a＝(－3，k2－3)， 得b＝(－1，k2－2)． 又a⊥b?a·b＝－2＋k2－2＝0， ∴k＝±2，故“k＝2”是“a⊥b”的充分不必要條件．] 2．右　　[∵y＝sin＝sin，∴要得到y(tǒng)＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向右平移個(gè)單位．] 3．－1　[由題圖可得sin＝1，而|φ|＜π， 所以φ＝－.故f(0)＝2sin＝－1.] 4．1　[∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋，故x＋y＝1.] 5．2　[∵|a|＝4，|b|＝1，〈a，b〉＝π，

8、 ∴a2＝16，b2＝1，a·b＝|a||b|·cosπ＝－2. 則|a＋xb|2＝a2＋x2b2＋2xa·b＝16＋x2－4x＝(x－2)2＋12≥12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，|a＋xb|2有最小值． ∴x＝2時(shí)，|a＋xb|取得最小值．] 6.　[由sin α－cos α＝，得1－sin 2α＝，∴sin 2α＝， 因此2cos2＝1＋cos 2＝1＋sin 2α＝.] 7.a2　[如圖所示，由題意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°. BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴·＝||||cos 30°＝a2×

9、＝a2.] 8．π　(k∈Z)　[f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z.] 9.　[由sin＋sin＝，得 sin θcos＋cos θsin＋sin θcos－cos θsin＝. ∴2sin θcos＝，則sin θ＝. 又θ∈，∴cos θ＝＝. 因此cos＝cos θcos－sin θsin＝.] 10．2　　[因?yàn)椋剑?，所以T＝π，ω＝＝2. 將代入解析式可得： π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)， 又0＜φ＜，所以φ＝.] 11．

10、3　[由G為重心，得＝×(a＋b)＝(a＋b)．∴＝－＝a＋，＝－＝b－a， 又P、G、Q三點(diǎn)共線， ∴＝，即m＋n＝3mn.因此＋＝3.] 12．－1　[由f(x)＝2cos(x＋φ)，得f′(x)＝－2sin(x＋φ)． ∴f(0)＝2cos φ＝1，且f′(0)＝－2sinφ>0 因此cos φ＝，且sinφ<0， 所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，則φ＝－， f(x)＝2cos， 根據(jù)圖象平移變換，知g(x)＝2cos. 又0≤x≤π，知－≤x－≤. ∴g(x)的最小值為2cos＝2×＝－1.] 13．9　[＝＋，＝－＝－＋， ∴·＝(4＋3)·(4－3

11、) ＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9.] 14.　[由S△ABC＝AB·BCsin B＝，得sin B＝， ∵B∈(0，π)，∴B＝或. 當(dāng)B＝時(shí)，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝2＋1－2×1×＝1， ∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，則△ABC為直角三角形，不合題設(shè)，舍去． 當(dāng)B＝時(shí)，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝5，∴AC＝，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意．] 15．解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin x－(1－cos x) ＝sin－， 所以f(x)的最小正周期為2π. (2)因?yàn)椋?/p>

12、π≤x≤0，所以－≤x＋≤. 當(dāng)x＋＝－，即x＝－時(shí)，f(x)取得最小值． 所以f(x)在區(qū)間[－π，0]上的最小值為f＝－1－. 16．解　(1)由cos A＝，且0

13、⊥n. 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0， 所以sin x＝cos x， 所以tan x＝1. (2)因?yàn)閨m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝， 即sin x－cos x＝，所以sin＝， 因?yàn)?

14、 ＝sin－1. 故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π，最大值為－1. (2)由f(x)＝2f′(x)，得 sin x－cos x＝2(cos x＋sin x)，得tan x＝－3， ＝ ＝＝. 19．解　(1)由A＝，b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C. 所以－cos 2B＝sin2C.又由A＝，得B＋C＝π. ∴2B＝π－2C，則cos 2B＝cos＝－sin 2C. 從而sin 2C＝sin2C，即2sin Ccos C＝sin2C. 又sin C≠0，故tan C＝2. (2)由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝，cos C＝， 又因?yàn)閟

15、in B＝sin(A＋C)＝sin， 所以sin B＝， 由正弦定理，c＝＝b.① 又S△ABC＝bcsin A＝3，A＝， 所以bc＝6，② 聯(lián)立①，②可求b＝3. 20．解　(1)在△ABC中，因?yàn)閏os A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得 AB＝·sin C＝×＝1 040(m)． 所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m. (2)設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)， 甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130t m， 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× ＝200(37t2－70t＋50)， 因0≤t≤，即0≤t≤8， 故當(dāng)t＝(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短． (3)由正弦定理＝，得BC＝·sin A＝×＝500(m)． 乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)．