2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2合情推理與演繹推理教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2合情推理與演繹推理教案 理 新人教A版 xx高考會(huì)這樣考 1.從近幾年的高考來(lái)看,高考對(duì)本部分的考查多以選擇或填空題的形式出現(xiàn),主要考查利用歸納推理、類(lèi)比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論,試題的難度以低、中檔為主;2.演繹推理主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起命制綜合題. 復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.聯(lián)系具體實(shí)例,體會(huì)幾種推理的概念和特點(diǎn),并結(jié)合這些方法解決一些應(yīng)用問(wèn)題;2.培養(yǎng)歸納、類(lèi)比、演繹的推理思維模式,培養(yǎng)分析、解決問(wèn)題的能力. 1. 合情推理主要包括歸納推理和類(lèi)比推理. 合情推理的過(guò)程 (1)歸納推理:由某類(lèi)事物

2、的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱(chēng)為歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納).簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理. 歸納推理的基本模式:a、b、c∈M且a、b、c具有某屬性, 結(jié)論:?d∈M,d也具有某屬性. (2)類(lèi)比推理:由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征,推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理(簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比).簡(jiǎn)言之,類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理. 類(lèi)比推理的基本模式:A:具有屬性a,b,c,d; B:具有屬性a′,b′,c′; 結(jié)論:B具有屬性d′. (a,b,c,

3、d與a′,b′,c′,d′相似或相同) 2. 演繹推理:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱(chēng)為演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到特殊的推理. (1)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷. (2)“三段論”可以表示為 ①大前提:M是P; ②小前提:S是M; ③結(jié)論:S是P. 用集合說(shuō)明:即若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P. [難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源] 1. 在解決問(wèn)題過(guò)程中,合情推理具有猜測(cè)和

4、發(fā)現(xiàn)結(jié)論,探索和提供思路的作用.合情推理的結(jié)論可能為真,也可能為假,結(jié)論的正確性有待于進(jìn)一步的證明. 2. 應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)首先明確什么是大前提,什么是小前提,如果大前提與推理形式是正確的,結(jié)論必定是正確的.如果大前提錯(cuò)誤,盡管推理形式是正確的,所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的. 3. 演繹推理是由一般到特殊的推理,它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題,注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性,書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性. 1. (xx·陜西)觀察下列不等式: 1+<, 1++<, 1+++<, …… 照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為_(kāi)_______. 答案 1+++++< 解析 觀察每行不等式的特點(diǎn),每行不等式左端最后一

5、個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的開(kāi)方與右端值的分母相等,且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列. ∴第五個(gè)不等式為1+++++<. 2. (xx·山東)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察: f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=, …… 根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得: 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=________. 答案  解析 依題意,先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式,由1,3,7,15,…,可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4

6、,8,16,…,故其通項(xiàng)公式為bn=2n. 所以當(dāng)n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=. 3. 給出下列三個(gè)類(lèi)比結(jié)論: ①(ab)n=anbn與(a+b)n類(lèi)比,則有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類(lèi)比,則有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類(lèi)比,則有(a+b)2=a2+2a·b+b2. 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (  ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 4. “因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)(大前提),而y

7、=x是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以函數(shù)y=x是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯(cuò)誤在于 (  ) A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) 答案 A 5. (xx·江西)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10等于 (  ) A.28 B.76 C.123 D.199 答案 C 解析 觀察規(guī)律,歸納推理. 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知,等式右端的值,從第三項(xiàng)開(kāi)始,后一個(gè)式

8、子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10+b10=123. 題型一 歸納推理 例1 已知函數(shù)f(x)=, (1)分別求f(2)+f,f(3)+f,f(4)+f的值; (2)歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明; (3)求值: f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 011)+f+f+…+f. 思維啟迪:所求函數(shù)值的和應(yīng)該具有規(guī)律性,經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)f(x)+f=1. 解 (1)∵f(x)=, ∴f(2)+f=+=+=1, 同理可得f(3)+f=1,f(4)+f=1. (2)由(1)猜想f(x)+f=1, 證明:f(x)+f=+ =+=1. (3)由(2

9、)可得, 原式=f(1)+++…+ =f(1)+2 010=+2 010=. 探究提高 本題實(shí)質(zhì)是根據(jù)前幾項(xiàng),歸納猜想一般規(guī)律,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理,由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確,通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.  已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式:+<2,+<2,+<2,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)m,n都成立的條件不等式________. 答案 若m>0,n>0,則當(dāng)m+n=20時(shí),有+<2 解析 觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn):不等式左邊兩個(gè)根式的被開(kāi)方數(shù)的和等于20,不等

10、式的右邊都是2,因此對(duì)正實(shí)數(shù)m,n都成立的條件不等式是若m>0,n>0,則當(dāng)m+n=20時(shí),有+<2. 題型二 類(lèi)比推理 例2 在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求證:=+,那么在四面體A-BCD中,類(lèi)比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想?并說(shuō)明理由. 思維啟迪:①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類(lèi)比對(duì)象;②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐的各面的面積是類(lèi)比對(duì)象;③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類(lèi)比對(duì)象;④三角形的面積與三棱錐的體積是類(lèi)比對(duì)象;⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類(lèi)比對(duì)象. 解  圖① 如圖①所示,由射影定理知 AD2=BD·

11、DC,AB2=BD·BC, AC2=BC·DC, ∴= ==. 又BC2=AB2+AC2, ∴==+. ∴=+. 類(lèi)比AB⊥AC,AD⊥BC猜想: 四面體A—BCD中,AB、AC、AD兩兩垂直, AE⊥平面BCD,則=++. 圖② 如圖②,連接BE并延長(zhǎng)交CD于F, 連接AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD,∴AB⊥AF, 在Rt△ABF中,AE⊥BF, ∴=+. 在Rt△ACD中,AF⊥CD,∴=+. ∴=++,故猜想正確. 探究提高 (1)類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理,其一般步驟為 ①找出

12、兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性; ②用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想). (2)類(lèi)比推理的關(guān)鍵是找到合適的類(lèi)比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等,可以類(lèi)比到立體幾何中,得到類(lèi)似的結(jié)論.  已知命題:若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且am=a,an=b (m≠n,m、n∈N*),則am+n=;現(xiàn)已知等比數(shù)列{bn} (b≠0,n∈N*),bm=a,bn=b (m≠n,m、n∈N*),若類(lèi)比上述結(jié)論,則可得到bm+n=__________. 答案  解析 等差數(shù)列中的bn和am可以類(lèi)比等比數(shù)列中的bn和am,等差數(shù)列中的bn-am可以類(lèi)比等比數(shù)列中的,等差數(shù)

13、列中的可以類(lèi)比等比數(shù)列中的, 故bm+n=. 題型三 演繹推理 例3 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=·Sn (n∈N*),證明: (1)數(shù)列是等比數(shù)列; (2)Sn+1=4an. 思維啟迪:在推理論證過(guò)程中,一些稍復(fù)雜的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成.大前提通常省略不寫(xiě),或者寫(xiě)在結(jié)論后面的括號(hào)內(nèi),小前提有時(shí)也可以省略,而采取某種簡(jiǎn)明的推理模式. 證明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. ∴=2·,又=1≠0,(小前提) 故是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(

14、結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義,這里省略了) (2)由(1)可知=4· (n≥2), ∴Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1=4an (n≥2)(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴對(duì)于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an.(結(jié)論) (第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件) 探究提高 演繹推理的一般模式為三段論,應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)該明確什么是大前提,小前提,然后再找結(jié)論.  已知函數(shù)f(x)=-(a>0且a≠1). (1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng); (2)求f(-2)+f(-1)+f

15、(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. (1)證明 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),任取一點(diǎn)(x,y),它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-x,-1-y). 由已知得y=-, 則-1-y=-1+=-, f(1-x)=-=-=- =-, ∴-1-y=f(1-x), 即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng). (2)解 由(1)有-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1. 則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 歸納不準(zhǔn)確致誤

16、 典例:(5分)如圖所示,坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1,由下往上的六個(gè)點(diǎn):1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(xiàng),如下表所示. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 按如此規(guī)律下去,則a2 009+a2 010+a2 011等于 (  ) A.1 003 B.1 005 C.1 006 D.2 010 易錯(cuò)分析 本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目

17、給出的6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系,歸納出該數(shù)列的一般關(guān)系.可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩種:一是歸納時(shí)找不準(zhǔn)“前幾項(xiàng)”的規(guī)律,胡亂猜測(cè);二是弄錯(cuò)奇偶項(xiàng)的關(guān)系.本題中各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng),并且逐一遞增,即a2n=n(n∈N*),各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng),正負(fù)交替后逐一遞增,并且滿足a4n-3+a4n-1=0(n∈N*),如果弄錯(cuò)這些關(guān)系就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果,如認(rèn)為當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an=n,就會(huì)得到a2 009+a2 010+a2 011=2 010的錯(cuò)誤結(jié)論,而選D. 解析 a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,…,這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為1,-1

18、,2,-2,3,…,偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3,…,故a2 009+a2 011=0,a2 010=1 005,故a2 009+a2 010+a2 011=1 005. 答案 B 溫馨提醒 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn).因此,它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具. 方法與技巧 1. 合情推理主要包括歸納推理和類(lèi)比推理.?dāng)?shù)學(xué)研究中,在得到一個(gè)新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向. 2. 演繹推理是從一般的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段論

19、.?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行. 3. 合情推理僅是“合乎情理”的推理,它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下). 失誤與防范 1. 合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論,發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明. 2. 演繹推理是由一般到特殊的證明,它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題,注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性,書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性. 3. 合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象,要有猜想或拓展依據(jù). A組 專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:35分鐘,滿分:57分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1. 正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2

20、+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理 (  ) A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 答案 C 解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù),所以小前提不正確. 2. 由>,>,>,…,若a>b>0,m>0,則與之間的大小關(guān)系為(  ) A.相等 B.前者大 C.后者大 D.不確定 答案 B 3. 由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類(lèi)比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”

21、類(lèi)比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”類(lèi)比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類(lèi)比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”類(lèi)比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“=”類(lèi)比得到“=”. 以上式子中,類(lèi)比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析?、佗谡_;③④⑤⑥錯(cuò)誤. 4. 觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x

22、)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)等于 (  ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 答案 D 解析 由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x). 二、填空題(每小題5分,共15分) 5. 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,則△ABC外接圓半徑r=.運(yùn)用類(lèi)比方法,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c,則其外接球的半徑R=________. 答案  解析 通過(guò)類(lèi)比可得R=.證明:

23、 作一個(gè)在同一個(gè)頂點(diǎn)處棱長(zhǎng)分別為a,b,c的長(zhǎng)方體,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度是,故這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑是,這也是所求的三棱錐的外接球的半徑. 6. 在平面內(nèi)有n(n∈N*,n≥3)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過(guò)同一點(diǎn),若這n條直線把平面分成f(n)個(gè)平面區(qū)域,則f(5)的值是______,f(n)的表達(dá)式是________. 答案 16 f(n)= 解析 由題意,n條直線將平面分成+1個(gè)平面區(qū)域,故f(5)=16,f(n)=. 7. 仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●…… 若依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的○和●

24、,那么在前120個(gè)○和●中,●的個(gè)數(shù)是________. 答案 14 解析 進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……,則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=,易知f(14)=119,f(15)=135,故n=14. 三、解答題(共22分) 8. (10分)已知函數(shù)y=f(x),滿足:對(duì)任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),試證明:f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù). 證明 設(shè)x1,x2∈R,取x1x1f(x2)+x2f(x1), ∴x1[f

25、(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∵x10,f(x2)>f(x1). 所以y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù). 9. (12分)f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明. 解 f(0)+f(1)=+ =+=+=, 同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=. 由此猜想f(x)+f(1-x)=. 證明:f(x)+f(1-x)=+ =+=+ ==. B組 專(zhuān)項(xiàng)能力提升 (時(shí)間:

26、25分鐘,滿分:43分) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1. 定義一種運(yùn)算“*”:對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì): (1) 1*1=1,(2)(n+1) *1=n*1+1,則n*1等于 (  ) A.n B.n+1 C.n-1 D.n2 答案 A 解析 由(n+1)*1=n*1+1, 得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2 =…=1*1=1,∴n*1=n. 2. 為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)定原信息為a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),傳輸信息為h0a0a1a2h1,其中h0

27、=a0D○+a1,h1=h0D○+a2,D○+運(yùn)算規(guī)則為0D○+0=0,0D○+1=1,1D○+0=1,1D○+1=0.例如原信息為111,則傳輸信息為01111,信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò),則下列接收信息一定有誤的是 (  ) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011 答案 C 解析 對(duì)于選項(xiàng)C,傳輸信息是10111,對(duì)應(yīng)的原信息是011,由題目中運(yùn)算規(guī)則知h0=0D○+1=1,而h1=h0D○+a2=1D○+1=0,故傳輸信息應(yīng)是10110. 3. (xx·課標(biāo)全國(guó))設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則

28、|PQ|的最小值為(  ) A.1-ln 2 B.(1-ln 2) C.1+ln 2 D.(1+ln 2) 答案 B 解析 由題意知函數(shù)y=ex與y=ln(2x)互為反函數(shù),其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是y=x與y=ex上點(diǎn)的最小距離的2倍,設(shè)y=ex上點(diǎn)(x0,y0)處的切線與y=x平行,有ex0=1,x0=ln 2,y0=1,∴y=x與y=ex上點(diǎn)的最小距離是(1-ln 2), ∴所求距離為(1-ln 2)×2=(1-ln 2). 二、填空題(每小題5分,共15分) 4. 給出下列命題: 命題1:點(diǎn)(1,1)是直線y=x與雙曲

29、線y=的一個(gè)交點(diǎn); 命題2:點(diǎn)(2,4)是直線y=2x與雙曲線y=的一個(gè)交點(diǎn); 命題3:點(diǎn)(3,9)是直線y=3x與雙曲線y=的一個(gè)交點(diǎn); … 請(qǐng)觀察上面命題,猜想出命題n(n是正整數(shù))為_(kāi)____________. 答案 點(diǎn)(n,n2)是直線y=nx與雙曲線y=的一個(gè)交點(diǎn) 解析 觀察題中給出的命題易知,命題n中交點(diǎn)坐標(biāo)為(n,n2),直線方程為y=nx,雙曲線方程為y=.故猜想命題n:點(diǎn)(n,n2)是直線y=nx與雙曲線y=的一個(gè)交點(diǎn). 5. (xx·湖北)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3 443,94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè),11,2

30、2,33,…,99.3位回文數(shù)有90個(gè):101,111,121,…,191,202,…,999.則 (1)4位回文數(shù)有________個(gè); (2)2n+1(n∈N+)位回文數(shù)有________個(gè). 答案 90 9×10n 解析 (1)4位回文數(shù)有: 1001,1111,1221,…,1991,10個(gè) xx,2112,2222,…,2992,10個(gè) …… 9009,9119,9229,…,9999,10個(gè) 共90個(gè). (2)5位回文數(shù)有: 100個(gè). …… 100個(gè) 5位回文數(shù)共9×102個(gè),又3位回文數(shù)有9×101個(gè) 2n+1位回文數(shù)共9×10n個(gè). 6. (x

31、x·福建)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncos +1,前n項(xiàng)和為Sn,則S2 012=________. 答案 3 018 解析 當(dāng)n=4k+1(k∈N)時(shí),an=(4k+1)·cos π+1=1, 當(dāng)n=4k+2(k∈N)時(shí),an=(4k+2)·cos π+1 =-(4k+2)+1=-4k-1, 當(dāng)n=4k+3(k∈N)時(shí),an=(4k+3)·cos π+1=1, 當(dāng)n=4k+4(k∈N)時(shí),an=(4k+4)·cos π+1 =(4k+4)+1=4k+5, ∴a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=1-4k-1+1+4k+5=6. ∴S2 012=a1+a2+a3

32、+a4+a5+…+a2 012 =(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a2 009+a2 010+a2 011+a2 012)=6×503=3 018. 三、解答題 7. (13分)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,公差為d,Sn為其前n項(xiàng)和,且滿足a=S2n-1,n∈N*.數(shù)列{bn}滿足bn=,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. (1)求a1、d和Tn; (2)若對(duì)任意的n∈N*,不等式λTn

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