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1、2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六第一講 空間幾何體教案 理
類型一 空間幾何體與三視圖
1.一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是:俯視圖放在正視圖的下面,長度與正視圖的長度一樣,側(cè)視圖放在正視圖的右面,高度與正視圖的高度一樣,寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長對(duì)正、高平齊、寬相等”.
2.畫直觀圖時(shí),與坐標(biāo)軸平行的線段仍平行,與x軸、z軸平行的線段長度不變,與y軸平行的線段長度減半.
[例1] (xx年高考陜西卷)將正方體(如圖(1)所示)截去兩個(gè)三棱錐,得到如圖(2)所示的幾何體,則該幾何體的左視圖為( )
[解析] 還原正方體后,將D1,D,A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線.D1
2、A的射影為C1B,且為實(shí)線,B1C被遮擋應(yīng)為虛線.
[答案] B
跟蹤訓(xùn)練
如圖所示,三棱錐PABC的底面ABC是直角三角形,直角邊長AB=3,AC=4,過直角頂點(diǎn)的側(cè)棱PA⊥平面ABC,且PA=5,則該三棱錐的正視圖是( )
解析:三棱錐的正視圖.
即是光線從三棱錐模型的前面向后面投影所得到投影圖形.結(jié)合題設(shè)條件給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.可知D正確.
答案:D
類型二 空間幾何體的表面積與體積
1.柱體的體積公式:V=Sh.
2.錐體的體積公式:V=Sh.
3.臺(tái)體的體積公式:V=(S′++S)h.
4.球的表面積與體積公式:S=4πR2與V=πR3(R
3、為球的半徑).
[例2] (xx年高考北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是( )
A.28+6 B.30+6
C.56+12 D.60+12
[解析] 根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖,利用直觀圖的圖形特征求其表面積.
由幾何體的三視圖可知,該三棱錐的直觀圖如圖所示,
其中AE⊥平面BCD,CD⊥BD,且CD=4,
BD=5,BE=2,ED=3,AE=4.
∵AE=4,ED=3,∴AD=5.
又CD⊥BD,CD⊥AE,則CD⊥平面ABD,
故CD⊥AD,所以AC=且S△ACD=10.
在Rt△ABE中,AE=4,BE=2
4、,故AB=2.
在Rt△BCD中,BD=5,CD=4,故S△BCD=10,且BC=.
在△ABD中,AE=4,BD=5,故S△ABD=10.
在△ABC中,AB=2,BC=AC=,則AB邊上的高h(yuǎn)=6,
故S△ABC=×2×6=6.
因此,該三棱錐的表面積為S=30+6.
[答案] B
跟蹤訓(xùn)練
(xx年北京西城模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是( )
A.8 B. C.4 D.
解析:將三視圖還原,直觀圖如圖所示,可以看出,這是一個(gè)底面為正方形(對(duì)角線長為2),高為2的四棱錐,其體積V=S正方形ABCD×P
5、A=××2×2×2=,故選D.
答案:D
類型三 球與空間幾何體的切、接問題
1.長方體、正方體的外接球其體對(duì)角線長為該球的直徑.
2.正方體的內(nèi)切球其棱長為球的直徑.
3.正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點(diǎn)、球心及底面正三角形中心共線.
4.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.
[例3] (xx年高考課標(biāo)全國卷)已知三棱錐S -ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
[解析] 利用三棱錐的體積變換求解.
由于三
6、棱錐S ABC與三棱錐O ABC底面都是△ABC,O是SC的中點(diǎn),因此三棱錐S ABC的高是三棱錐O ABC高的2倍,
所以三棱錐S ABC的體積也是三棱錐O ABC體積的2倍
在三棱錐O -ABC中,其棱長都是1,如圖所示,
S△ABC=×AB2=,
高OD==,
∴VS-ABC=2VO-ABC
=2×××=.
[答案] A
跟蹤訓(xùn)練
1.(xx年高考廣東卷)某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為( )
A.72π B.48π C.30π D.24π
解析:利用三視圖還原幾何體,結(jié)合直觀圖求解.
由三視圖知,該幾
7、何體是由圓錐和半球組合而成的,直觀圖如圖所示,圓錐的底面半徑為3,高為4,半球的半徑為3.
V=V半球+V圓錐=·π·33+·π·32·4=30π.
答案:C
2.(xx年大同模擬)一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,若該球的體積為4π,則該正方體的表面積為________.
解析:設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為R,則依題意有=4π,解得R=.因?yàn)閍=2R=2,所以a=2,故該正方體的表面積為6a2=24.
答案:24
析典題(預(yù)測(cè)高考)
高考真題
【真題】 (xx年高考安徽卷)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是________.
【解析】 將三視圖還原為直觀
8、圖求解.
由幾何體的三視圖可知,該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示).
在四邊形ABCD中,作DE⊥AB,垂足為E,則DE=4,AE=3,則AD=5.
所以其表面積為:2××(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92.
【答案】 92
【名師點(diǎn)睛】 本題考查空間幾何體三視圖的理解與應(yīng)用.考查幾何體表面積的計(jì)算.難度中等.本題解題關(guān)鍵是還原幾何體后,確定相關(guān)量與數(shù)據(jù)準(zhǔn)確對(duì)應(yīng).
考情展望
空間幾何體的考查多以選擇、填空題形式出現(xiàn).主要涉及空間幾何體的三視圖,以及空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算.難度中檔偏下.著重考查學(xué)生空間想象能力.
名師押題
【押題】 一個(gè)幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為( )
A.m3 B.m3 C.m3 D.m3
【解析】 結(jié)合三視圖可知,該幾何體是由三個(gè)棱長為1的正方體和一個(gè)高為1、底面是直角,邊長為1的等腰直角三角形的直三棱柱組成的,所以該幾何體的體積V=3×1×1×1+×1×1×1=m3.
【答案】 C