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1、2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊一 離散型隨機(jī)變量及其分布列1完整講義(學(xué)生版)
知識(shí)內(nèi)容
1. 離散型隨機(jī)變量及其分布列
⑴離散型隨機(jī)變量
如果在試驗(yàn)中,試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示,并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的,我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母表示.
如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái),則稱為離散型隨機(jī)變量.
⑵離散型隨機(jī)變量的分布列
將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示:
…
…
…
…
我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布,或稱為
2、離散型隨機(jī)變量的分布列.
2.幾類典型的隨機(jī)分布
⑴兩點(diǎn)分布
如果隨機(jī)變量的分布列為
其中,,則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布.
二點(diǎn)分布舉例:某次抽查活動(dòng)中,一件產(chǎn)品合格記為,不合格記為,已知產(chǎn)品的合格率為,隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果,則的分布列滿足二點(diǎn)分布.
兩點(diǎn)分布又稱分布,由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn),所以這種分布又稱為伯努利分布.
⑵超幾何分布
一般地,設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品,其中一類有件,從所有物品中任取件,這件中所含這類物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它取值為時(shí)的概率為
,為和中較
3、小的一個(gè).
我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布,也稱服從參數(shù)為,,的超幾何分布.在超幾何分布中,只要知道,和,就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率,從而列出的分布列.
⑶二項(xiàng)分布
1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
如果每次試驗(yàn),只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及,并且事件發(fā)生的概率相同.在相同的條件下,重復(fù)地做次試驗(yàn),各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立,那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn).次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為.
2.二項(xiàng)分布
若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為,事件不發(fā)生的概率為,那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率是,其中.于是得到的分布列
…
…
4、…
…
由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式
各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值,所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布,
記作.
二項(xiàng)分布的均值與方差:
若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布,則
,.
⑷正態(tài)分布
1. 概率密度曲線:樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,在樣本容量越來(lái)越大時(shí),
直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中,如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量,則這條曲線稱為的概率密度曲線.
曲線位于橫軸的上方,它與橫軸一起所圍成的面積是,而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積.
2.正態(tài)分布
⑴定義:如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的,而
5、且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用,則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布.
服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量,簡(jiǎn)稱正態(tài)變量.
正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為,,其中,是參數(shù),且,.
式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作.
正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.
⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:我們把數(shù)學(xué)期望為,標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.
⑶重要結(jié)論:
①正態(tài)變量在區(qū)間,,內(nèi),取值的概率分別是,,.
②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為,在區(qū)間之外的取值的概率是,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)
6、準(zhǔn)差之內(nèi),這就是正態(tài)分布的原則.
⑷若,為其概率密度函數(shù),則稱為概率分布函數(shù),特別的,,稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).
.
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.
分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求,適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可.
3.離散型隨機(jī)變量的期望與方差
1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
定義:一般地,設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是,,…,,這些值對(duì)應(yīng)的概率是,,…,,則,叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望).
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.
2.離散型隨機(jī)變量的方差
一般地,設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是,,…
7、,,這些值對(duì)應(yīng)的概率是,,…,,則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差.
離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度).
的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量.
3.為隨機(jī)變量,為常數(shù),則;
4. 典型分布的期望與方差:
⑴二點(diǎn)分布:在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為,在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為.
⑵二項(xiàng)分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布,則,.
⑶超幾何分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布,
則,.
4.事件的獨(dú)立性
如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生
8、的概率沒(méi)有影響,即,
這時(shí),我們稱兩個(gè)事件,相互獨(dú)立,并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.
如果事件,,…,相互獨(dú)立,那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即,并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立.
5.條件概率
對(duì)于任何兩個(gè)事件和,在已知事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號(hào)“”來(lái)表示.把由事件與的交(或積),記做(或).
典例分析
【例1】 以下隨機(jī)變量中,不是離散型隨機(jī)變量的是:
⑴ 某城市一天之內(nèi)發(fā)生的火警次數(shù);
⑵ 某城市一天之內(nèi)的溫度.
【例2】 下列隨機(jī)變量中,
9、不是離散隨機(jī)變量的是( )
A.從10只編號(hào)的球 ( 0號(hào)到9號(hào)) 中任取一只,被取出的球的號(hào)碼
B.拋擲兩個(gè)骰子,所得的最大點(diǎn)數(shù)
C.區(qū)間內(nèi)任一實(shí)數(shù)與它四舍五入取整后的整數(shù)的差值
D.一電信局在未來(lái)某日內(nèi)接到的電話呼叫次數(shù)
【例3】 寫(xiě)出下列各隨機(jī)變量可能的取值.
⑴ 小明要去北京旅游,可能乘火車、汽車,也可能乘飛機(jī),他的旅費(fèi)分別為元、元和 元,記他的旅費(fèi)為;
⑵ 正方體的骰子,各面分別刻著,隨意擲兩次,所得的點(diǎn)數(shù)之和.
【例4】 寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能取的值,并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.
⑴一
10、袋中裝有5只同樣大小的白球,編號(hào)為1,2,3,4,5 現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3只球,被取出的球的最大號(hào)碼數(shù);
⑵某單位的某部電話在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù).
注意事件與數(shù)字間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
【例5】 拋擲兩顆骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和為,那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是( )
A.一顆是3點(diǎn),一顆是1點(diǎn)
B.兩顆都是2點(diǎn)
C.兩顆都是4點(diǎn)
D.一顆是3點(diǎn),一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)
【例6】 如果是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,則假命題是( )
A.取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)數(shù);
B.取所有可能值的概率之和為1;
C.取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和;
D.在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和