2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第06講 函數(shù)與方程教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第06講 函數(shù)與方程教案 新人教版 一．課標要求： 1．結合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系； 2．根據具體函數(shù)的圖像，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。 二．命題走向 函數(shù)與方程的理論是高中新課標教材中新增的知識點，特別是“二分法”求方程的近似解也一定會是高考的考點。從近幾年高考的形勢來看，十分注重對三個“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同時也研究了它的許多重要的結論，并付諸應用。高考試題中有近一半的試題與這三個

2、“二次”問題有關。 預計xx年高考對本講的要求是：以二分法為重點、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關系為目標來考察學生的能力。 （1）題型可為選擇、填空和解答； （2）高考試題中可能出現(xiàn)復合了函數(shù)性質與函數(shù)零點的綜合題，同時考察函數(shù)方程的思想。 三．要點精講 1．方程的根與函數(shù)的零點 （1）函數(shù)零點 概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。 函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。 二次函數(shù)的零點： １）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點；

3、２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點； ３）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點。 零點存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內有零點。既存在，使得，這個也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步驟： 對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． 給定精度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下： （1）確定區(qū)間，，驗證·，給定精度； （2）求區(qū)間，的

4、中點； （3）計算： ①若=，則就是函數(shù)的零點； ②若·<，則令=（此時零點）； ③若·<，則令=（此時零點）； （4）判斷是否達到精度； 即若，則得到零點零點值（或）；否則重復步驟2~4。 注：函數(shù)零點的性質 從“數(shù)”的角度看：即是使的實數(shù)； 從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標； 若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點通常稱為不變號零點； 若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點通常稱為變號零點。 注：用二分法求函數(shù)的變號零點：二分法的條件·表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點。 3．二次函數(shù)的基本性質 （1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c；y=

5、a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。 （2）當a>0，f(x)在區(qū)間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。 若－

6、q)內只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p，q)內成立。 四．典例解析 題型1：方程的根與函數(shù)零點 例1．（1）方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) （2）設a為常數(shù)，試討論方程的實根的個數(shù)。 解析： （1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標，顯然在區(qū)間(1，3)內，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。

7、實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C。 （2）原方程等價于 即 構造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得： ①當或時，原方程有一解； ②當時，原方程有兩解； ③當或時，原方程無解。 點評：圖象法求函數(shù)零點，考查學生的數(shù)形結合思想。本題是通過構造函數(shù)用數(shù)形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結合，要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷。 例2．（xx廣東19）設函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7

8、］上，只有。 （Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性； （Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［－xx，xx］上的根的個數(shù)，并證明你的結論。 解析：由f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為, 從而知函數(shù)不是奇函數(shù), 由 ,從而知函數(shù)的周期為 又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù); (II)由 (III) 又 故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在[0,xx]上有402個解,在[－xx.0]上有400個解,所以函數(shù)在[－xx,xx]上有802個解。 點評：解題過程注重了函數(shù)的數(shù)字特征“”，即函數(shù)的零點，也就是方程的根。 題型2：零點存在性定理

9、 例3．（xx廣東21）設函數(shù)，其中常數(shù)為整數(shù)。 （1）當為何值時，； （2）定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點，使得 試用上述定理證明：當整數(shù)時，方程在內有兩個實根。 解析：（1）函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)連續(xù)，且 當x∈(－m,1－m)時,f ’（x）<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1－m) 當x∈(1－m, +∞)時,f ’（x）>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1－m) 根據函數(shù)極值判別方法，f(1－m)=1－m為極小值，而且 對x∈(－m, +∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m 故當整數(shù)m≤1時，f(x) ≥

10、1－m≥0 (2)證明：由（I）知，當整數(shù)m>1時，f(1－m)=1-m<0, 函數(shù)f(x)=x－ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù). 由所給定理知，存在唯一的 而當整數(shù)m>1時， 類似地，當整數(shù)m>1時，函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號，由所給定理知，存在唯一的 故當m>1時，方程f(x)=0在內有兩個實根。 點評：本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應用上。 例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（ ） A．若，不存在實數(shù)使得；

11、B．若，存在且只存在一個實數(shù)使得； C．若，有可能存在實數(shù)使得； D．若，有可能不存在實數(shù)使得； 解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個解”；選項D正確，見實例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實數(shù)解”。 點評：該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。 題型3：二分法的概念 例5．關于“二分法”求方程的近似解，說法正確的是（） A．“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內的所有零點得到； B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內的零點； C．應用“

12、二分法”求方程的近似解，在[a,b]內有可能無零點； D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內的精確解； 解析：如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設，且在區(qū)間內存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區(qū)間內一定存在零點，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。 點評：該題深入解析了二分法的思想方法。 例6．方程在[0，1]內的近似解，用“二分法”計算到達到精確度要求。那么所取誤差限是（ ） A．0.05 B．0.005 C．0.0005 D．0.00005

13、 解析：由四舍五入的原則知道，當時，精度達到。此時差限是0.0005，選項為C。 點評：該題考察了差限的定義，以及它對精度的影響。 題型4：應用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解 例7．借助計算器，用二分法求出在區(qū)間（1，2）內的近似解（精確到0.1）。 解析：原方程即。 令， 用計算器做出如下對應值表 x －2 －1 0 1 2 f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 －4.6974 觀察上表，可知零點在（1，2）內 取區(qū)間中點=1.5，且，從而，可知零點在（1，1.5）內； 再取區(qū)間中點=1.25，且，從而，可知零點在（1

14、.25，1.5）內； 同理取區(qū)間中點=1.375，且，從而，可知零點在（1.25，1.375）內； 由于區(qū)間（1.25，1.375）內任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。 點評：該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程，通過本題學會借助精度終止二分法的過程。 例8．借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解（精確到）。 分析：本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外，你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)？ 略解：圖象在閉區(qū)間，上連續(xù)的單調函數(shù)，在，上至多有一個零點。 點評：①第一步確定零點所在的大致區(qū)間，，可利用函數(shù)性質，也可借助計算機或計算

15、器，但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個長度為1的區(qū)間； ②建議列表樣式如下： 零點所在區(qū)間 中點函數(shù)值 區(qū)間長度 [1，2] >0 1 [1，1.5] <0 0.5 [1.25，1.5] <0 0.25 如此列表的優(yōu)勢：計算步數(shù)明確，區(qū)間長度小于精度時，即為計算的最后一步。 題型5：一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點 例9．　設二次函數(shù)，方程的兩個根滿足. 當時，證明。 證明：由題意可知， , ∴ , ∴ 當時，。 又, ∴ , 綜上可知，所給問題獲證。 點評：在已知方程兩根的情況下，根據函數(shù)與方程根的

16、關系，可以寫出函數(shù)的表達式，從而得到函數(shù)的表達式。 例10．已知二次函數(shù)，設方程的兩個實數(shù)根為和. （1）如果，設函數(shù)的對稱軸為，求證：； （2）如果，，求的取值范圍. 解析：設，則的二根為和。 （1）由及，可得 ，即， 即 兩式相加得，所以，； （2）由, 可得 。 又，所以同號。 ∴ ，等價于 或, 即 或 解之得 或。 點評：條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化。 題型6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式 例11．設，若，，, 試證明：對于任意，有。 解析：∵ , ∴ , ∴ . ∴ 當時，

17、當時， 綜上，問題獲證。 點評：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應該注意到：所要求的結論不是確定值，而是與條件相對應的“取值范圍”，因此，我們可以用來表示。 例12．已知二次函數(shù)，當時，有，求證：當時，有 解析：由題意知：， ∴ ， ∴ 。 由時，有，可得 。 ∴ , 。 （1）若，則在上單調，故當時， ∴ 此時問題獲證. （2）若，則當時， 又， ∴ 此時問題獲證。 綜上可知：當時，有。 點評：研究的性質，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應該盡量用已知條件來表達參數(shù). 確定三個參數(shù)，只需三個獨立條件，本題可以考

18、慮，，，這樣做的好處有兩個：一是的表達較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點和中點，這樣做能夠較好地利用條件來達到控制二次函數(shù)范圍的目的。 要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍，只需考慮其最大值，也即考慮在區(qū)間端點和頂點處的函數(shù)值。 題型7：二次函數(shù)的圖像與性質 例13．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ） 解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1.拋物線方程是y=a（x+）2－，其頂點坐標為（－，－），又由0<<1，可得－<－<0.觀察選擇支，可選A。 解析二：求y=ax2+bx與x軸的交點，令ax2+bx=

19、0，解得x=0或x=－，而－1<－<0.故選A。 點評：本題雖小，但一定要細致觀察圖象，注意細微之處，獲得解題靈感。 例14．（xx全國高考題）設a∈R，函數(shù)f(x)=x2+|x－a|+1,x∈R. （1）討論f(x)的奇偶性 （2）求f(x)的最小值. 解：（1）顯然a=0時，f(x)為偶函數(shù)， 當a≠0時，f(a)=a2+1, f(－a)=a2+2|a|+1 f(a)≠f(－a), f(a)+f(－a)≠0 ∴ 此時f(x)為非奇非偶函數(shù). （2）首先應先去掉絕對值，再進行討論. ①當x≤a時，. 若,則f(x)在區(qū)間（-∞，a]上單調遞減， ∴ f(x)的最小

20、值為f(a)=a2+1.(如圖(I)) 若，則f(x)在區(qū)間（-∞，a]上的最小值為（如圖II). ②當x≥a時，， 若，則f(x)在[a,+∞]上的最小值為（如圖III）。 若，則f(x)在[a,+∞]上單調遞增。 則f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a2+1.(如圖IV)。 綜上，當時，f(x)最小值為。 當時，f(x)最小值為a2+1。 當時，f(x)最小值為。 點評：該題考察到函數(shù)的圖像與性質的綜合應用，考察了分類討論的思想。 題型8：二次函數(shù)的綜合問題 例15．（xx浙江文20）已知函數(shù)和的圖象關于原點對稱，且。

21、(Ⅰ)求函數(shù)的解析式； (Ⅱ)解不等式； (Ⅲ)若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。 解析：(Ⅰ)設函數(shù)的圖象上任意一點關于原點的對稱點為，則 ∵點在函數(shù)的圖象上 ∴ (Ⅱ)由 當時，，此時不等式無解。 當時，，解得。 因此，原不等式的解集為。 （Ⅲ） ① ② ?。? ⅱ） 點評：本題主要考查函數(shù)圖象的對稱、二次函數(shù)的基本性質與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。 例16．已知函數(shù)。 （1）將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)，求函數(shù)的解析式； （2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱，求函數(shù)的解析式； （3）設，已知

22、的最小值是且，求實數(shù)的取值范圍。 解析：(1) (2)設的圖像上一點，點關于的對稱點為，由點Q在的圖像上，所以 ， 于是 即 （3）。 設，則。 問題轉化為：對恒成立. 即 對恒成立. （*） 故必有.（否則，若，則關于的二次函數(shù)開口向下，當充分大時，必有；而當時，顯然不能保證（*）成立.），此時，由于二次函數(shù)的對稱軸，所以，問題等價于，即， 解之得：。 此時，，故在取得最小值滿足條件。 點評：緊扣二次函數(shù)的頂點式對稱軸、最值、判別式顯合力。 五．思維總結 1．函數(shù)零點的求法： ①（代數(shù)

23、法）求方程的實數(shù)根； ②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點。 2．學習二次函數(shù)，可以從兩個方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個人的基本數(shù)學素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實現(xiàn)數(shù)與形的自然結合，這正是中學數(shù)學中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。 由于二次函數(shù)的解析式簡捷明了，易于變形（一般式、頂點式、零點式等），所以，在解決二次函數(shù)的問題時，常常借助其解析式，通過純代數(shù)推理，進而導出二次函數(shù)的有關性質。 （1）二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題的關鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數(shù)。 （2）數(shù)形結合：二次函數(shù)的圖像為拋物線，具有許多優(yōu)美的性質，如對稱性、單調性、凹凸性等。結合這些圖像特征解決有關二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀。因為二次函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別單調，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得；函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值必在區(qū)間端點或頂點處取得。