2022年高三數(shù)學總復習 平面向量的正交分解與坐標運算教案 理

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1、2022年高三數(shù)學總復習 平面向量的正交分解與坐標運算教案 理 教材分析 這節(jié)課通過建立直角坐標系，結(jié)合平面向量基本定理，給出了向量的另一種表示———坐標表示，這樣使平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應關(guān)系，然后導出了向量的加法、減法及實數(shù)與向量的積的坐標運算，這就為利用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁，更突出也更簡化了向量的應用．所以，一定要讓學生重點掌握向量的坐標運算，以利于掌握坐標形式下的向量的一些關(guān)系式及運用．教學難點是讓學生建立起平面向量的坐標概念． 教學目標 1. 理解平面向量坐標概念，領(lǐng)會它的引入過程，進一步體會一一對應的思想意識． 2. 理解平面向量的坐標的概

2、念，掌握平面向量的坐標運算，并能應用坐標運算解決一些問題． 3. 增強數(shù)形結(jié)合意識，領(lǐng)會“沒有運算，向量只是一個‘路標’，因為有了運算，向量的力量無限”的說法． 任務分析 1. 有了平面向量的基本定理，就不難有平面向量的正交分解，有了坐標系下點與坐標的一一對應關(guān)系，也就容易有在直角坐標平面內(nèi)的向量與坐標的一一對應． 2. 可以從兩個角度來理解平面向量的坐標表示： （1）設i，j為x，y軸方向上的單位向量，則任一向量ａ可唯一地表示為xi＋yj，即唯一對應數(shù)對（x，y），所以可以說a＝（x，y）． （2）任一向量ａ可平移成，一一對應點A（x，y），從而可說a＝（x，y）． 3. 在接

3、觸過xOy平面內(nèi)一點到它的坐標的這種形、數(shù)過渡的基礎(chǔ)上，容易接受由向量到坐標的這種代數(shù)化的過渡． 教學設計 一、問題情景 1. 光滑斜面上的木塊所受重力可以分解為平行斜面使木塊下滑的力F1和木塊產(chǎn)生的垂直于斜面的壓力F2（如圖）． 一個向量也可以分解為兩個互相垂直的向量的線性表達，這種情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，許多有關(guān)向量問題將變得較為簡單． 2. 在平面直角坐標系中，每一個點可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標）表示，那么對平面直角坐標內(nèi)的每一個向量，可否用實數(shù)對來表示？又如何表示呢？ 二、建立模型 1. 如圖，在直角坐標系中，先分別取與x軸、y軸方向相同的

4、兩個單位向量i，j作為基底．對于平面上一個向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一對實數(shù)x，y使ａ＝xi＋yj，這樣平面內(nèi)任一向量a都可由x，y唯一確定，（x，y）叫a的坐標，記作a＝（x，y）． 顯然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）． 若把ａ的起點平移到坐標原點，即ａ＝，則點A的位置由ａ唯一確定．設＝xi＋yj，則的坐標就是點A的坐標；反過來，點A的坐標（x，y）也就是的坐標．因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)（即坐標）唯一表示． 2. 學生思考討論 已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐標嗎？ ∵ａ

5、＝（x1，y1），b＝（x2，y2）， ∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ． ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j， ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）． 同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）． 上述結(jié)論可表述為：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐標． 解：如圖39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）． 總結(jié)：一個向量的坐

6、標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標． 思考：能在圖中標出坐標為（x2－x1，y2－y1）的P點嗎？ 平移到，則P（x2－x1，y2－y1）． 2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）． （1）求－的坐標．　?。?）求ABCD中D點的坐標． 放開思考，展開討論，看學生們有哪些不同方法． （1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3）， ∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）． （2）解法1：設D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y）， ∴x＝y(tǒng)＝2，D（2，2）． 思考：你能比較出對（2）的兩種解

7、法在思想方法上的異同點嗎？ （解法1是間接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想） 3. 在直角坐標系xOy中，已知點A（3，2），點B（－2，4），求向量＋的方向和長度． 解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）． 設＝＋，則＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）． 由兩點的距離公式，得 設相對x軸正向的轉(zhuǎn)角為α，則 查表或使用計算器，得α＝80°32′． 答：向量的方向偏離ｘ軸正向約為80°32′，長度等于，向量的方向偏離x軸正向約為116°34′，長度等于2． ［練　習］ 1. 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐標． 2. 設a＋

8、b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b． 解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2）， 2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4）， ∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）． 解法2：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則 3. 已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），試以ａ，ｂ為基底來表示ｃ． 解：設c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2）， 四、拓展延伸 1. 在直角坐標系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求線段AB中點的坐

9、標． 解：設點M（x，y）是線段AB的中點（如圖39-5），則＝（＋）． 將上式換為向量的坐標，得 （x，y）＝［（x1，y1 ）＋（x2，y2 ）］． 即. 這里得到的公式叫作線段中點的坐標計算公式，簡稱中點公式． 2. 對于向量a，b，c，若存在不全為0的實數(shù)k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，則稱a，b，c三個向量線性相關(guān)，試研究三個向量＝（3，5），＝（0，－1），＝（－3，－4）是否線性相關(guān)． 解法1：顯然有＋＋＝0，∴三者線性相關(guān)． 解法2：由k1＋k2＋k3＝0， 即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0， 即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0）， 取k1＝k2＝k3＝1，則＋＋＝0，故三個向量線性相關(guān)． 點　評 這篇案例設計完整，思路自然．由斜邊上物體所受重力的分解，聯(lián)想到向量應有常見的正交分解；由點的坐標表示，結(jié)合平面向量基本定理聯(lián)想到向量也有坐標形式．這為鍛煉學生的類比聯(lián)想能力，增強數(shù)學地提出問題、解決問題的能力提供了平臺．向量用坐標表示即把向量代數(shù)化，增強了學生數(shù)形結(jié)合的意識，也增強了一一對應的意識，為提高學生的數(shù)學素質(zhì)打下了良好的基礎(chǔ)．