2022年高中數(shù)學(xué) 2.1 平面直角坐標(biāo)系中的基本公式 2.1.1 數(shù)軸上的基本公式教案 新人教B版必修2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 2.1 平面直角坐標(biāo)系中的基本公式 2.1.1 數(shù)軸上的基本公式教案 新人教B版必修2 教學(xué)分析      這一小節(jié),在教學(xué)上往往被忽視.但一維坐標(biāo)幾何是二維、三維坐標(biāo)幾何的基礎(chǔ).教師一定要下些工夫,讓學(xué)生牢固掌握.首先復(fù)習(xí)數(shù)軸,建立數(shù)軸上的點與實數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系.然后引入位移向量的概念,建立直線上的向量與實數(shù)的一一對應(yīng).以往在平面解析幾何中,不引入向量的概念,由有向線段代替.對有向線段,也沒有引入運算的概念,這樣數(shù)軸上的基本計算公式,證明起來比較麻煩.現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)中已引入平面向量知識,如果在數(shù)軸上引入向量及其加減運算,學(xué)生會更好地理解坐標(biāo)幾何基本公式的推導(dǎo).也為今后進

2、一步的學(xué)習(xí)坐標(biāo)幾何打下堅實的基礎(chǔ). 值得注意的是本節(jié)內(nèi)容比較容易接受,可以指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)完成,或指定一名具有表現(xiàn)力且成績優(yōu)秀的學(xué)生給同學(xué)們講解. 三維目標(biāo)      1.通過對數(shù)軸的復(fù)習(xí),理解實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系,提高學(xué)生的應(yīng)用能力. 2.理解實數(shù)運算在數(shù)軸上的幾何意義.掌握用數(shù)軸上兩點的坐標(biāo)計算兩點距離的公式,掌握數(shù)軸上向量加法的坐標(biāo)運算,提高學(xué)生的運算能力,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想. 重點難點      教學(xué)重點:直線坐標(biāo)系和數(shù)軸上兩點間的距離公式應(yīng)用. 教學(xué)難點:理解向量的有關(guān)概念. 課時安排      1課時 導(dǎo)入新課      設(shè)計1.在初中,我們學(xué)習(xí)了數(shù)軸上兩

3、點間的距離公式,今天,我們從向量的角度來分析數(shù)軸上兩點間的距離公式,教師點出課題. 設(shè)計2.從本節(jié)開始,我們系統(tǒng)學(xué)習(xí)坐標(biāo)系,并利用坐標(biāo)系解決幾何問題,今天我們先學(xué)習(xí)第二章第一大節(jié)的第一小節(jié),教師點出課題. 推進新課      (2)閱讀教材,給出向量的有關(guān)概念. (3)相等的向量的坐標(biāo)相等嗎?坐標(biāo)相等的向量相等嗎? (4)試討論+. (5)對于數(shù)軸上的任意一個向量,怎樣用它的起點坐標(biāo)和終點的坐標(biāo)來計算它的坐標(biāo). (6)寫出數(shù)軸上兩點間的距離公式. 討論結(jié)果: (1)給出了原點、度量單位和正方向的直線叫做數(shù)軸,或者說在這條直線上建立了直線坐標(biāo)系.點P與實數(shù)x的

4、對應(yīng)法則是: 在數(shù)軸上,點P與實數(shù)x的對應(yīng)法則是:如果點P在原點朝正向的一側(cè),則x為正數(shù),且等于點P到原點的距離;如果點P在原點朝負向的一側(cè),則x為負數(shù),其絕對值等于點P到原點的距離.原點表示數(shù)0.依據(jù)這個法則我們就在實數(shù)集和數(shù)軸上的點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.即對于數(shù)軸上每一個點都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng);反之,對于任何一個實數(shù),數(shù)軸上也存在一個確定的點與之對應(yīng). 若點P與實數(shù)x對應(yīng),則稱點P的坐標(biāo)為x,記作P(x). (2)如下圖所示. 如果數(shù)軸上的任意一點A沿著軸的正向或負向移動到另一點B,則說點在軸上做了一次位移,點不動則說點做了零位移.位移是一個既有大小又有方向的量,通常叫

5、做位移向量,本書簡稱為向量. 從點A到點B的向量,記作,讀作向量AB.點A叫做向量的起點,點B叫做向量的終點,線段AB的長叫做向量的長度,記作||. 數(shù)軸上同向且等長的向量叫做相等的向量. 例如圖中的=. 我們可用實數(shù)表示數(shù)軸上的一個向量.例如上圖中的向量,即從點A沿x軸的正向移動3個單位到達點B,可用正數(shù)3表示;反之,用-3表示B為起點A為終點的向量,3和-3分別叫做向量和的坐標(biāo)或數(shù)量. 一般地,軸上向量的坐標(biāo)是一個實數(shù),實數(shù)的絕對值為線段AB的長度,如果起點指向終點的方向與軸同方向,則這個實數(shù)取正數(shù);反之取負數(shù).向量坐標(biāo)的絕對值等于向量的長度. 起點和終點重合的向量是零向量,它

6、沒有確定的方向,它的坐標(biāo)為0. 向量的坐標(biāo),在本書中用AB表示. (3)例如在下圖中 AB=4,BA=-4,|AB|=4,|BA|=4. 顯然AB=-BA或AB+BA=0. 容易推斷,相等的向量,它們的坐標(biāo)相等;反之,如果數(shù)軸上兩個向量的坐標(biāo)相等,則這兩個向量相等.如果把相等的所有向量看作一個整體,作為同一個向量,則實數(shù)與數(shù)軸上的向量之間是一一對應(yīng)的. (4)在數(shù)軸上,如果點A做一次位移到點B,接著由點B再做一次位移到點C,則位移叫做位移與位移的和.記作=+. 由數(shù)軸上向量坐標(biāo)的定義和有理數(shù)的運算法則,容易歸納出,對數(shù)軸上任意三點A、B、C,都具有關(guān)系:AC=AB+BC.

7、(5)設(shè)是數(shù)軸上的任一個向量,例如下圖 O是原點,點A的坐標(biāo)為x1,點B的坐標(biāo)為x2,則OB=OA+AB,或AB=OB-OA. 依軸上點的坐標(biāo)的定義,OB=x2,OA=x1,所以AB=x2-x1. (6)用d(A,B)表示A、B兩點的距離,根據(jù)這個公式可以得到,數(shù)軸上兩點A、B的距離公式是d(A,B)=|x2-x1|. 思路1 例1已知點A(1),B(3),求AD+DB和|AB|(D是數(shù)軸上的任一點). 解:AD+DB=AB=3-1=2. |AB|=|2|=2. 變式訓(xùn)練 A、B是數(shù)軸上兩點,已知B(-1),且|AB|=2,則點A的坐標(biāo)是______. 答案:1或-

8、3 思路2 例2設(shè)A、B、C、D是同一直線上四個不同點,求證AB·CD+BC·AD+CA-BD=0. 證明:設(shè)A(a),B(b),C(c),D(d). AB·CD+BC·AD+CA·BD=(b-a)(d-c)+(c-b)(d-a)+(a-c)(d-b) =bd-bc-ad+ac+cd-ac-bd+ab+ad-ab-cd+bc =0. 則AB·CD+BC·AD+CA·BD=0. 變式訓(xùn)練 設(shè)線段AB的中點為M,點P為直線AB上任意一點. 求證:PA+PB=2PM. 證明:設(shè)A(a),B(b),P(x),則M(),PA+PB=a-x+b-x=2(-x)=2PM,即PA+PB=

9、2PM. 1.關(guān)于位移向量說法正確的是(  ) A.?dāng)?shù)軸上任意一個點的坐標(biāo)有正負和大小,它是一個位移向量 B.兩個相等的向量的起點可以不同 C.每一個實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的唯一的一個位移向量 D.的大小是數(shù)軸上A、B兩點到原點距離之差的絕對值 答案:B 2.化簡--等于(  ) A.2     B.零位移     C.-2     D.2 解析:--=(+)--=-2. 答案:C 3.若A(x),B(x2)(其中x∈R),|AB|的最小值為(  ) A. B.0 C. D.- 解析:|AB|=|x2-x|=|(x-)

10、2-|≥0,當(dāng)x=0時取等號. 答案:B 4.?dāng)?shù)軸上到A(1),B(2)兩點距離之和等于1的點的集合為(  ) A.{0,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2} D.{x|1≤x≤2} 解析:畫出數(shù)軸可知,滿足條件的點在線段AB上. 答案:D 已知對x∈R總有|x-1|+|x-2|≥m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. 分析:對|x-1|和|x-2|賦予幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合解決. 解:設(shè)A(1),B(2),P(x),則|x-1|+|x-2|=|PA|+|PB|. 如下圖所示: 則|PA|+|PB|≥|AB

11、|=1,則m≤1,即實數(shù)m的取值范圍是[1,+∞). 本節(jié)課學(xué)習(xí)了: 1.直線坐標(biāo)系及其兩點間距離公式; 2.直線坐標(biāo)系中的向量及其坐標(biāo). 本節(jié)練習(xí)A 5題,練習(xí)B 3,4題. 本節(jié)教學(xué)設(shè)計首先通過對數(shù)軸的溫故知新,學(xué)習(xí)一維坐標(biāo)系,溝通實數(shù)及其運算與數(shù)軸上的點及兩點間的相對位置之間的關(guān)系.創(chuàng)建直線坐標(biāo)系中基本計算公式.按本節(jié)教學(xué)設(shè)計講解效果很好. 備選習(xí)題 1.下列說法中正確的是(  ) A.零向量有確定的方向 B.?dāng)?shù)軸上等長的向量叫做相等的向量 C.AB=-BA D.|AB|=BA 答案:C 2.已知1在數(shù)軸上的對應(yīng)點是A,在數(shù)軸上把A向左平移4個單位長度得到點B,再向右平移3個單位長度,所得的點C對應(yīng)的數(shù)是什么?向量和向量的坐標(biāo)分別是什么?向量的坐標(biāo)為多少? 答案:C對應(yīng)的數(shù)是0,向量和向量的坐標(biāo)分別是-4、3,向量的坐標(biāo)為-1. 3.?dāng)?shù)軸上A、B兩點的坐標(biāo)為x1=a+b,x2=a-b,分別求AB、BA、d(A,B)、d(B,A). 解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b.BA=-AB=2b. d(A,B)=|x2-x1|=|-2b|=2|b|,d(B,A)=d(A,B)=2|b|.

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