8、t＝－時(shí)，ymin＝.
∴函數(shù)y＝cos2x＋sin x(|x|≤)的最大值為，最小值為.
探究提高 (1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解．
(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)到以下幾種類型的題目：
①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cos x，
9、化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．
(1)求函數(shù)y＝的定義域；
(2)已知函數(shù)f(x)＝cos＋2sin·sin，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值與最小值．
解 (1)要使函數(shù)有意義，必須使sin x－cos x≥0.利用圖象，在同一坐標(biāo)
系中畫出[0,2π]內(nèi)y＝sin x和y＝cos x的圖象，如圖所示．在[0,2π]內(nèi)，滿 足sin x＝cos x的x為，，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以定義域?yàn)閧x|2kπ ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)由題意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋si
10、n 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.
又x∈，∴2x－∈，
∴sin∈.
故當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最大值1；
當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取最小值－.
題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性
例2 寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期：
(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.
思維啟迪：(1)化為y＝－sin，再求單調(diào)區(qū)間及周期．(2)由y＝tan x的圖象→y＝|tan x|的圖象→求單調(diào)性及周期．
解 (1)y＝－sin，
它的增區(qū)間是y＝sin的減區(qū)間，
它的減區(qū)間是y＝sin的增區(qū)間．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
11、得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所給函數(shù)的減區(qū)間為，k∈Z；
增區(qū)間為，k∈Z.
最小正周期T＝＝π.
(2)觀察圖象可知，y＝|tan x|的增區(qū)間是，k∈Z，減區(qū)間是，k∈Z.
最小正周期T＝π.
探究提高 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (其中A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過(guò)解不等式的方法去解答．列不等式的原則：①把“ωx＋φ (ω>0)”視為一個(gè)“整體”；②A>0 (A<0)時(shí)，所列不等式的方向與y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間
12、對(duì)應(yīng)的不等式方向相同(反)．
(2)對(duì)于y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ為常數(shù))，其周期T＝，單調(diào)區(qū)間利用ωx＋φ∈，解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間．對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f(v)，v＝φ(x)，其單調(diào)性的判定方法：若y＝f(v)和v＝φ(x)同為增(減)函數(shù)時(shí)，y＝f(φ(x))為增函數(shù)；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一減時(shí)，y＝f(φ(x))為減函數(shù)．
(3)求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．
求函數(shù)y＝sin＋cos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值．
解 ∵＋＝，
∴cos＝cos
＝cos＝sin.
∴y＝2sin，周期T＝＝.
13、當(dāng)－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為 (k∈Z)．
當(dāng)＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為(k∈Z)．
當(dāng)x＝＋ (k∈Z)時(shí)，ymax＝2；
當(dāng)x＝－＋ (k∈Z)時(shí)，ymin＝－2.
題型三 三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性
例3 (1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ) 的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，則φ的值為_(kāi)_______．
(2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|φ|的最小值為( )
A. B. C. D.
14、
答案 (1) (2)A
解析 (1)f(x)＝2sin，
y＝f(x＋φ)＝2sin圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，
即f(x＋φ)為偶函數(shù)．
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵|φ|≤，∴φ＝.
(2)由題意得3cos＝3cos
＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得|φ|的最小值為.故選A.
探究提高 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大值或最小值．
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0.
如果求f(x)的對(duì)稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求
15、x.
如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可．
(1)定義運(yùn)算＝ad－bc，則函數(shù)f(x)＝的圖象的一條對(duì)稱軸方程是 ( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
(2)若函數(shù)f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是x＝，函數(shù)f′(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則f(x)的最小正周期是________．
答案 (1)A (2)π
解析 (1)f(x)＝＝3cos x－sin x
＝2cos.
所以當(dāng)x＝時(shí)，f(x)＝2cos＝－2.
(
16、2)由題設(shè)，有f＝±，
即(a＋b)＝±，由此得到a＝b.
又f′＝0，∴aω＝0，
從而tan ＝1，＝kπ＋，k∈Z，
即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，∴ω＝2，
于是f(x)＝a(sin 2x＋cos 2x)＝asin，
故f(x)的最小正周期是π.
方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用
典例：(12分)已知函數(shù)f(x)＝2asin＋b的定義域?yàn)?，函?shù)的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值．
審題視角 (1)求出2x－的范圍，求出sin的值域．(2)系數(shù)a的正、負(fù)影響著f(x)的值，因而要分a>0，a<0兩種情況討論．(3)根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值，
17、列方程組求解．
規(guī)范解答
解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，[3分]
若a>0，則，
解得；[7分]
若a<0，則，
解得.[11分]
綜上可知，a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，
b＝19－12.[12分]
溫馨提醒 (1)對(duì)此類問(wèn)題的解決，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y＝Aasin(ωx＋φ)或y＝Aacos(ωx＋φ)的最值，但要注意對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論，以便確定是最大值還是最小值．(2)再由已知列方程求解．(3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視對(duì)參數(shù)a>0或a<0的分類討論，導(dǎo)致漏解.
方法與技巧
1．利用函數(shù)的有界性(－
18、1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)，求三角函數(shù)的值域(最值)．
2．利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值．
3．利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負(fù)號(hào))．
失誤與防范
1．閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問(wèn)題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響．
2．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先把函數(shù)式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間．應(yīng)特別注意，考慮問(wèn)題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮．注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間的不同：
(1)y＝sin；(2)y＝sin.
3．利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)注意
19、三角函數(shù)的有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯(cuò)誤．
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 函數(shù)y＝的定義域?yàn)? ( )
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
答案 C
解析 由題意得cos x≥，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
故函數(shù)定義域?yàn)椋琸∈Z.
2． y＝sin的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 ( )
A．(－π，0) B.
C. D.
答案 B
20、
解析 ∵y＝sin x的對(duì)稱中心為(kπ，0) (k∈Z)，
∴令x－＝kπ (k∈Z)，x＝kπ＋ (k∈Z)，
由k＝－1，x＝－得y＝sin的一個(gè)對(duì)稱中心是.
3． (xx·山東)若函數(shù)f(x)＝sin ωx (ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω等于 ( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 ∵f(x)＝sin ωx(ω>0)過(guò)原點(diǎn)，
∴當(dāng)0≤ωx≤，即0≤x≤時(shí)，y＝sin ωx是增函數(shù)；
當(dāng)≤ωx≤，即≤x≤時(shí)，y＝sin ωx是減函數(shù)．
由f(x)＝sin ωx (ω>0)在上單調(diào)遞增，
21、
在上單調(diào)遞減知，＝，∴ω＝.
4． 函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin是 ( )
A．非奇非偶函數(shù)
B．僅有最小值的奇函數(shù)
C．僅有最大值的偶函數(shù)
D．有最大值又有最小值的偶函數(shù)
答案 D
解析 f(x)＝cos 2x＋sin＝2cos2x－1＋cos x＝22－.顯然有最大值又有最小值，而且在R上有f(－x)＝f(x)，所以正確答案為D.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 函數(shù)y＝lg(sin x)＋的定義域?yàn)開(kāi)___________________．
答案 (k∈Z)
解析 要使函數(shù)有意義必須有，
即，解得(k∈Z)，
∴2k
22、π0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若x∈[0，]，則f(x)的取值范圍是________．
答案 [－，3]
解析 由對(duì)稱軸完全相同知兩函數(shù)周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)．
由x∈[0，]，得－≤2x－≤π，
∴－≤f(x)≤3.
7． 函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，那么ω＝________.
答案
解析 因?yàn)閒(x)＝2sin ωx (ω>0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大
23、值是，所以2sin ω＝，且0<ω<，因此ω＝.
三、解答題(共22分)
8． (10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝.
(1)求φ；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．
解 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<0，則－
24、；
(2)求函數(shù)y＝2cos2x＋5sin x－4的值域．
解 (1)∵－
25、(其中ω>0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則ω的最小值是 ( )
A. B．1 C. D．2
答案 D
解析 根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為y＝sin ω，
將代入得sin ＝0，則ω＝2k，k∈Z，且ω>0，
故ω的最小值為2.
2． (xx·上海)若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，則在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( )
A．16 B．72 C．86 D．100
答案 C
解析 易知S1>0，S2>0，S3>
26、0，S4>0，S5>0，S6>0，S7>0.
S8＝sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin
＝sin ＋sin ＋…＋sin >0，
S9＝sin ＋sin ＋…＋sin >0，
S10＝sin ＋…＋sin >0，
S11＝sin ＋sin ＋sin >0，
S12＝sin ＋sin >0，
S13＝sin ＝0，
S14＝sin ＋sin ＝0，
∴S1，S2，…，S100中，
S13＝0，S14＝0，S27＝0，S28＝0，S41＝0，S42＝0，S55＝0，
S56＝0，S69＝0，S70＝0，S83＝0，S84＝0，S97＝0，S98＝0，共14個(gè)．
∴在
27、S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是100－14＝86(個(gè))．
3． 已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區(qū)間上的最小值是－2，則ω的最小值等于( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 ∵f(x)＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，
∴x＝－，k∈Z，∴－≤－≤，k∈Z，
∴ω≥－6k＋且ω≥8k－2，k∈Z，∴ωmin＝，故選B.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 函數(shù)y＝2sin(3x＋φ) (|φ|<)的一條對(duì)稱軸為x＝，則φ＝________.
答案
解析 由題意得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
28、∴φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝.
5． 函數(shù)y＝ (0cos x時(shí)，f(x)＝sin x.
給出以下結(jié)論：
①f(x)是周期函數(shù)；
②f(x)的最小值為－1；
③當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ (k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值；
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ－
29、>0；
⑤f(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2π.
其中正確的結(jié)論序號(hào)是________．
答案?、佗堍?
解析 易知函數(shù)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)．
函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．
由圖象可得，f(x)的最小值為－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋ (k∈Z)時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)2kπ－0；f(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2π.所以正確的結(jié)論的序號(hào)是①④⑤.
三、解答題
7． (13分)已知a>0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當(dāng)x∈時(shí)，－5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)g(
30、x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中當(dāng)2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，即kπ
2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 理 新人教A版
