2022年高三數(shù)學大一輪復習 9.5橢圓教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學大一輪復習 9.5橢圓教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查橢圓的定義及應用；2.考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)；3.考查直線與橢圓的位置關(guān)系． 復習備考要這樣做　1.熟練掌握橢圓的定義、幾何性質(zhì)；2.會利用定義法、待定系數(shù)法求橢圓方程；3.重視數(shù)學思想方法的應用，體會解析幾何的本質(zhì)——用代數(shù)方法求解幾何問題． 1． 橢圓的概念 在平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0

2、，且a，c為常數(shù)： (1)若a>c，則集合P為橢圓； (2)若a＝c，則集合P為線段； (3)若ab>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性 質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸　　對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 軸 長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b 焦距 |F1F2|

3、＝2c 離心率 e＝∈(0,1) a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2 [難點正本　疑點清源] 1． 橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)間的關(guān)系： 給出橢圓方程＋＝1時，橢圓的焦點在x軸上?m>n>0，橢圓的焦點在y軸上?0

4、＝1，即b2＝4， ∴c2＝16－4＝12，故2c＝4. 2． 如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是__________． 答案　(0,1) 解析　將橢圓方程化為＋＝1， ∵焦點在y軸上，∴>2，即k<1，又k>0，∴0

5、之和是10，則第三邊的長度為 (　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　A 解析　根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長為4a＝16， 故所求的第三邊的長度為16－10＝6. 5． 橢圓＋＝1(a>b>0)的半焦距為c，若直線y＝2x與橢圓的一個交點P的橫坐標恰為c，則橢圓的離心率為 (　　) A. B. C.－1 D.－1 答案　D 解析　依題意有P(c,2c)，點P在橢圓上， 所以有＋＝1， 整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2， 又因為b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝

6、0， 即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2(3＋2舍去)， 從而e＝－1. 題型一　求橢圓的標準方程 例1　(1)若橢圓短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形；且焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的標準方程為____________； (2)(xx·課標全國)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為__________． 思維啟迪：根據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì)確定橢圓的基本量． 答案　(1)＋＝1或＋＝1 (2)＋＝1 解析　(1)由已知∴ 從而b2＝9，∴所

7、求橢圓的標準方程為 ＋＝1或＋＝1. (2)設橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，由e＝知＝， 故＝. 由于△ABF2的周長為|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16， 故a＝4. ∴b2＝8. ∴橢圓C的方程為＋＝1. 探究提高　求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式． 已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1 (a>

8、b>0)的左，右焦點，A，B分別是此橢圓的右頂點和上頂點，P是橢圓上一點，OP∥AB，PF1⊥x軸，|F1A|＝＋，則此橢圓的方程是____________． 答案　＋＝1 解析　由于直線AB的斜率為－，故OP的斜率為－，直線OP的方程為y＝－x.與橢圓方程＋＝1聯(lián)立，解得x＝±a.因為PF1⊥x軸，所以x＝－a， 從而－a＝－c，即a＝c.又|F1A|＝a＋c＝＋， 故c＋c＝＋，解得c＝，從而a＝. 所以所求的橢圓方程為＋＝1. 題型二　橢圓的幾何性質(zhì) 例2　已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°. (1)求橢圓離心率的范圍； (2)求證：△

9、F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)． 思維啟迪：(1)在△PF1F2中，使用余弦定理和|PF1|＋|PF2|＝2a，可求|PF1|·|PF2|與a，c的關(guān)系，然后利用基本不等式找出不等關(guān)系，從而求出e的范圍； (2)利用S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°可證． (1)解　設橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)， |PF1|＝m，|PF2|＝n，則m＋n＝2a. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2 (當且僅當m＝n時取等號)．∴≥，即e≥. 又

10、0b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60°. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，

11、求a，b的值． 解　(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c， 所以e＝. (2)方法一　a2＝4c2，b2＝3c2，直線AB的方程為 y＝－(x－c)， 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B， 所以|AB|＝·＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 方法二　設|AB|＝t.因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a. 由S△AF1B＝a·

12、a·＝a2＝40 知， a＝10，b＝5. 題型三　直線與橢圓的位置關(guān)系 例3　(xx·北京)已知橢圓G：＋y2＝1.過點(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點． (1)求橢圓G的焦點坐標和離心率； (2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值． 思維啟迪：對于直線和橢圓的交點問題，一般要轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想． 解　(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝. 所以橢圓G的焦點坐標為(－，0)，(，0)． 離心率為e＝＝. (2)由題意知，|m|≥1. 當m＝1時，切線l的方程為x＝1，點A，B的坐標分別為(1，)，(1，－)

13、．此時|AB|＝. 當m＝－1時，同理可得|AB|＝. 當|m|＞1時，設切線l的方程為y＝k(x－m)． 由 得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. 設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝. 又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1， 即m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 由于當m＝±1時，|AB|＝， 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因為|AB|＝＝≤2， 且當m＝±時，|AB|＝2， 所以|AB|的最大值為2. 探究提高　(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩

14、個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系． (2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形． 設F1、F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

15、y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點的坐標滿足方程組 化簡得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為直線AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|， 即＝|x2－x1|， 則＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝－＝， 解得b＝. 步驟表述要規(guī)范 典例：(12分)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點P(a，b)滿足|PF2|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率e. (2)設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點．若直線PF2與圓(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N兩點，且|MN|＝|AB|，求橢圓的方程

16、． 審題視角　第(1)問由|PF2|＝|F1F2|建立關(guān)于a、c的方程；第(2)問可以求出點A、B的坐標或利用根與系數(shù)的關(guān)系求|AB|均可，再利用圓的知識求解． 規(guī)范解答 解　(1)設F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，因為|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.整理得2()2＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.[4分] (2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，直線PF2的方程為y＝(x－c)． A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得5x2－8cx＝0. 解得x1＝0，x2＝c.[6分] 得方程組的解 不妨設A(c，c)，B(

17、0，－c)， 所以|AB|＝＝c.[8分] 于是|MN|＝|AB|＝2c. 圓心(－1，)到直線PF2的距離 d＝＝.[10分] 因為d2＋()2＝42， 所以(2＋c)2＋c2＝16. 整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2. 所以橢圓方程為＋＝1.[12分] 溫馨提醒　(1)解決與弦長有關(guān)的橢圓方程問題，首先根據(jù)題設條件設出所求的橢圓方程，再由直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求出待定系數(shù)． (2)用待定系數(shù)法求橢圓方程時，可盡量減少方程中的待定系數(shù)(本題只有一個c)，這樣可避免繁瑣的運算． 方法與技巧 1． 求橢圓的標準方程時，應從

18、“定形”“定式”“定量”三個方面去思考．“定形”就是指橢圓的對稱中心在原點，以坐標軸為對稱軸的情況下，能否確定橢圓的焦點在哪個坐標軸上．“定式”就是根據(jù)“形”設出橢圓方程的具體形式，“定量”就是指利用定義和已知條件確定方程中的系數(shù)a，b或m，n. 2． 討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種： (1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得； (2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2＝a2－c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解． 失誤與防范 1． 判斷兩種標準方程的方法為比較標準形式中x2與y2的分母大?。? 2． 注意橢圓的

19、范圍，在設橢圓＋＝1 (a>b>0)上點的坐標為P(x，y)時，則|x|≤a，這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因． 3． 注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某一點坐標視為某一函數(shù)問題，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值時有重要意義． A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx·江西)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 (　　) A. B. C.

20、 D.－2 答案　B 解析　由題意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c， 且三者成等比數(shù)列，則|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|， 即4c2＝a2－c2，a2＝5c2， 所以e2＝，所以e＝. 2． 已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為 (　　) A．9 B．1 C．1或9 D．以上都不對 答案　C 解析　，解得a＝5，b＝3，c＝4. ∴橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為a＋c＝9或a－c＝1. 3． 已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2

21、x－15＝0的半徑，則橢圓的標準方程是 (　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由 x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a?a＝2. 又e＝＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝3. 4． 已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點M在該橢圓上，且·＝0，則點M到y(tǒng)軸的距離為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)． 設M(x，y)，則·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0， 整理得x

22、2＋y2＝3.① 又因為點M在橢圓上，故＋y2＝1， 即y2＝1－.② 將②代入①，得x2＝2，解得x＝±. 故點M到y(tǒng)軸的距離為. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為____________． 答案　 解析　在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，設|PF2|＝1，則|PF1|＝2，|F2F1|＝，所以離心率e＝＝. 6． 已知橢圓＋＝1的焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，若連接F1，F(xiàn)2，P三點恰好能構(gòu)成直

23、角三角形，則點P到y(tǒng)軸的距離是________． 答案　 解析　F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，∵3<4， ∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°. 設P(x,3)，代入橢圓方程得x＝±. 即點P到y(tǒng)軸的距離是. 7. 如圖所示，A，B是橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，F(xiàn)為橢圓的 右焦點，OC的延長線交橢圓于點M，且|OF|＝，若MF⊥OA， 則橢圓的方程為__________． 答案?。? 解析　設所求的橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)， 則A(a,0)，B(0，b)，C，F(xiàn)(，0)． 依題意，得＝，F(xiàn)M的直線方程是x＝， 所以M. 由于O，C，M三點

24、共線，所以＝， 即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2. 所求方程是＋＝1. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知橢圓的兩焦點為F1(－1,0)、F2(1,0)，P為橢圓上一點，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. (1)求此橢圓的方程； (2)若點P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面積． 解　(1)依題意得|F1F2|＝2， 又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|， ∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3. ∴所求橢圓的方程為＋＝1. (2)設P點坐標為(x，y)，∵∠F2F1P＝120°， ∴PF1所在直線

25、的方程為y＝(x＋1)·tan 120°， 即y＝－(x＋1)． 解方程組 并注意到x<0，y>0，可得 ∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝. 9． (12分)(xx·安徽)如圖，點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C：＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓C的上 半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x＝于點Q. (1)如果點Q的坐標是(4,4)，求此時橢圓C的方程； (2)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點． (1)解　方法一　由條件知，P，故直線PF2的斜率為kPF2＝＝－. 因為PF2⊥F2Q， 所以直線F2Q的方程為y＝

26、x－，故Q. 由題設知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1. 故橢圓方程為＋＝1. 方法二　設直線x＝與x軸交于點M. 由條件知，P. 因為△PF1F2∽△F2MQ，所以＝， 即＝，解得|MQ|＝2a. 所以解得 故橢圓方程為＋＝1. (2)證明　直線PQ的方程為＝， 即y＝x＋a. 將上式代入＋＝1得x2＋2cx＋c2＝0， 解得x＝－c，y＝. 所以直線PQ與橢圓C只有一個交點． B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx·課標全國)設F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點，P為

27、直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°， ∴∠PF2x＝60°. ∴|PF2|＝2×＝3a－2c. ∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c， ∴e＝＝. 2． 若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則· 的最大值為 (　　) A．2 B．3 C．6 D．8 答案　C 解析　由橢圓方程得F(－1,0)，設P

28、(x0，y0)， 則·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y. ∵P為橢圓上一點，∴＋＝1. ∴·＝x＋x0＋3(1－) ＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2. ∵－2≤x0≤2， ∴·的最大值在x0＝2時取得，且最大值等于6. 3． 在橢圓＋＝1內(nèi)，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為 (　　) A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0 C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0 答案　A 解析　設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 由①－②，得 ＋＝0， 因所以＝－＝－， 所以所求直線方

29、程為y－1＝－(x－1)， 即x＋4y－5＝0. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________． 答案　15 解析　|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M點在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于P點，此時|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋＝15. 5. 如圖，已知點P是以F1、F2為焦點的橢圓＋＝1 (a>b>0)上一

30、點， 若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率是________． 答案　 解析　由題得△PF1F2為直角三角形，設|PF1|＝m， ∵tan∠PF1F2＝，∴|PF2|＝，|F1F2|＝m， ∴e＝＝＝. 6． 已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的離心率等于，其焦點分別為A、B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在△ABC中，的值等于________． 答案　3 解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，因為點C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3. 三、解答題 7． (13分)已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的長軸長為

31、4，離心率為，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點P作橢圓的切線l，交y軸于點A，直線l′過點P且垂直于l，交y軸于點B. (1)求橢圓的方程； (2)試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點？若能，求出定點坐標；若不能，請說明理由． 解　(1)∵2a＝4，＝，∴a＝2，c＝1，b＝. ∴橢圓的方程為＋＝1. (2)能．設點P(x0，y0) (x0≠0，y0≠0)， 由題意知直線l的斜率存在． 設直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)， 代入＋＝1， 整理得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0. ∵x＝x0是方程的兩個相等實根， ∴2x0＝－，解得k＝－. ∴直線l的方程為y－y0＝－(x－x0)． 令x＝0，得點A的坐標為. 又∵＋＝1，∴4y＋3x＝12. ∴點A的坐標為. 又直線l′的方程為y－y0＝(x－x0)， 令x＝0，得點B的坐標為. ∴以AB為直徑的圓的方程為 x·x＋·＝0. 整理，得x2＋y2＋y－1＝0.令y＝0，得x＝±1， ∴以AB為直徑的圓恒過定點(1,0)和(－1,0)．