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1、2022年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題 含答案(III)
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分共22題，共150分，共2頁.考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，只交答題卡和答題紙.
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分）
1．已知，則
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)等于
A. B. C. D.
3.“”是“”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.在中，
2、如果，那么等于
A. B. C. D.
5.是函數(shù)的極值點(diǎn)，則 =
A.2 B.3 C.4 D.5
6.我國古代用詩歌形式提出過一個數(shù)列問題：
遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？
請你回答塔頂燈的盞數(shù)為
A.3 B.4 C.5 D.6
7.如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為
A．3 B.1 C.
3、 D.
8.設(shè)，，，則=
A. B. C. D.
9．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為
A. B.
C. D.
10.已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
11.已知一個正四面體的俯視圖如圖所示，其中四邊形是邊長為的正方形，則該正四面體的內(nèi)切球的表面積為
A. B.
C.
4、 D．
12. 對于任意實(shí)數(shù)，定義.定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若方程恰有兩個根，則的取值范圍是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題，共計(jì)90分)
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13.若,,則的值是 ．
14.已知滿足則的最大值為___________.
15.積分估值定理：如果函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，那么，根據(jù)上述定理：估計(jì)定積分的取值范圍 ．
16．設(shè)是的重心，且，則角的大小為 ．
三、
5、解答題（本大題共6小題，共70分）
17．（本小題滿分10分）
求經(jīng)過點(diǎn)并且在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.
18.（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：對于任意的，都有．
19. （本小題滿分12分）
已知函數(shù),.
（Ⅰ）若函數(shù)的值不大于1，求的取值范圍;
（Ⅱ）若函數(shù)的解集為,求的取值范圍.
20.（本小題滿分12分）
如圖,在四棱錐中，平面⊥平面，=，，，.
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
21. （
6、本小題滿分12分）
已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）判斷函數(shù)在的單調(diào)性并求出其最值.
22.（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個數(shù)；
（Ⅱ）若在處取得極值，且對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（III）當(dāng)時，求證：.
答案
一.選擇題：
CABDA ACCBDAA
二.填空題：
13. ____ ____ 14. _____2______
15. _____ ______ 16. ______ _____
三解答題：
17.解：當(dāng)
7、截距為 時，設(shè) ，過點(diǎn) ，則得 ，即 ；
當(dāng)截距不為 時，設(shè) 過點(diǎn) ， 則得 ，即 ，
這樣的直線有2條： ， 。
18. （Ⅰ）
（Ⅱ）
19.
20. 解：（Ⅰ）證明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2，
由AC＝2，AB＝2，
得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE.又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD.
（Ⅱ）方法一：
過B作BF⊥AD，與AD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥DE，與AE交于點(diǎn)G，連接BG.由(1)知DE⊥AD，則
8、FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B - AD - E的平面角．
在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，
得BD⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，從而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.
在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝2，得AD＝6.
在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝6，得AE＝7.
在Rt△ABD中，由BD＝2，AB＝2，AD＝6，得BF＝2 33，AF＝23AD.從而GF＝23ED＝23.
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分別可得cos∠BAE＝5 714，BG＝23.
在△BFG中，cos∠BFG＝GF2＋BF
9、2－BG22BF?GF＝32.
所以，∠BFG＝π6，即二面角B - AD - E的大小是π6.
方法二：
以D為原點(diǎn)，分別以射線DE，DC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D - xyz，如圖所示．
由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：
D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，
A(0，2，2)，B(1，1，0)．
設(shè)平面ADE的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
平面ABD的法向量為n＝(x2，y2，z2)．
可算得AD＝(0，－2，－2)，AE＝(1，－2，－2)，DB→＝(1，1，0)．
由m?AD＝0，m?AE→＝0，即－2y1－2z1＝0，x1－2y1－
10、2z1＝0，
可取m＝(0，1，－2)．
由n?AD→＝0，n?DB→＝0，即－2y2－2z2＝0，x2＋y2＝0，
可取n＝(1，－1，2)．
于是|cos〈m，n〉|＝|m?n||m|?|n|＝33×2＝32.
由題意可知，所求二面角是銳角，
故二面角B - AD - E的大小是π6.
21.（Ⅰ）由題設(shè)圖像知，周期 .
因?yàn)辄c(diǎn) 在函數(shù)圖像上，所以 .
又 即 .
又點(diǎn) 在函數(shù)圖像上，所以 ，故函數(shù)f（x）的解析式為
（Ⅱ）
在 內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， .
22.解： （Ⅰ）
（Ⅱ）
（III）
2022年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題 含答案(III)
