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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次檢測(cè)試卷 文(含解析)新人教A版
注意事項(xiàng):
1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上
第I卷(選擇題)
請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明
評(píng)卷人
得分
一、選擇題(題型注釋)
1.若集合且,則集合可能是( )
A. B. C. D.
2.已知向量,,若,則的值為( )
A. B.1 C. D.
3.函數(shù)的定義域?yàn)椋? )
A. B. C. D.
4.設(shè)等比數(shù)列的公比
2、,前項(xiàng)和為,則( )
A.2 B.4 C. D.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,D為斜邊AB的中點(diǎn),則=( )
A.1 B -1 C.2 D.-2
6.已知函數(shù)f(x)=sin x-x(x∈[0,π]),那么下列結(jié)論正確的是 ( ).
A.f(x)在上是增函數(shù)
B.f(x)在上是減函數(shù)
C.?x∈,
D.?x∈,。
7.函數(shù)(其中)的圖象如圖所示,為了得到的圖像,則只要將的圖像( )
A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向左平移個(gè)
3、單位長(zhǎng)度
8.設(shè)非零向量,滿足 ,與 的夾角為( )
A.60 B.90 C.120 D 150
9.已知函數(shù)在上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10.設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù),若對(duì)任意的,都有,則稱和在上是“密切函數(shù)”,稱為“密切區(qū)間”,設(shè)與在上是“密切函數(shù)”,則它的“密切區(qū)間”可以是( )
A. B. C. D.
第II卷(非選擇題)
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得分
二、填空題(題型
4、注釋)
11.曲線在處的切線的斜率
12.若,則的值為_(kāi)___________
13. 已知函數(shù)是上的偶函數(shù),若對(duì)于,都有,且當(dāng)時(shí),,則的值為_(kāi)____________
14.已知,,與的夾角為,與的夾角為銳角,求的取值范圍________
15.下列命題正確的是___________(寫(xiě)序號(hào))
①命題“ ”的否定是“ ”:
②函數(shù) 的最小正周期為“ ”是“”的必要不充分條件;
③ 在 上恒成立 在 上恒成立;
④“平面向量 與 的夾角是鈍角”的充分必要條件是“ ”
評(píng)卷人
得分
三、解答題(題型注釋)
16.設(shè)命題
5、:函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減;命題:函數(shù)的值域是.如果命題或?yàn)檎婷},且為假命題,求的取值范圍.
17.已知:,為常數(shù))
若,求的最小正周期;
若在上的最大值與最小值之和為3,求的值.
18.已知正項(xiàng)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,且,,成等差數(shù)列.
(1)證明數(shù)列{}是等比數(shù)列;
(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19.設(shè)為奇函數(shù),其圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直,導(dǎo)函數(shù)的最小值為-12.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,極大值和極小值,并求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值.
20.已知,其中,.
(1)求的周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別
6、為,,,求邊長(zhǎng)和的值().
21.已知函數(shù).
(1)若對(duì)于都有成立,試求a的取值范圍;
(2)記,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
參考答案
1.A
【解析】
試題分析:由于,,因?yàn)椋蚀鸢笧锳.
考點(diǎn):集合交集的性質(zhì).
2.D
【解析】
試題分析:由于,因此,得,故答案為D.
考點(diǎn):平面向量垂直的應(yīng)用.
3.B
【解析】
試題分析:要使函數(shù)有意義,滿足,解得,故答案為B.
考點(diǎn):求函數(shù)的定義域.
4.C
【解析】
試題分析:,,,故答案為B.
考點(diǎn):等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.
5.B
【解析】
試題分析:由于∠C=90°,∠A=
7、30°,BC=1,D為斜邊AB的中點(diǎn),,
,,,故答案為B.
考點(diǎn):平面向量的數(shù)量積.
6.D
【解析】
試題分析:由于,,得,由得
,因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間,當(dāng)時(shí),取最大值,故答案為D.
考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.
7.A
【解析】
試題分析:由圖可知,,故,由于為五點(diǎn)作圖的第三點(diǎn),
,解得,所以,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
得,故答案為A.
考點(diǎn):1、由函數(shù)圖象求函數(shù)解析式;2、圖象平移.
8.A
【解析】
試題分析:由題意得,,由于,因此得,
,因此夾角為,故答案為A.
考點(diǎn):向量的夾角.
9.B
【解析】
試題分析:由
8、于函數(shù)為上減函數(shù),滿足,解得,故答案為B.
考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.
10.C
【解析】
試題分析:解:因?yàn)榕c在上是“密切函數(shù)”
則,即,即,
化簡(jiǎn)得,因?yàn)榈模磁c軸沒(méi)有交點(diǎn),由開(kāi)口向上得到恒成立;所以由,解得,所以它的“密切區(qū)間”為,故答案為C.
考點(diǎn):1、新定義的概念;2、絕對(duì)值不等式的解法.
11.2
【解析】
試題分析:,所以切線的斜率,故答案為2
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
12.
【解析】
試題分析:由誘導(dǎo)公式,得,,故答案為
考點(diǎn):1、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用;2、倍角公式的應(yīng)用.
13.1
【解析】
試題分析:由得函數(shù)的周期,,由于為偶函數(shù),,所以
考點(diǎn)
9、:1、偶函數(shù)的應(yīng)用;2、函數(shù)的周期性.
14.且
【解析】
試題分析:,由于與的夾角為銳角,因此且,與不共線同向,
,解得,當(dāng)與共線時(shí),
,即,,得,由于不共線,所以的取值范圍且
考點(diǎn):向量夾角的應(yīng)用.
15.①②
【解析】
試題分析:對(duì)于①特稱命題的否定,把存在量詞寫(xiě)成全稱量詞,把結(jié)論否定,正確;對(duì)于②函數(shù)
,周期為,則,即,故正確;對(duì)于③,在上恒成立,等價(jià)條件在上恒成立,不對(duì);對(duì)于④
“平面向量 與 的夾角是鈍角”的充分必要條件是“ ”且與不共線反向,不對(duì);故正確的是①②.
考點(diǎn):命題的真假.
16.或
【解析】
試題分析:(1)正確理解邏輯連接詞“或”、“且
10、”,“非”的含義是關(guān)鍵,解題時(shí)應(yīng)根據(jù)組成各個(gè)復(fù)合命題的語(yǔ)句中所出現(xiàn)的邏輯連接詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)與真假的判斷,其步驟為:①確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式;②判斷其中簡(jiǎn)單命題的真假;③判斷復(fù)合命題的真假;(2)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把每個(gè)條件所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍求解出來(lái),然后轉(zhuǎn)化為集合交、并、補(bǔ)的基本運(yùn)算;(3)注意或?yàn)檎?,且為假說(shuō)明一真一假.
試題解析:解:為真命題,則在區(qū)間恒成立
在區(qū)間恒成立,由于的最大值為3
當(dāng)為真命題,則,解得或
由于命題或?yàn)檎婷},且為假命題,所以和命題一真一假
當(dāng)真假時(shí),,得
當(dāng)假真時(shí),,得或
綜上所述:的取值范圍或.
考點(diǎn):1、恒成立的問(wèn)題;2、命題的
11、真假.
17.(1);(2)
【解析】
試題分析:(1)利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡(jiǎn),得到的形式,利用公式
計(jì)算周期.(2)求三角函數(shù)的最小正周期一般化成,,形式,利用周期公式即可,運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件,要注意和差、倍角的相對(duì)性,要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用;(3)重視三角函數(shù)的三變:三變指變角、變名、變式;變角:對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角;變名:盡可能減少函數(shù)名稱;變式:對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等,適當(dāng)選擇公式進(jìn)行變形.
試題解析:解:
(1)最小正周期
(2)
即
考點(diǎn):1、求三角函數(shù)的周
12、期;2、求三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.
18.(1)證明見(jiàn)解析;(2)
【解析】
試題分析:(1)證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種:一是定義法:證明;二是等差中項(xiàng)法,證明,若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需舉出反例即可;(2)等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列的一類基本問(wèn)題,解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用,(3)觀測(cè)數(shù)列的特點(diǎn)形式,看使用什么方法求和.使用裂項(xiàng)法求和時(shí),要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn),實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源和目的.
試題解析:解:(1)證明:由題意知
當(dāng)時(shí),,
13、
當(dāng)時(shí),,
兩式相減得,即
由于為正項(xiàng)數(shù)列,
即數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)之比都是同一個(gè)常數(shù)2
數(shù)列是以為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列
由(1)知,
.
考點(diǎn):1、證明數(shù)列為等比數(shù)列;2、裂項(xiàng)求和.
19.(1);(2)當(dāng)時(shí),取得最小值為,當(dāng)時(shí),取最大值1
【解析】
試題分析:(1)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值一般思路:利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為,從而建立方程,使問(wèn)題獲解,但是在解決選擇題,填空題時(shí),利用定義去做相對(duì)麻煩,因此為使問(wèn)題解決更快,可采用特值法;(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程,注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率;(3)函數(shù)
14、在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則若,則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,若,則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;(4)解決類似的問(wèn)題時(shí),注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí),要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn),再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,最后比較即得.
試題解析:解:(1)為奇函數(shù),
即,
的最小值為-12,
又直線的斜率為
因此,故
,
列表如下
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為
的極大值為,極小值
又,所以當(dāng)時(shí),取得最小值為,當(dāng)時(shí),取最大值1.
考點(diǎn):1、奇函數(shù)的應(yīng)用;2、求曲線的切線方程
15、;3、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.
20.(1),的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)
【解析】
試題分析:(1)利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡(jiǎn),得到的形式,利用公式
計(jì)算周期.(2)利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求在的單調(diào)性.(3)求三角函數(shù)的最小正周期一般化成,,形式,利用周期公式即可.(4)求解較復(fù)雜三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),首先化成形式,再的單調(diào)區(qū)間,只需把看作一個(gè)整體代入相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間,注意先把化為正數(shù),這是容易出錯(cuò)的地方.
試題解析:解:由題意知,
的最小正周期為
在上單調(diào)遞減,
令,得
的單調(diào)遞減區(qū)間
,
又,即
,即,由余弦定理得
,即
又,.
考點(diǎn):1、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)
16、;2、求三角函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間;3、求三角形的邊長(zhǎng).
21.(1);(2)
【解析】
試題分析:(1)含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題通常有兩種處理方法:一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來(lái)處理;二是分離參數(shù),再去求函數(shù)的最值來(lái)處理,一般后者比較簡(jiǎn)單;(2)解決類似的問(wèn)題時(shí),注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí),要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn),再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,最后比較即得;(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則若,則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,若,則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
試題解析:解:(1).
由,解得;由,解得
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,
因?yàn)閷?duì)于都有成立
所以只需滿足即可
則,即,解得
所以的取值范圍是
依題意得,其定義域?yàn)?
則,由,解得
由解得
所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又因?yàn)?
函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),
所以,解得.
考點(diǎn):1、恒成立的問(wèn)題;2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系;3、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).