2022年高中數(shù)學(xué) 歸納推理教案 蘇教版選修2-2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 歸納推理教案 蘇教版選修2-2 一、教學(xué)目標(biāo) 知識與技能:(1)體會歸納推理這種基本的分析問題法,并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)中去。 (2)明確歸納推理的一般步驟,并把這些方法用于實際問題的解決中去。 過程與方法: (1)通過歌德巴赫猜想引入課題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性; (2)通過師生合作做實驗的過程,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性; (3)通過生活中的實例,讓學(xué)生體會歸納推理的思想方法。 情感態(tài)度與價值觀: 正確認(rèn)識歸納推理在數(shù)學(xué)中的重要作用,養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物

2、之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì),善于發(fā)現(xiàn)問題,探求新知識。 二、教學(xué)重點:理解歸納推理的思維過程與一般形式。 三、教學(xué)難點:運用歸納推理得到一般性的結(jié)論。 四、教學(xué)方法與手段:多媒體演示,互動實驗。 五、教學(xué)過程: 情景一:歌德巴赫猜想 問題1:同學(xué)們,你們有沒有聽說過一個世紀(jì)難題,歌德巴赫猜想,簡稱“1+1”? ____________________________________________ 問題2:你們知道這個歌德巴赫猜想的具體內(nèi)容嗎? ____________________________________________ 問題3:你們想不想

3、知道歌德巴赫是怎樣提出這個猜想的? 1742年,歌德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn): 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5, 12=5+7, 14=3+11=7+7, 16=3+13=5+11, 18=5+13=7+11, 20=3+17=7+13, 22=3+19=5+17=11+11,…… 由此,他猜想:任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和(簡稱“1+1”),可是他既證

4、明不了這個猜想,也否定不了這個猜想。于是,歌德巴赫寫信給當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉在給他的回信中說,他相信這個猜想是正確的,但他不能證明。敘述如此簡單的問題,連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明,這個猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個猜想至今,許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它,但都沒有成功。 從此,這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了,沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代,才有人開始向它靠近。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的“每一個充分大的偶數(shù)都能夠表示為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之

5、和”(簡稱“1+2”),這一結(jié)論十分接近歌德巴赫猜想的解,被國際上稱為“陳氏定理”。 情景二:多面體的歐拉公式 雖然,歌德巴赫的猜想還不能證明,但他的這種猜想方法在定理發(fā)現(xiàn)中很有用。大數(shù)學(xué)家歐拉,也是通過觀察一些簡單的多面體,然后發(fā)現(xiàn)多面體的歐拉公式的。 下面請同學(xué)們數(shù)一數(shù)下列圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E,然后一起把表格填完整。 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱錐 四棱錐 三棱柱 五棱錐 立方體 正八面體 五棱柱 截

6、角正方體 尖頂塔 問題4:歐拉從中發(fā)現(xiàn)了公式,你們發(fā)現(xiàn)了嗎? ____________________________________ 情景三:生活中的猜想 人們發(fā)現(xiàn),只要有一年冬季下了大雪,那么第二年莊稼就會獲得豐收,而沒有發(fā)現(xiàn)相反情況,于是,人們作出了一個猜想:“瑞雪兆豐年”。 這樣的猜想生活中還有很多,例如每次下大雨之前,都有螞蟻搬家的現(xiàn)象,于是,我們就據(jù)此作出一個猜想:“凡螞蟻搬家,天必下雨” 問題5:在上面幾個例子中,大家有沒有發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點? 它們都是從個別事實中推演出一般的結(jié)論,像這樣的推理通常稱為

7、歸納推理,簡稱歸納法。 歸納推理的思維過程大致如下: 猜測一般性的結(jié)論 概括、推廣 實驗、觀察 歸納推理的一般模式為: S1具有P, S2具有P, …… Sn具有P(S1,S2,……,Sn是A類事實的對象) 所以,A類事物都具有P。 互動實驗: 道具:兩袋玻璃棋子(其中一袋都是黑的;一袋中除一個黑的外其余都是白的) 過程:請兩個學(xué)生上臺摸袋中的棋子,一次摸一個,摸了三次后,請他們作出一個歸納推理。

8、 目的:說明歸納推理得到的結(jié)論不都是正確的。 問題6:為什么上面的實驗可能會得到不正確的結(jié)論? 因為沒有全部摸出來,只檢查了幾個,就得出結(jié)論了。 像這樣只從幾個個別事例就推出結(jié)論的歸納法稱為不完全歸納法; 如果把全部情況都列舉出來的歸納法稱為完全歸納法。 完全歸納法考察的是某類事物的全部對象,所以它的結(jié)論一定是正確的。但它的運用是有局限性的。如果某類事物的個別對象是無限的(如天體、原子)或者事實上是無法一一考察窮盡的,它就不能適用了。這時就只能運用不完全歸納推理了。例如檢查一個大型生產(chǎn)廠的產(chǎn)品

9、合格率。 課堂研學(xué):“漢諾塔”問題 如圖有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。 ①、每次只能移動1個金屬片;②、較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次? 2 3 1 課堂練習(xí): (1)已知數(shù)列的通項公式,記,試通過計算的值,推測出的值。 (2)已知:,。觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一般性的命題,并證明之。 課堂總結(jié): 問題7:通過以上學(xué)習(xí),歸納推理具有什么特點? (1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所包容的范圍。 (2)由歸納得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì),結(jié)論是否真實,還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗。因此,它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。 (3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理,通過歸納推理得到的猜想,可以作為進一步研究的起點,幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

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