4、
8.在數(shù)列{an}中,a1=,an+1=1-(n≥2),則a16=________.
解析 由題可知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,a16=a3×5+1=a1=.
答案
9.已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足log2(Sn+1)=n+1,則an=________.
解析 由已知條件可得Sn+1=2n+1.
∴Sn=2n+1-1,
當(dāng)n=1時,a1=S1=3,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n,
n=1時不適合an,∴an=
答案
10.已知5×5數(shù)字方陣
中,aij=
則3j+i4=
5、________.
解析 由條件可知a32=-1,a33=1,a34=-1,a35=-1,a24=1,a34=-1,a44=1,從而原式=-1.
答案?。?
二、解答題
11.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+6.
(1)這個數(shù)列的第4項(xiàng)是多少?
(2)150是不是這個數(shù)列的項(xiàng)?若是這個數(shù)列的項(xiàng),它是第幾項(xiàng)?
(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)?
解 (1)當(dāng)n=4時,a4=42-4×7+6=-6.
(2)令an=150,即n2-7n+6=150,
解得n=16或n=-9(舍去),
即150是這個數(shù)列的第16項(xiàng).
(3)令an=n2-7n+6>0,
解得n
6、>6或n<1(舍).
∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù).
12.設(shè)數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)設(shè)bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范圍.
解 (1)依題意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,
由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),
∴{Sn-3n}是等比數(shù)列,
因此,所求通項(xiàng)公式為
bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.①
(2)由①知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1
7、
=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2
=2×3n-1+(a-3)2n-2,
an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2
=2n-2,
當(dāng)n≥2時,an+1≥an?12·n-2+a-3≥0?a≥-9.
又a2=a1+3>a1.
綜上,所求的a的取值范圍是[-9,+∞).
13.設(shè)數(shù)列{bn}滿足:b1=,bn+1=b+bn,
(1)求證:=-;
(2)若Tn=++…+,對任意的正整數(shù)n,3Tn-log2m-5>0恒成立.求m的取值范圍.
解 (1)∵b1=,bn+1=b+bn=bn(bn+1),
∴對任意的n∈N*,bn>0.
∴==-,即=
8、-.
(2)Tn=++…+=-=2-.
∵bn+1-bn=b>0,∴bn+1>bn,∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列.
∴數(shù)列{Tn}關(guān)于n遞增.∴Tn≥T1.
∵b1=,∴b2=b1(b1+1)=.∴T1=2-=.
∴Tn≥.∵3Tn-log2m-5>0恒成立.
∴l(xiāng)og2m<-3,∴0
9、n-Sn-1=-,即=(n≥2).所以是首項(xiàng)為=1的常數(shù)數(shù)列,所以=1,即an=n(n∈N*).
法二 同上,得(n-1)an=nan-1.同理得
nan+1=(n+1)an,所以2nan=n(an-1+an+1),即
2an=an-1+an+1,所以{an}成等差數(shù)列.又由a1=1,得a2=S2-a1,得a2=2,得an=1+(n-1)=n(n∈N*).
法三 同上,得=(n≥2),
所以an=···…···a1=··…···1=n,當(dāng)n=1時a1=1,也滿足an=n,所以an=n(n∈N*).
(2)假設(shè)存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比數(shù)列,則bkbk+2=b.因?yàn)閎n=ln an=ln n,
所以bkbk+2=ln k·ln(k+2)<2=2<2=[ln(k+1)]2=b,這與bkbk+2=b矛盾.
故不存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比數(shù)列.