2022年高三第二次月考 數(shù)學(xué)文

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1、2022年高三第二次月考 數(shù)學(xué)文 　本試題卷分共4頁，23題（含選考題）。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。 ★?？荚図樌? 注意事項(xiàng)： 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項(xiàng)： 1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。 2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆記清楚。 3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。 4.作圖可

2、先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。 5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6≤0}，B={x|y=ln（3﹣x）}，則A∩B=（　?。? A．（3，6 ] B．（1，3] C．（﹣1，3）D．[﹣1，3） 2. 函數(shù) 在以下哪個區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn) ( ) A. B. C. D. 3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ） A. B. C.

3、 D. 4.已知實(shí)數(shù)，那么它們的大小關(guān)系是 A. B. C. D. 5. 已知下列命題：①命題“”的否定是“” ②已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題 ③“”是“”的充分不必要條件 ④“若，則且”的逆否命題為真命題 其中真命題的個數(shù)為（ ） A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個 6.下列四個圖中，可能是函數(shù)的圖象是是 7. 下面四個條件中，使成立的必要而不充分的條件是（ ） A. B. C. D. 8．已知函數(shù)為定義在[2，]上

4、的偶函數(shù)，且在[0，]上單調(diào)遞增，則的解集 A．[1, 2] B．[3, 5] C ．[-1, 1] D．[,] 9．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=log2（x+1），則f（31）=（　?。? A．0 B．1 C．2 D．﹣1 10. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 11．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，則不等式f（x）﹣

5、2ex＜0的解集為（　?。? A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 12. 設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的解，且，則 的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分． 13. 若是直角三角形的三邊（為斜邊），則圓被直線所截得的弦長等于__________． 14. 已知，且，則等于__________． 15. 如圖，已知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線（，）上，過作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該雙曲線的離心率為__________． 16.已知，若在區(qū)間上有且只有一

6、個極值點(diǎn)，則a的取值范圍是 三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17. 在中，，，分別是內(nèi)角，，的對邊，且. （Ⅰ）若，求的大小； （Ⅱ）若，的面積且，求，. 18．某學(xué)校高三年級有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率

7、分布直方圖． （1）從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率； （2）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”？ P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 附：K2=． 19.如圖，四棱錐中，， ，與都是邊長為2的等邊三角形，是的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求四棱錐的體積. 20．已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|

8、+|AC|=4． （Ⅰ）求動點(diǎn)A的軌跡M的方程； （Ⅱ）P為軌跡M上動點(diǎn)，△PBC的外接圓為⊙O1（O1為圓心），當(dāng)P在M上運(yùn) 動時，求點(diǎn)O1到x軸的距離的最小值． 21.已知函數(shù)f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx． （1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （2）若存在x0∈[，e]使得mf′（x0）+g（x0）≥2x0+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 　 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，若直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M

9、為圓心，3為半徑． （Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|?|PB|． 　 [選修4-5：不等式選講] 23.選修4-5：不等式選講 已知，其中. （Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集； （Ⅱ）已知關(guān)于的不等式的解集為，求的值. 數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6≤0}，B={x|y=ln（3﹣x）}，則A∩B=（　　） A．（3，6] B．（1，3] C．（﹣1，3）

10、 D．[﹣1，3） 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤6}=[﹣1，6]， B={x|y=ln（3﹣x）}={x|3﹣x＞0}={x|x＜3}=（﹣∞，3）； ∴A∩B=[﹣1，3）． 故選：D． 　2. 函數(shù) 在以下哪個區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn) ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵f（x）=x3+3x-1 ∴f（-1）f（0）=（-1-3-1）（-1）＞0，排除A． f（1）f（2）=（1+3-1）（8+6-1）＞0，排除B． 故選B． 3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ） A.

11、 B. C. D. 【答案】C 【解析】依題意有，解得.選C. 4.已知實(shí)數(shù)，那么它們的大小關(guān)系是 A. B. C. D. 【解析】 試題分析：因?yàn)椋? ,所以；故選A． 5. 已知下列命題： ①命題“”的否定是“” ②已知為兩個命題，若“”為假命題，則“”為真命題 ③“”是“”的充分不必要條件 ④“若，則且”的逆否命題為真命題 其中真命題的個數(shù)為（ ） A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0個 【答案】C 【解析】①命題“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1?3x

12、”，故①是假命題； ②由于“p∨q”的否定是“￢p∧￢q”，故②是真命題。 ③由于a>5成立，則a>2一定成立，而a>2成立，a>5不一定成立，故③是假命題； ④由于命題“若xy=0，則x=0且y=0”是假命題，故④是假命題； 本題選擇C選項(xiàng). 6.下列四個圖中，可能是函數(shù)的圖象是是 【答案】C 【解析】 試題分析：顯然，當(dāng)時，,即，故排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時，,即，故排除選項(xiàng)D；故選C． 7. 下面四個條件中，使成立的必要而不充分的條件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8．已知函數(shù)為定義在[2，]上的偶函數(shù)，且在[0

13、，]上單調(diào)遞增，則的解集 A．[1, 2] B．[3, 5] C ．[-1, 1] D．[,] 【解答】解：由得，，則在[0, 2]上遞增，在[-2, 0]上遞減，所以 故選：C． 9．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=log2（x+1），則f（31）=（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【解答】解：∵奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1﹣x）， ∴f（x+1）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x）， 則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

14、 即函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)， ∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=log2（x+1）， ∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1， 故選：D． 10. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】試題分析：由于函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，進(jìn)而可得當(dāng)時，從而曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，故選B. 11．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，則不等式f（x）﹣2ex＜0的解集為（　?。? A．（﹣2，+∞

15、） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 【解答】解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 g′（x）=， ∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0， 即g（x）在R上單調(diào)遞減； 又∵f（0）=2，∴g（0）==2， 則不等式f（x）﹣2ex＜0化為＜2， 它等價于g（x）＜2， 即g（x）＜g（0）， ∴x＞0， 即所求不等式的解集為（0，+∞）． 故選：B． 12. 設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的解，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】作出函數(shù)和的圖象（如圖所示），若關(guān)于的方程有四

16、個不同的解且，則且，即，且，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍為；故選D. 二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分． 13. 若是直角三角形的三邊（為斜邊），則圓被直線所截得的弦長等于__________． 【答案】2 再根據(jù)半徑，可得弦長為. 14. 已知，且，則等于__________． 【答案】 【解析】由題意可得， 15. 如圖，已知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線（，）上，過作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該雙曲線的離心率為__________． 【答案】 【解析】由題意得 ，所以 　16.已知，若在區(qū)間上有且只有一個極值點(diǎn)，則a的取值范圍是

17、 【解析】 試題分析：因?yàn)?，所以，設(shè)，所以 ，當(dāng)在上恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以在上有且只有一個零點(diǎn)，使得，且在上，，在上，，所以為函數(shù)在上唯一的極小值點(diǎn)；時，成立，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時，所以在上恒成立，即，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)在上無極值；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以在上恒成立，即，函?shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)在上無極值，綜上所述， 三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17. 在中，，，分別是內(nèi)角，，的對邊，且. （Ⅰ）若，求的大小； （Ⅱ）若，的面積且，求，. 解：（Ⅰ）∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，

18、 ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）∵的面積，∴，∴① ∵，∴由余弦定理可得， ∴② ∵，∴聯(lián)立①②可得，. 　18．某學(xué)校高三年級有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． （1）從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率； （2）若規(guī)

19、定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”？ P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 附：K2=． 【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名學(xué)生中，男生60名，女生40名， 分?jǐn)?shù)小于等于110分的學(xué)生中， 男生人有60×0.05=3（人），記為A1，A2，A3； 女生有40×0.05=2（人），記為B1，B2；…（2分） 從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是： （A1，A2

20、），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2）， （A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）； 其中，兩名學(xué)生恰好為一男一女的可能結(jié)果共有6種，它們是： （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1）， （A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…（4分） 故所求的概率為P==…（6分） （2）由頻率分布直方圖可知， 在抽取的100名學(xué)生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…（7分） 據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下： 數(shù)學(xué)尖子生 非數(shù)學(xué)尖子生 合計(jì) 男生 15 45 6

21、0 女生 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 （9分） 所以得K2==≈1.79；…（11分） 因?yàn)?.79＜2.706， 所以沒有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”…（12分） 19.如圖，四棱錐中，， ，與都是邊長為2的等邊三角形，是的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求四棱錐的體積. （2）求四棱錐的體積. 20．已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4． （Ⅰ）求動點(diǎn)A的軌跡M的方程； （Ⅱ）P為軌跡M上動點(diǎn)，△PBC的外接圓為⊙O1（O1為圓心），當(dāng)P在M上運(yùn)動時，求點(diǎn)O1到x軸的距

22、離的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意知，動點(diǎn)A滿足橢圓的定義，（1分） 設(shè)橢圓的方程（a＞b＞0，且y≠0）， 所以，有|F1F2|=|BC|=2c=2，|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分） 且a2=b2+c2解得（3分） 所以，動點(diǎn)A的軌跡C滿足的方程為（4分） 沒有寫出約束條件的扣（1分） （Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），不妨設(shè) 線段PB的垂直平分線方程為（6分） 線段BC的垂直平分線方程為x=0，兩條垂線方程聯(lián)立求得 （8分） ∵∴（9分） ∴⊙O1的圓心O1到x軸的距離（10分） 又知在上是單調(diào)遞減函數(shù) ∴當(dāng)時，， ∴（12分）

23、 21.已知函數(shù)f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx． （1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （2）若存在x0∈[，e]使得mf′（x0）+g（x0）≥2x0+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，（x＞0）．令f′（x）=0，解得x=． 則x時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減． ①時，函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上單調(diào)遞增， 因此x=t時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（x）min=f（t）=tlnt+2． ②時，＜t+2，則x=時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（x）min=f（

24、）=﹣+2． 綜上可得：①時，x=t時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（x）min=f（t）=tlnt+2． ②時，x=時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（x）min=f（）=﹣+2． （2）存在x0∈[，e]使得mf′（x0）+g（x0）≥2x0+m成立，?m≤，x∈[，e]． 令h（x）=，x∈[，e]． h′（x）=， 令u（x）=x﹣xlnx+2，x∈[，e]． 則u′（x）=﹣lnx，可知x∈時單調(diào)遞增；x∈（1，e]時單調(diào)遞減． 且u（）=+2＞0，u（e）=2＞0，因此u（x）＞0． 令h′（x）=0，解得x=1，可得：x=1是函數(shù)h（x）的極大值點(diǎn)，即最大值，

25、h（1）=﹣1． ∴m≤﹣1． ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣1]． 　 [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，若直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心，3為半徑． （Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|?|PB|． 【解答】解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），（答案不唯一，可酌情給分） 圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ． （Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2=9，得， 設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， ∴t1t2=﹣7，則|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|?|PB|=7． 　 [選修4-5：不等式選講] 23.選修4-5：不等式選講 已知，其中. （Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集； （Ⅱ）已知關(guān)于的不等式的解集為，求的值. 23. 解：（Ⅰ）當(dāng)時， 當(dāng)時，由得，解得； 當(dāng)時，無解； 當(dāng)時，由得，解得； 所以的解集為或. （Ⅱ）記，則 由，解得， 又已知的解集為， 所以于是.