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1、2022年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含答案(IV)
一、填空題(本大題滿(mǎn)分36分)本大題共有12題,考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得3分,否則一律地零分.
1、復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)__________.
2、的平方根是___________.
3、已知球的半徑為,則球的表面積為_(kāi)__________.
4、正方體中,二面角的大小為_(kāi)__________.
5、已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為1,高為2,則其體積為_(kāi)__________.
6、已知圓柱底面半徑為,是上底面圓心,、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn),母線(xiàn)長(zhǎng)為3.如圖,若直線(xiàn)與所成角的大小為,則=________
2、___.
7、正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,若與底面所成角為,則和底面的距離是___________.
8、若關(guān)于的方程有兩根和,其中是實(shí)數(shù)根,則=___________.
9、正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則該四棱錐的表面積為_(kāi)__________.
10、在復(fù)平面上,已知直線(xiàn)上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都滿(mǎn)足,則直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)__________.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
11、設(shè)圓錐底面圓周上兩點(diǎn)、間的距離為2,圓錐頂點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3,和圓錐的軸的距離為1,則該圓錐的體積為_(kāi)__________.
12、在平面上,將雙曲線(xiàn)的一支及其漸近線(xiàn)和直線(xiàn),圍成的封閉圖形記為,如圖中陰影部分.記
3、繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.過(guò)作的水平截面,計(jì)算截面面積,利用祖暅原理得出的體積為_(kāi)__________.
二、選擇題(本大題滿(mǎn)分16分)本大題共有4題,每題有且只有一個(gè)正確答案,選對(duì)得4分,否則一律的零分.
13、可以用集合語(yǔ)言將“公理1:如果直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在平面上,那么直線(xiàn)在平面上.”表述為( )
(A)若,且,,則;
(B)若,且,,則;
(C)若,且,,則;
(D)若,且,,則.
14、若用、和分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集和純虛數(shù)集,其中為全集,那么有( )
(A) (B) (C) (D)
15、已知矩形中,,,在水平位置的平面上畫(huà)出
4、矩形的直觀(guān)圖,并使對(duì)角線(xiàn)平行于軸,則的面積為( )
(A) (B)
(C) (D)
16、如圖,點(diǎn)是平面外一定點(diǎn),過(guò)作平面的斜線(xiàn),斜線(xiàn)與平面所成角為.若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),并使直線(xiàn)與所成角為,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( )
(A)圓 (B)橢圓
(C)拋物線(xiàn) (D)雙曲線(xiàn)的一支
三、簡(jiǎn)答題(本大題滿(mǎn)分48分)本大題共有5題,解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟.
17、(本題滿(mǎn)分8分)
已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,求.
18、(本題滿(mǎn)分8分)
已知直線(xiàn)在平面上,直線(xiàn)不在平面上,且,求證:.
(注意:在下面橫線(xiàn)上填寫(xiě)適當(dāng)
5、內(nèi)容,使之成為完整的證明)
證明:因?yàn)橹本€(xiàn)不在平面上,所以______①______或,
下面不可能.
假設(shè),
因?yàn)開(kāi)_____②______,所以.
在平面上過(guò)作直線(xiàn),
根據(jù)______③______,可得______④______,
這和矛盾,所以不可能.
所以.
19、(本題滿(mǎn)分8分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分4分,第2小題滿(mǎn)分4分
已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形,且圓錐的全面積為,求:
(1)圓錐的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng);
(2)圓錐的體積.
20、(本題滿(mǎn)分12分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分6分,第2小題滿(mǎn)分6分
已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)
6、一元二次方程.
(1)若方程的兩根為、,且,求的值;
(2)若方程有虛根,且,求的值.
21、(本題滿(mǎn)分12分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分6分,第2小題滿(mǎn)分6分
已知正方體的棱長(zhǎng)為1.
(1)在空間中與點(diǎn)距離為的所有點(diǎn)構(gòu)成曲面,曲面將正方體分為兩部分,若設(shè)這兩部分的體積分別為,(其中),求的值;
(2)在正方體表面上與點(diǎn)的距離為的點(diǎn)形成一條空間曲線(xiàn),求這條曲線(xiàn)的長(zhǎng)度.
上海市延安中學(xué)xx第二學(xué)期期中考試(高二數(shù)學(xué))
(考試時(shí)間:90分鐘 滿(mǎn)分:100分)
班級(jí)______________姓名______________學(xué)號(hào)________
7、________成績(jī)______________
一、填空題(本大題滿(mǎn)分36分)本大題共有12題,考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得3分,否則一律地零分.
1、復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)__________.
2、的平方根是___________.
3、已知球的半徑為,則球的表面積為_(kāi)__________.
4、正方體中,二面角的大小為_(kāi)__________.
5、已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為1,高為2,則其體積為_(kāi)__________.
6、已知圓柱底面半徑為,是上底面圓心,、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn),母線(xiàn)長(zhǎng)為3.如圖,若直線(xiàn)與所成角的大小為,則=__________
8、_.
7、正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,若與底面所成角為,則和底面的距離是___________.
8、若關(guān)于的方程有兩根和,其中是實(shí)數(shù)根,則=___________.
9、正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則該四棱錐的表面積為_(kāi)______.
10、在復(fù)平面上,已知直線(xiàn)上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都滿(mǎn)足,則直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)__________.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
11、設(shè)圓錐底面圓周上兩點(diǎn)、間的距離為2,圓錐頂點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3,和圓錐的軸的距離為1,則該圓錐的體積為_(kāi)__________.
12、在平面上,將雙曲線(xiàn)的一支及其漸近線(xiàn)和直線(xiàn),圍成的封閉圖形記為,如圖中陰影部分.記繞軸旋轉(zhuǎn)一周
9、所得的幾何體為.過(guò)作的水平截面,計(jì)算截面面積,利用祖暅原理得出的體積為_(kāi)__________.
二、選擇題(本大題滿(mǎn)分16分)本大題共有4題,每題有且只有一個(gè)正確答案,選對(duì)得4分,否則一律的零分.
13、可以用集合語(yǔ)言將“公理1:如果直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在平面上,那么直線(xiàn)在平面上.”表述為( C )
(A)若,且,,則;
(B)若,且,,則;
(C)若,且,,則;
(D)若,且,,則.
14、若用、和分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集和純虛數(shù)集,其中為全集,那么有( D )
(A) (B) (C) (D)
15、已知矩形中,,,在水平位置的平面上畫(huà)出矩形的直觀(guān)圖,并使對(duì)
10、角線(xiàn)平行于軸,則的面積為( D )
(A) (B)
(C) (D)
16、如圖,點(diǎn)是平面外一定點(diǎn),過(guò)作平面的斜線(xiàn),斜線(xiàn)與平面所成角為.若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),并使直線(xiàn)與所成角為,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是( B )
(A)圓 (B)橢圓
(C)拋物線(xiàn) (D)雙曲線(xiàn)的一支
三、簡(jiǎn)答題(本大題滿(mǎn)分48分)本大題共有5題,解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟.
17、(本題滿(mǎn)分8分)
已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,求.
由已知可得:,
從而.
18、(本題滿(mǎn)分8分)
已知直線(xiàn)在平面上,直線(xiàn)不在平面上,且,求證:.
(注意:在下面橫線(xiàn)上填寫(xiě)適當(dāng)內(nèi)容,使之成為完整的
11、證明)
證明:因?yàn)橹本€(xiàn)不在平面上,所以___①___或,
下面不可能.
假設(shè),
因?yàn)開(kāi)__②___,所以.
在平面上過(guò)作直線(xiàn),
根據(jù)___③公理4___,可得___④___,
這和矛盾,所以不可能.
所以.
19、(本題滿(mǎn)分8分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分4分,第2小題滿(mǎn)分4分
已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形,且圓錐的全面積為,求:
(1)圓錐的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng);
(2)圓錐的體積.
(1)設(shè)圓錐底面半徑為,母線(xiàn)長(zhǎng)為.
由圓錐底面周長(zhǎng)為,
又根據(jù)已知:圓錐的全面積為,
解得,.
(2)圓錐的高,從而圓錐體積.
20、(本題滿(mǎn)分12分)本題共2個(gè)小題
12、,第1小題滿(mǎn)分6分,第2小題滿(mǎn)分6分
已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程.
(1)若方程的兩根為、,且,求的值;
(2)若方程有虛根,且,求的值.
(1)當(dāng),即,由,可知兩根同號(hào),從而,解得或(舍);
當(dāng),及,此時(shí)方程有兩個(gè)共軛復(fù)根,故,且由可得,進(jìn)而,解得或(舍);
從而綜上所述:或.
(2)由題意(I),從而(II)
由(I)、(II)聯(lián)立消去,可得
由于為虛數(shù),且,從而,
解得.
21、(本題滿(mǎn)分12分)本題共2個(gè)小題,第1小題滿(mǎn)分6分,第2小題滿(mǎn)分6分
已知正方體的棱長(zhǎng)為1.
(1)在空間中與點(diǎn)距離為的所有點(diǎn)構(gòu)成曲面,曲面將正方體分為兩部分,若設(shè)這兩部分的體積分別為,(其中),求的值;
(2)在正方體表面上與點(diǎn)的距離為的點(diǎn)形成一條空間曲線(xiàn),求這條曲線(xiàn)的長(zhǎng)度.
(1)由題意:,從而,則.
(2)由題意:以球心,為半徑的球面與正方體各側(cè)面的截交線(xiàn)均為圓弧段.
球面與側(cè)面、、所截得的圓弧段,可視作均以為圓心,圓心角均為,半徑均為的圓弧,從而相應(yīng)圓弧段長(zhǎng)為;
球面與側(cè)面、、所截得的圓弧段,可視作分別以、、為圓心,圓心角均為,半徑均為的圓弧,從而相應(yīng)圓弧段長(zhǎng)為;
從而球面與整個(gè)正方體相相截所得的空間區(qū)間長(zhǎng)為.