2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 新人教A版

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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文 新人教A版 一、選擇題：本大題共12小題, 每小題5分, 共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知，，則是的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長軸長為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是(　　)． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速頻率

2、分布圖如圖所示，則時(shí)速在的汽車大約有多少輛？（ ） A、 30 B、 40 C、 50 D、 60 4．命題“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是（ ） A．對任意實(shí)數(shù)，都有 B．不存在實(shí)數(shù)，使 C．對任意實(shí)數(shù)，都有 D．存在實(shí)數(shù)，使 5．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字．若連續(xù)兩次拋擲這個(gè)玩具，則兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是( ) A、 B、 C、 D、 6.下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

3、 A．如果命題“”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題 B．命題“若，則”的逆否命題是：“若，則” C．命題：存在，使，則：對任意的 D．命題“存在，使”是真命題 7. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 8．命題“（2x+1）（x-3）<0”的一個(gè)必要不充分條件是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9.曲線與曲線的（ ） A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 10．在中，“”是“”的（

4、 ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 11．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則的最小值為(　　) A. B. C．2 D．1 12.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以為概率的事件是 （ ） A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品 C．至多有一件一等品 D．都不是一等品 二、填空題：本大題共4小題, 每小題4分, 共16分. 請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上. 答錯(cuò)位置, 書寫不清, 模棱兩可均不得分。 13．

5、利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1＞0”發(fā)生的概率為__________． 14．已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的雙曲線的漸近線夾角為________． 15．橢圓x2+4y2=36的弦被（4，2）平分，則此弦所在直線方程為______。 16．給出下列命題： ① 非零向量滿足，則的夾角為； ② ＞0，是的夾角為銳角的充要條件； ③命題“若，則”的否命題是“若”； ④ 若，則為等腰三角形； 以上命題正確的是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上） 三、解答題：本大題共6大題, 共74分. 解答應(yīng)寫出文

6、字說明、證明過程或演算步驟. 17．（本小題滿分12分） 已知命題，命題,若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 18.（本小題滿分12分）某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了年齡大于20歲的100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示： 文藝節(jié)目 新聞節(jié)目 總計(jì) 20至40歲 42 18 60 大于40歲 13 27 40 總計(jì) 55 45 100 (1)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？ (2)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率． 19

7、.（本小題滿分12分）已知F1(－1,0)、F2(1,0)為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)P在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線y=x+1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求弦長│AB│. 20. （本小題滿分12分）已知直線和雙曲線相交于兩點(diǎn)、；（1）求k的取值范圍；（2）若以為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求k的值。 21．(本小題滿分12分)設(shè)x∈(0,4)，y∈(0,4)． (1)若x∈N*，y∈N*，以x，y作為矩形的邊長，記矩形的面積為S，求S<4的概率； (2)若x∈R，y∈R，求這兩數(shù)之差不大于2的概率． 22. （14分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓

8、于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、、在直線上的射影依次為點(diǎn)、、. （1）求橢圓C的方程； （2）若直線交軸于點(diǎn)，且，當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由； （3）連接、，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線與是否相交于定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由. 莆田一中xx上學(xué)期第一學(xué)段考試 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題（12×5=60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A D C B B B B D B A C 二、填空題（4×4=16分） 13. 14.

9、 15.x+2y-8=0 16.①③④ 三、解答題：本大題共6大題, 共74分. 17.解：，（x-1）(x+1)＜0,-1＜x＜1,∴p: -1＜x＜1———3分 ∵,∴m-3＜x＜m, ∴q: m-3＜x＜m——6分 ∵是的充分不必要條件, ∴且不同時(shí)取等號，————9分 ∴1≤m≤2∴實(shí)數(shù)的取值范圍為1≤m≤2 ————12分 18.解：⑴由已知，設(shè)大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取x名 則，∴x=3 ————4分 ⑵大于40歲的3名觀眾分別記為a,b,c; 20至40歲的2名觀眾

10、分別記為1,2； 則從5名觀眾中抽取2名觀眾，有ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12共10種，其中恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的有a1,a2,b1,b2,c1,c2共6種, ——8分 則恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率P=。 ——11分 答：⑴大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取3名 ⑵恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率3/5. ——12分 19．解：⑴由已知：｜PF1｜=, ｜PF2｜=,∴2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2,∴a=, 又∵a2=b2+c2且c=1，∴b=∴橢圓方程為 —

11、———5分 ⑵設(shè)交點(diǎn)、的坐標(biāo)為、， ,5x2-6x-3=0,△=36+60=96>0, ∴x1+x2=-,x1x2=-, ——8分 ∴ ————12分 20.解：設(shè)交點(diǎn)、的坐標(biāo)為、， 由消去，得， ————3分 ⑴∴a2<6且a2≠3 ∴a的取值范圍為 ————7分 ⑵由韋達(dá)定理，得， ①， ② ∵以為直徑的圓恰好過坐標(biāo)系的原點(diǎn)，∴，∴， 即，整理得 ③ 將①②代入③，并化簡得，∴， 經(jīng)檢驗(yàn)，確實(shí)滿足題目條件，故存在實(shí)數(shù)滿足題目條件. ————12分 21.解：(1)若x

12、∈N*，y∈N*，則(x，y)所有的結(jié)果為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9個(gè)，滿足S<4的(x，y)所有的結(jié)果為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)共5個(gè)，故S<4的概率為. ————5分 (2)所有結(jié)果的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|0

13、—11分 答：(1)S<4的概率為，(2) 兩數(shù)之差不大于2的概率為3/4。 ——12分 22. 解：(Ⅰ)依題意得b=，，，∴ a=2，c=1， ∴ 橢圓C的方程. ————4分 (Ⅱ)因直線l與y軸相交，故斜率存在，設(shè)直線l方程為：，求得l與y軸交于M(0，-k)，又F坐標(biāo)為 (1，0)，設(shè)l交橢圓于， x y A B O M F D K E 由 消去y得， ， ——5分 又由 ∴， 同理， ， ————8分 所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，的值為定值. ————9分 （Ⅲ）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l⊥x軸，則為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK的中點(diǎn)， 猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)， ————10分 證明：由（Ⅱ）知，， 當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過定點(diǎn) ， 當(dāng)時(shí)， . ————11分 ∴點(diǎn)在直線上，同理可證，點(diǎn)也在直線上； ∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)， ————14分