2022年高三數(shù)學(xué)第一次診斷性考試試卷 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次診斷性考試試卷 文（含解析）新人教A版 注意事項(xiàng)： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明 評(píng)卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．已知集合，則等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：， 故答案為D 考點(diǎn)：集合的交集 2．如果命題“”為假命題，則 A．均為真命題 B．均為減命題 C．中至少有一個(gè)為真命題 D．中至多有一個(gè)真命題 【答案】B 【解析】 試題分析：當(dāng)命題為假

2、命題時(shí)，為假命題，故答案為B 考點(diǎn)：命題的真假性的應(yīng)用 3．已知在處取最大值，則 A．一定是奇函數(shù) B．一定是偶函數(shù) C．一定是奇函數(shù) D．一定是偶函數(shù) 【答案】D 【解析】 試題分析：由于在處取最大值，因此，得 ，為偶函數(shù)，故答案為D 考點(diǎn)：奇偶函數(shù)的判斷 4．已知，若是的充分不必要條件，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：命題成立，，得或；命題成立，得 或，由于是的充分不必要條件，，等號(hào)不能同時(shí)成立，解得 ，由于，因此 考點(diǎn)：充分、必要條件的應(yīng)用 5．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則必有 A．

3、且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【解析】 試題分析：由題意知，，得，， 故答案為A 考點(diǎn)：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式 6．函數(shù)的零點(diǎn)有 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】 試題分析：在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，則圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖象知，函數(shù)圖象交點(diǎn)為2個(gè)，故函數(shù)的零點(diǎn)為2個(gè)，故答案為C 考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 7．已知中，，則等于 A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由得為銳角，；由，由正弦定理得，當(dāng)為鈍

4、角，不符合內(nèi)角和定理，所以銳角，由，得 由，故答案為D 考點(diǎn)：1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；2、兩角和的余弦公式 8．已知，函數(shù)，，集合 ，記分別為集合中元素的個(gè)數(shù)，那么下列結(jié)論不可能的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：當(dāng)時(shí)，時(shí)，得只有一個(gè)根，而的無實(shí)根；當(dāng)， ，當(dāng)只有一個(gè)根-1，而只有一個(gè)根-1；當(dāng)，，根有兩個(gè)，有一個(gè)根，有一個(gè)根，的根也有2個(gè)，其中一個(gè)的根，另一個(gè)的根有一個(gè)，故可能，可能，可能，故答案為D 考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 9．若函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，則 A． B． C． D．

5、 【答案】B 【解析】 試題分析：由于，恒成立，因此在上時(shí)單調(diào)遞減函數(shù)， ，即，故答案為B 考點(diǎn)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系 10．在中，點(diǎn)分別是上，且，線段與相交于點(diǎn)，且，則用和表示為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由于，，，則， ，設(shè)，，由 得，得，得，因此，故答案為A 考點(diǎn)：平面向量的基本定理 第II卷（非選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明 評(píng)卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 11．已知函數(shù)在處有極值為10，則的值等于 【答案】18 【解析】

6、 試題分析：在處有極值10，①②，聯(lián)立①②得或，當(dāng)時(shí)，，得，函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，舍去，當(dāng)時(shí)，，符合題意，，故答案為18 考點(diǎn)：利用函數(shù)的極值求參數(shù)的值 12．等差數(shù)列中，已知，則的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：由得，所以由， ，故的取值范圍為 考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 13．已知直線上的三點(diǎn)，向量滿足，則函數(shù)的表達(dá)式為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：由于是直線上三點(diǎn)，因此，求導(dǎo)得，得，得，得，即 考點(diǎn)：1、平面向量的應(yīng)用；2、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 14．函數(shù)的圖象與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 ． 【答案】4

7、【解析】 試題分析：解：函數(shù)與的圖象有公共的對(duì)稱中心，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上出現(xiàn)1．5個(gè)周期的圖象，在上是單調(diào)增且為正數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)減，所以在處取最大值，而函數(shù)在上為負(fù)數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，所以兩個(gè)圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)它們有公共的對(duì)稱中心，可得在區(qū)間上也有兩個(gè)交點(diǎn)如圖，，故橫坐標(biāo)之和為4 考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根 15．已知，則等于 ． 【答案】4028 【解析】 試題分析：由于，令，得， ，故答案為4028 考點(diǎn)：數(shù)列求和 評(píng)卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 16．設(shè)． （1）求的最大值及最小值周期； （2）在

8、中，角的對(duì)邊分別為，銳角滿足，求的值 【答案】（1），；（2） 【解析】 試題分析：（1）利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡(jiǎn)，得到的形式，利用公式 計(jì)算周期（2）求三角函數(shù)的最小正周期一般化成先化簡(jiǎn)成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解較復(fù)雜三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化成形式，再的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，注意先把化為正數(shù),這是容易出錯(cuò)的地方． 試題解析：解：（1） 當(dāng)，即時(shí)，，最小正周期 由，得，即 又由，故，解得 ，從而，故 從而 考點(diǎn)：1、求三角函數(shù)的最值和周期；2、三角形中邊的比值 17．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （

9、2）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和記為，且，又成等比數(shù)列求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）給出與的關(guān)系，求，常用思路：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與的關(guān)系，再求；（2）等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用;（3）等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換的思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程；（4）解題時(shí)要善于類比要能正確區(qū)分等差、等比的性質(zhì)，不要把兩者的性質(zhì)搞混了．

10、試題解析：解：因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)， 又，故，即，于是有 而，故數(shù)列是首項(xiàng)為1公比3的等比數(shù)列，且 由題設(shè)知，解得（舍去）或 于是等差數(shù)列的公差 考點(diǎn)：1、由得；2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和 18．已知函數(shù)的定義域?yàn)椴坏仁降慕饧?，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】 【解析】 試題分析：（1）掌握對(duì)數(shù)不等式的解法，注意保證真數(shù)大于零，化成以同一個(gè)數(shù)為底解不等式，看清底數(shù)大于零，還是大于零小于1；（2）對(duì)于給出的具體函數(shù)的解析式的函數(shù)，證明或判斷在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義：作差、變形，由的符號(hào)，在確定符號(hào)是變形是關(guān)鍵，掌握配方

11、，提公因式的方法，確定結(jié)論． 試題解析：解：由，得，即，解得 即的定義域 因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以時(shí)，恒有，即 恒成立 由，得，得，恒成立， 又由，即 因此實(shí)數(shù)的取值范圍是 考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)不等式的解法；2、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 19．已知向量，且，若相鄰兩對(duì)稱軸的距離不小于． （1）求正實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）在中，分別是的對(duì)邊，，當(dāng)最大時(shí)，，試求的面積． 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）先用數(shù)量積的概念轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式，尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角；正確靈活運(yùn)用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值，注意題中角的范圍

12、；（2）掌握一些常規(guī)技巧：“1”的代換，和積互化等，異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊角與特殊角的三角函數(shù)互化；（3）注意利用轉(zhuǎn)化的思想，本題轉(zhuǎn)化為求最值,熟悉公式的整體結(jié)構(gòu)，體會(huì)公式間的聯(lián)系，倍角公式和輔助角公式應(yīng)用是重點(diǎn)；（4）在解決三角形的問題中，面積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來． 試題解析：解： ，由題設(shè)知 由（1）知，此時(shí)，由 解得 在中，由余弦定理，得 故 于是 考點(diǎn)：1、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)；2、求三角形的面積 20．已知遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，且是和的等差中項(xiàng) （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公

13、式； （2）若，求使成立的正整數(shù)n的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換的思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程；（2）解題時(shí)要善于類比要能正確區(qū)分等差、等比的性質(zhì)，不要把兩者的性質(zhì)搞混了；（3）數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，再由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用方法有：一是求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納總結(jié)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；二是將已知遞推

14、關(guān)系式整理、變形，變成等差數(shù)列或者等比數(shù)列，或用累加法，累乘法，迭代法求通項(xiàng)． 試題解析：解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題知 解得或（舍去） 因?yàn)槭沁f增數(shù)列，故 因?yàn)? ， 上述等式相加得 由，得，解得即為所求 考點(diǎn)：1、求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、求數(shù)列的前項(xiàng)和 21．設(shè)函數(shù)，其中． （1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值； （3）已知函數(shù)由三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，且，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）1;（2）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是函數(shù) 在處取得極小值；在處取得極大值；（3） 【解析】 試題分析：（

15、1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）求函數(shù)極值的方法是：解方程．當(dāng)時(shí)，（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值． 試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，，，故 即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1 ，令，得 ，故 當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是函數(shù) 在處取得極小值；在處取得極大值 由題設(shè)知，所以方程 有兩個(gè)相異的非零實(shí)根 故由韋達(dá)定理得且，解得或（舍去） 因?yàn)?，所? 若，則，而，不合題意 若，則對(duì)，有，所以 又，故在上的最小值為0 于是對(duì)的充要條件是 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 考點(diǎn)：1、求曲線的切線斜率；2、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；3、求參數(shù)的取值范圍