2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教案 理 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查平面向量基本定理的應(yīng)用；2.考查向量的坐標(biāo)表示和向量共線的應(yīng)用． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.理解平面向量基本定理的意義、作用；2.運(yùn)用定理表示向量，然后再進(jìn)行向量運(yùn)算． 1． 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2． 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a＝

2、(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3． 平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0. [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 基底的不唯一性 只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底

3、e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的． 2． 向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝＝(x，y)． 當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變即＝＝(x，y)，但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化． 1． 在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 答案　 解析　因?yàn)椋剑郑剑? ＝＋， 所以＝λ＋μ＝＋， 得到λ＋μ＝1，λ＋μ＝1，兩

4、式相加得λ＋μ＝. 2． 在?ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標(biāo)為__________． 答案　(－3，－5) 解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)， ∴＝－＝－＝(－3，－5)． 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與b平行，則k＝________. 答案　0 解析　由ka＋b與b平行得－3(2k＋2)＝2(k－3)，∴k＝0. 4． 若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c等于 (　　) A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b 答案

5、　B 解析　由已知可設(shè)c＝xa＋yb， 則，∴. 5． (xx·廣東)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝. 題型一　平面向量基本定理的應(yīng)用 例1　已知點(diǎn)G為△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，求＋的值． 思維啟迪：以，為基底來表示向量，建立x，y的關(guān)系． 解　根據(jù)題意知G

6、為三角形的重心， 故＝(＋)， ＝－＝(＋)－x ＝＋， ＝－＝y(tǒng)－ ＝y(tǒng)－(＋) ＝－， 由于與共線，根據(jù)共線向量定理知 ＝λ?＋ ＝λ， ∵，不共線， ∴?＝ ?x＋y－3xy＝0， 兩邊同除以xy得＋＝3. 探究提高　利用基底表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用向量的加、減法及數(shù)乘進(jìn)行線性運(yùn)算；向量的表示是向量應(yīng)用的前提． 如圖，在△ABC中，＝，P是BN上的一點(diǎn)，若 ＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為_____． 答案　 解析　設(shè)||＝y(tǒng)，||＝x， 則＝＋＝－，① ＝＋＝＋，② ①×y＋②×x得＝＋， 令＝，得y＝x，代入得m＝. 題型二　向量坐標(biāo)的基本

7、運(yùn)算 例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)

8、．又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴＝(9，－18)． 探究提高　向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則． 已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是__________________． 答案　(－4，－1)或(12,5)或(－2,9) 解析　設(shè)頂點(diǎn)D(x，y)． 若平行四邊形為ABCD，則由＝(1,5)， ＝(－3－x,4－y)，得所以 若平行四邊

9、形為ACBD，則由＝(－7,2)， ＝(5－x,7－y)，得所以 若平行四邊形為ABDC，則由＝(1,5)， ＝(x＋3，y－4)，得所以 綜上所述，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)． 題型三　共線向量的坐標(biāo)表示 例3　平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，請解答下列問題： (1)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k； (3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 思維啟迪：(1)向量相等對應(yīng)坐標(biāo)相等，列方程解之． (2)由兩向量平行的條件列方程解之．

10、 (3)設(shè)出d＝(x，y)，由平行關(guān)系列方程，由模為列方程，聯(lián)立方程組求解． 解　(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以，得. (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0， ∴k＝－. (3)設(shè)d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由題意得， 解得或， ∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)． 探究提高　(1)運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合． (2)根據(jù)平行的條件建立方程求參數(shù)，是解決這類題目的

11、常用方法，充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用． (xx·北京)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若(a－2b)與c共線，則k＝________. 答案　1 解析　a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)， 又∵(a－2b)與c共線，∴(a－2b)∥c， ∴×－3×k＝0，解得k＝1. 忽視平面向量基本定理的使用條件致誤 典例：(12分)已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時(shí)，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？ 易錯(cuò)分析　本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決，但在得出等式后根據(jù)平面向

12、量基本定理列式解決時(shí)，容易忽視平面向量基本定理的使用條件，出現(xiàn)漏解，漏掉了當(dāng)a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)這個(gè)解． 規(guī)范解答 解　由題設(shè)，知＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.[4分] ①若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)；[7分] ②若a，b不共線，則有 解之得t＝.[10分] 綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)； a，b不共線時(shí)，t＝.[12分] 溫馨提醒　平面向量基本定理是平面向量知識體系的基石，在解題中有至關(guān)重要

13、的作用，在使用時(shí)一定要注意兩個(gè)基向量不共線這個(gè)條件. 方法與技巧 1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解． 2．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問題． 3．在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用． 失誤與防范 1．要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的不同，向量的坐標(biāo)等于表示向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)；向量坐標(biāo)中既有大小的信息，又有方向的信息． 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充

14、要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 與向量a＝(12,5)平行的單位向量為 (　　) A. B. C.或 D. 答案　C 解析　設(shè)e為所求的單位向量， 則e＝±＝±. 2. 如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且 ＝2，則 (　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 答案　A 解析　由題意知＝＋，又＝2

15、，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 3． 已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于 (　　) A．－a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b 答案　B 解析　設(shè)c＝λa＋μb， ∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴，∴，∴c＝a－b. 4． 在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于 (　　) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 答案　B

16、解析?。?＝3(2－)＝6－3 ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共線，則＋的值為________． 答案　 解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)， 依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0， 即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 6． 已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為________． 答案　 解析　因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b， 所以u＝(1,2)＋2(x,

17、1)＝(2x＋1,4)， v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)， 又因?yàn)閡∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0， 即10x＝5，解得x＝. 7． 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足＝＋，則＝________. 答案　 解析　∵OC＝＋， ∴－＝－＋＝(－)， ∴＝，∴＝. 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線，且方向相反？ 解　若存在實(shí)數(shù)k， 則ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)． a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－

18、4)． 若向量ka＋b與向量a－3b共線，則必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－. 這時(shí)ka＋b＝，所以ka＋b＝－(a－3b)． 即兩個(gè)向量恰好方向相反，故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在． 9． (12分)如圖所示，M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件＋2＋3＝0， 延長CM交AB于N，令＝a，試用a表示. 解　因?yàn)椋剑剑? 所以由＋2＋3＝0，得 (＋)＋2(＋)＋3＝0， 所以＋3＋2＋3＝0. 又因?yàn)锳，N，B三點(diǎn)共線，C，M，N三點(diǎn)共線， 由平面向量基本定理，設(shè)＝λ，＝μ， 所以λ＋3＋2＋3μ＝0. 所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 由于和不

19、共線，由平面向量基本定理， 得所以 所以＝－＝，＝＋＝2＝2a. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 若平面向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3，則b等于 (　　) A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) 答案　A 解析　方法一　設(shè)b＝(x，y)，由已知條件 整理得　解得 ∴b＝(－3,6)． 方法二　設(shè)b＝(x，y)，由已知條件 解得或(舍去)，∴b＝(－3,6)． 方法三　∵|a|＝，∴a＝， 則b＝－3＝(－3,6)

20、． 2． 已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于 (　　) A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10) 答案　C 解析　由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)?m＝－4，從而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 3． 已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝2，且∠AOC＝，設(shè)＝ λ＋(λ∈R)，則λ的值為 (　　) A．1 B.

21、C. D. 答案　D 解析　過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E(圖略)． 由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． △ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________. 答案　60° 解析　因?yàn)閜∥q，則(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 所以a2＋b2－c2＝ab，＝， 結(jié)合余弦定理知，cos C＝， 又0°

22、,4)，直線y＝ax與線段AB交于C，且＝2，則實(shí)數(shù)a＝________. 答案　2 解析　設(shè)C(x，y)，則＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)， ∵＝2，∴，解得. ∴C(3,3)．又∵C在直線y＝ax上， ∴3＝a·3，∴a＝2. 6． 設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是________． 答案　8 解析　據(jù)已知得∥， 又∵＝(a－1,1)，＝(－b－1,2)， ∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1， ∴＋＝＋ ＝4＋＋≥4＋2＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)取

23、等號， ∴＋的最小值是8. 三、解答題 7． (13分)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線； (3)若t1＝a2，求當(dāng)⊥且△ABM的面積為12時(shí)a的值． (1)解　＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4) ＝(4t2,2t1＋4t2)． 當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有 故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0. (2)證明　當(dāng)t1＝1時(shí)，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， ∴A、B、M三點(diǎn)共線． (3)解　當(dāng)t1＝a2時(shí)，＝(4t2,4t2＋2a2)． 又＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0， ∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2)． 又||＝4，點(diǎn)M到直線AB：x－y＋2＝0的距離 d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12， ∴|AB|·d＝×4×|a2－1|＝12， 解得a＝±2，故所求a的值為±2.