2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十二 圓錐曲線與方程（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十二 圓錐曲線與方程（含解析） 抓住3個高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 橢圓及其性質(zhì) 1．橢圓的定義：橢圓的第一定義：對橢圓上任意一點(diǎn)都有 橢圓的第二定義：對橢圓上任意一點(diǎn)都有 2．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 （1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是在軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 3．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要注意以下幾點(diǎn)？ （1）如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為或 （2）與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為 （3）與

2、橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上） 4．橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用策略 （1）與幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形：若涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量，則要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的聯(lián)系，求解自然就不難了． （2）橢圓的離心率是刻畫橢圓性質(zhì)的不變量，當(dāng)越接近于1時，橢圓越扁，當(dāng)越接近于時，橢圓越接近于圓， 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個條件，而求橢圓的離心率只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次方程，再結(jié)合即可求出橢圓的離心率 [高考?？冀嵌萞 角度1若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線A

3、B恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是 . 解析:方法一：設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：當(dāng)斜率存在時，，即 由題意，，由，切點(diǎn)為， 又當(dāng)斜率不存在時，直線方程為，切點(diǎn)為，故直線, 則與軸的交點(diǎn)即為上頂點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交點(diǎn)即為焦點(diǎn)，， 即橢圓方程為 （說明：如果設(shè)切點(diǎn)，則過切點(diǎn)的切線方程為，與比較，也可求出切點(diǎn)） 方法二：（數(shù)形結(jié)合）設(shè)點(diǎn)，則有直線，作圖分析可得，又切點(diǎn) 故直線，即， 則與軸的交點(diǎn)即為上頂點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交點(diǎn)即為右焦點(diǎn)，， 故 橢圓方程為 角度2在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.過的直線交C于兩點(diǎn)，且的周長為，那么

4、的方程為 . 解析：可設(shè)橢圓方程為,, 的周長為, 故橢圓的方程為 角度3 已知橢圓,直線為圓的一條切線，記橢圓E的離心率為．若直線的傾斜角為，且恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)，則的大小為__________. 解析：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，橢圓的離心率等知識． 如圖所示，設(shè)直線與圓相切于C點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為D，則 由題意，知△OCD為直角三角形，且 重點(diǎn)2 雙曲線及其性質(zhì) 1．雙曲線的定義：雙曲線的第一定義：對雙曲線上任意一點(diǎn)都有 雙曲線的第二定義：對雙曲線上任意一點(diǎn)都有 2．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 （1）定義法 （2）待定系

5、數(shù)法 3．求雙曲線方程需要注意以下幾點(diǎn)： （1）雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程均可記為，其中，且，且時表示橢圓； 時表示雙曲線，合理使用這種形式可避免討論． （2）常見雙曲線設(shè)法： ①已知的雙曲線設(shè)為； ②已知過兩點(diǎn)的雙曲線可設(shè)為； ③已知漸近線的雙曲線方程可設(shè)為 4.雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用策略 （1）關(guān)于雙曲緝的漸近線 ①求法：求雙曲線的漸近線的方法是令， 即得兩漸近線方程 ②兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且關(guān)于軸、軸對稱. ③與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為. （2）求雙曲線的離心率 雙曲線的離心率，求雙曲線的離心率只需根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次方程，再結(jié)合即

6、可求出. [高考?？冀嵌萞 角度1已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 解析：由已知得，圓，雙曲線的漸近線為， 由已知得，則，故選A. 角度2 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，為右支上一動點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為___________. 解析：由雙曲線的定義得，又 ，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號， 故的最小值為 角度3設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近線方程為（

7、 ） A. B. C. D. 解析：如圖，過作于，由題意知 則 而 則 雙曲線的漸近線方程為，即，故選C 重點(diǎn)3 拋物線及其性質(zhì) 1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 （1）定義法：根據(jù)條件確定動點(diǎn)滿足的幾何特征，從而確定p的值，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定參數(shù)p的值，這里要注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式．從簡單化角度出發(fā)，焦點(diǎn)在軸上的，設(shè)為，焦點(diǎn)在軸上的，設(shè)為． 2．拋物線定義的應(yīng)用策略 拋物線是到定點(diǎn)和定直線（定點(diǎn)不在定直線上）距離相等的點(diǎn)的軌跡，利用該定義

8、，可有效地實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，將有利于問題的解決． 3．拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用策略 （1）焦半徑：拋物線一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離. （2）通徑：過焦點(diǎn)且與軸垂直的弦叫做通徑，且 （3）設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的弦為，則有 ①弦長：為弦的傾斜角） ② ③ ④以弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. ⑤直線的方程為（不存在時弦為通徑） [高考?？冀嵌萞 角度1已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（ ） A． B．1 C． D． 解析：設(shè)，由拋物線定義，得， 故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.故選C 角度2設(shè)拋

9、物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是（ ） A. B. C. D. 點(diǎn)評：由準(zhǔn)線確定拋物線的位置和開口方向是判斷的關(guān)鍵． 解析：由題意可知，拋物線的方程為，由準(zhǔn)線方程得,所以．故選B 角度3設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，，為垂足．如果直線的斜率為，那么（ B ） A. B. 8 C. D. 16 解析：方法一：拋物線的焦點(diǎn)，直線AF的方程為， 所以得點(diǎn)、，從而，故選B 方法二： 如圖，軸，又，

10、 又由拋物線定義得為等邊三角形，令與軸的交點(diǎn)為，則 在中，，故選B 突破10個高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 2.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 典例 如圖，設(shè)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是在軸上投影，為上一點(diǎn)，且 ． （Ⅰ）當(dāng)在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）求過點(diǎn)且斜率為的直線被所截線段的長度． 點(diǎn)評：（Ⅰ）動點(diǎn)通過點(diǎn)與已知圓相聯(lián)系，所以把點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，然后代入已知圓的方程即可；（Ⅱ）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式計算． 解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)

11、的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，因?yàn)辄c(diǎn)是在軸上投影， 為上一點(diǎn)，且，所以，且， ∵在圓上，∴，整理得， 即的方程是． （Ⅱ）過點(diǎn)且斜率為的直線方程是，設(shè)此直線與的交點(diǎn)為，， 由得 ，則 ，直線被所截線段的長度為 點(diǎn)評：如果直接解方程，∴，，形式復(fù)雜，增加運(yùn)算難度 所以線段AB的長度是 ） 難點(diǎn)2 中點(diǎn)弦問題的處理 1. 解決圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題的常規(guī)思路有三種： （1）通過方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解； （2）點(diǎn)差法，設(shè)出弦的兩端點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解； （3）中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法，先得出一個端點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助于中點(diǎn)坐標(biāo)公

12、式得出另一個端點(diǎn)的坐標(biāo)，而后消二次項(xiàng)． 2．對于中點(diǎn)弦問題，常用的解題方法是點(diǎn)差法，其解題步驟為： （1）設(shè)點(diǎn)：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)； （2）代入：代入圓錐曲線方程； （3）作差：兩式相減，再用平方差公式把式子展開； （4）整理：轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，最后求解. 典例已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為.斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為。 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求的面積。 解析：（Ⅰ）由已知得 解得 又 所以橢圓G的方程為 （Ⅱ）設(shè)直線l的方程為由 得 ① 設(shè)、的坐標(biāo)分別為中點(diǎn)為， 則

13、 因?yàn)槭堑妊牡走叄? 所以的斜率解得，此時方程①為 解得 所以 所以. 此時，點(diǎn)到直線的距離 所以 難點(diǎn)3 圓錐曲線中的分點(diǎn)弦 典例 已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則（ ） A. 1 B. C. D. 2 解析：設(shè)為橢圓的右準(zhǔn)線，為離心率，過分別作垂直于，為垂足，過作于，由橢圓的第二定義得， 由，令，則， 即，故選B. 難點(diǎn)4 圓錐曲線上點(diǎn)的對稱問題 典例1 已知橢圓：在橢圓上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，若存在，求出實(shí)數(shù)的

14、取值范圍，若不存在，說明理由. 解析：方法一：(方程組法) 設(shè)橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，由題意，設(shè) 由，設(shè)，的中點(diǎn)為， 則 ， ① ， 又點(diǎn)在直線上，代入①解得 ，為所求 方法二：(點(diǎn)差法) 設(shè)橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，的中點(diǎn)為， 則 又 ① 又點(diǎn)在直線上， ② 解得 在橢圓內(nèi)， ，為所求 難點(diǎn)5 求軌跡（曲線）方程 典例 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程. 解析：由條件知，，設(shè)，． 方法一：設(shè)，則，，， 由得 即，于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為． 當(dāng)不

15、與軸垂直時，，即，即． 又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得（點(diǎn)差法） ，即． 將代入上式，化簡得． 當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程． 所以點(diǎn)的軌跡方程是． 方法二：同解法一，有當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是． 代入有．則是上述方程的兩個實(shí)根， 所以．． 從而． ．相除得，將其代入得 ．整理得． 當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．故點(diǎn)的軌跡方程是． 難點(diǎn)6 圓錐曲線中的定點(diǎn)問題 典例 已知橢圓若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析：設(shè)，由 得 ， （1

16、） 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)， , 即 ， 即，解得，且滿足. 當(dāng)時，有，直線過定點(diǎn)與已知矛盾； 當(dāng)時，有，直線過定點(diǎn) 綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 難點(diǎn)7 圓錐曲線中的定值問題 典例 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線. （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且

17、，，證明為定值. 解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為則右焦點(diǎn)為，直線的方程為， 由 整理得 ， 設(shè)，則 由共線，得 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故橢圓可化為，設(shè) 由 在橢圓上， ， 即 ① 由（Ⅰ）知，， 又，代入①得 難點(diǎn)8 圓錐曲線中的最值問題和范圍問題 典例 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值和最小值; （Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍. 解析：（Ⅰ）方法一：由已知得，所以，設(shè)，則 因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時，有最小值 當(dāng)

18、，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時，有最大值 方法二：由已知得，所以，設(shè)，則 （以下同方法一） （Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線， 由，消去，整理得，∴ 由 得 或 ① 又，∴ 又 ∵，即 ∴ ② 綜合 ①、②得或 故直線的斜率的取值范圍為 難點(diǎn)9 圓錐曲線中的探索問題 典例 已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn) （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍 （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 解：（Ⅰ）由 得 ① 依題意，直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，故 解得 （Ⅱ）設(shè)則由①可得

19、 ， ② 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則 將及②代入，得 解得 或（舍去） 因此存在，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn). 規(guī)避5個易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 焦點(diǎn)位置考慮不全 典例 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點(diǎn)，則該橢圓的方程為_____________. 易失分提示：焦點(diǎn)沒有確定，所以有兩種情況。 解析： ，，由橢圓的定義得， 又 當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的方程為 易失分點(diǎn)2 忽視圓錐曲線定義的條件 典例1 動點(diǎn)

20、與定點(diǎn)和直線的距離相等，則動點(diǎn)的軌跡是（ D ） A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線 易失分提示：容易忽視點(diǎn)F在直線上，而誤選C． 解析：點(diǎn)在直線，所以到點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)一定在過點(diǎn)，且與直線垂直的直線上．故選D 典例2 已知圓和圓，動圓同時與圓及圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程為（ ） A． B． C． D． 易失分提示：容易因錯誤運(yùn)用雙曲線定義而出錯，，與雙曲線定義相比，左邊少了外層絕對值，因此只能是雙曲線的一支．如果不注意，就會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果，即點(diǎn)的軌跡

21、方程為． 解析：如圖所示，設(shè)動圓半徑為動圓同時與圓及圓分別外切于A和B 根據(jù)兩圓外切的條件，得, 所以動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支, 其中 故點(diǎn)M的軌跡方程為, 故選 D 易失分點(diǎn)3 離心率范圍求解錯誤 典例 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是_____________. 易失分提示: 求離心率的范圍關(guān)鍵是構(gòu)建關(guān)于（或）的不等式．本題容易出現(xiàn)的錯誤：一是不會利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化；二是不會利用橢圓的定義或性質(zhì)建立不等關(guān)系，根據(jù)題意利用正弦定理，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式，進(jìn)而求出其取值范圍．

22、 解析：由已知 由橢圓的幾何性質(zhì)知，，所以，即 結(jié)合，可解得． 本題容易出錯的地方是忽略“點(diǎn)異于長軸端點(diǎn)”這一隱含條件，導(dǎo)致在建立不等式時誤帶等號而出錯．在平時的訓(xùn)練中應(yīng)該加強(qiáng)對解題過程的監(jiān)控，多注意所要解決問題的特殊情況，仔細(xì)閱讀，深入挖掘隱含條件，形成全面思考，周密解答的良好習(xí)慣，這對考生來說是非常重要的． 易失分點(diǎn)4 弦長公式使用不合理 典例 已知橢圓設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值． 易失分提示：本題的實(shí)質(zhì)就是求直線被橢圓所截得的弦長的最大值，易錯之處在于對弦長公式的使用不合理，致使運(yùn)算繁雜，導(dǎo)致最后結(jié)果錯誤或是解題半途而廢． 解析：

23、設(shè) （1）當(dāng)軸時， （2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為．由已知 由，整理得 當(dāng)時，上式 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立 當(dāng)時，，綜上所述，，此時， 易失分點(diǎn)5 焦點(diǎn)三角形問題忽視細(xì)節(jié) 典例 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．若雙曲線上存在點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是____________ 易失分提示:本題容易出現(xiàn)的一個致命的錯誤就是忽視了隱含條件“,都不能等于'’，這樣會導(dǎo)致在最后的答案中含有離心率等于．解答數(shù)學(xué)題要注意對隱含條件的挖掘，確保答案準(zhǔn)確無誤. 解析：由已知點(diǎn)不會是雙曲線的頂點(diǎn)，否則無意義. 因?yàn)樵谥校烧叶ɡ?，? 則由已知得，且知點(diǎn)在雙曲線的右支上， 由雙曲錢的定義知則 由雙曲線的幾何性質(zhì)，知，則 ，又，所以離心率的取值范圍是