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1、2022年高三數學二輪復習 專題二第二講 函數與方程及函數的應用教案 理
類型一 函數零點的確定
確定函數零點存在區(qū)間及個數的常用方法
(1)利用零點存在的判定定理；
(2)利用數形結合法，尤其是那些方程兩端對應的函數類型不同的絕對值、分式、指數、對數以及三角等方程多以數形結合法求解。
[例1] (xx年高考湖北卷)函數f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0，4]上的零點個數為( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 根據x2的范圍判斷y＝cos x2在區(qū)間[0，4]上的零
2、點個數．當x＝0時，f(x)＝0.又因為x∈[0，4]，所以0≤x2≤16.
因為5π<16<，所以函數y＝cos x2在x2取，，，，時為0，此時f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在區(qū)間[0，4]上的零點個數為6.
[答案] C
跟蹤訓練
(xx年保定摸底)函數f(x)＝3cos －logx的零點的個數是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：把求函數f(x)的零點的個數問題轉化為求函數y＝3cos x的圖象與函數y＝logx的圖象的交點的個數的問題，在同一個坐標系中畫出這兩個函數的圖
3、象，如圖．
函數y＝3cos x的最小正周期是4，當x＝8時，y＝log8＝－3，結合圖象可知兩個函數的圖象只能有5個交點，即函數f(x)＝3cos －logx有5個零點．
答案：D
類型二 函數零點的應用問題
應用函數零點求參數值或取值范圍的方法
(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解；
(2)分離參數后轉化為求函數的值域(最值)問題求解．
[例2] (xx年高考天津卷)已知函數y＝的圖象與函數y＝kx－2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________．
[解析] 先去掉絕對值符號，在同一直角坐標系中作出函數的圖象，數形結合求解．
根據絕對值的意義，
4、
y＝＝
在直角坐標系中作出該函數的圖象，如圖中實線所示．
根據圖象可知，
當0
5、取值范圍就是函數g(x)的值域，
即a∈(－∞，2ln 2－2]．
答案：(－∞，2ln 2－2]
類型三 函數的實際應用
1．常見模型：一次或二次函數模型、分式函數模型、指數式函數模型．
2．對函數模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數法．
[例3] (xx年高考江蘇卷)如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2 (k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
(1)求炮的最大射程；
(2)設在第一象限有一飛行物(忽略
6、其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
[解析] (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由實際意義和題設條件知x>0，k>0，故x＝＝≤＝10，
當且僅當k＝1時取等號．
所以炮的最大射程為10千米．
(2)因為a>0，所以炮彈可擊中目標存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.
所以當a不超過6千米時，可擊中目標．
跟蹤訓練
2012年2月2日，德國總理默克爾訪華，促進了中德技術交流與合作，我國
7、從德國引進一套新型生產技術設備，已知該設備的最佳使用年限是年均消耗費用最低的年限(年均消耗費用＝年均成本費用＋年均保養(yǎng)費)，該設備購買的總費用為50 000元；使用中每年的固定保養(yǎng)費為6 000元；前x年的總保養(yǎng)費y滿足y＝ax2＋bx，已知第一年的總保養(yǎng)費為1 000元，前兩年的總保養(yǎng)費為3 000元，則這種設備的最佳使用年限為________年．
解析：由題意，得，解得，
所以y＝500x2＋500x.
設該設備的年平均消耗費用為f(x)，
由題意，可知年平均消耗費用為f(x)＝＋6 000＋500x＋500＝500x＋＋6 500≥16 500，
當且僅當500x＝時，等號成
8、立，此時x＝10，所以最佳使用年限為10年．
答案：10
析典題（預測高考）
高考真題
【真題】 (xx年高考福建卷)對于實數a和b，定義運算“*”：a*b＝ 設f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是________．
【解析】 根據新定義寫出
f(x)的解析式，數形結合求出m的取值，再根據函數的圖象和方程的根等條件求解．
由定義可知，
f(x)＝
作出函數f(x)的圖象，如圖所示．
由圖可知，當0
9、(m∈R)恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3.不妨設x10，且x2＋x3＝2×＝1，∴x2x3<.
令解得x＝或x＝(舍去)．
∴，則f(x)可以是( )
A．f(x)＝2x－ B．f(x)＝－x2＋x－
C．f(x)＝1－10x D．f(x)＝ln(8x－2)
【解析】 依題意得g()＝＋－2<0，
g()＝1>0，∴x2∈(，)．若f(x)＝1－10x，
則有x1＝0，此時|x1－x2|>，因此選C.
【答案】 C
2022年高三數學二輪復習 專題二第二講 函數與方程及函數的應用教案 理
