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1、2022年高二上學(xué)期期末考試 理科數(shù)學(xué)試題
得 分
評(píng)卷人
一、選擇題（每小題3分，共30分）
3．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．設(shè)雙曲線x2 –y2=1的兩條漸近線與直線x=圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為E,P(x,y)為該區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為( )
A．[] B．[] C．[] D． []
5.已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）
A.2 B.3
2、 C. D.
6．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－4y2＝4a(a＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足，，則a的值為( )
A．2 B. C．1 D.
7．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是 ?。? ）
A． B． C． D．
8．已知拋物線()與橢圓=1有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓的一部分 B．雙曲線的一部分
C．拋物線的一部分 D．直線的一部分
3、
9．若直線與⊙O: x2+y2= 4沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．至多為1 B．2 C．1 D．0
10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二．填空題：（每小題4分，共24分）
11．已知AB是過(guò)橢圓＋＝1左焦點(diǎn)F1的弦，且，其中 是橢圓的右焦點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)是________．
12．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為 .
13．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
4、14．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)．設(shè)，則的值等于 ．
15．已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則離心率 的最小值是________
16．以下關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)， ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線;
②設(shè)過(guò)定圓上一定點(diǎn)，作圓的動(dòng)點(diǎn)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；
③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)。其中真命題的序號(hào)是_________．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）
三．解答題：（共46分）
17．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的
5、兩焦點(diǎn)的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點(diǎn)P，求拋物線方程和雙曲線方程．
18．已知圓以為圓心且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．
(1)若，寫(xiě)出圓的方程；
(2)在(1)的條件下，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)分別是直線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
19．已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過(guò)作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、，使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
20．已知橢圓G：＋y2＝1.過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交橢圓G于A，B
6、兩點(diǎn)．
(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．
參考答案
1．A 2．A 3．C 4．D 5．A
6．C 7．C 8．C 9．B 10．D
11．8
12．
13．或
14．3
15．
16．③④
17．解：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，
∵點(diǎn)在拋物線上，∴6＝2p·，∴p＝2，
∴所求拋物線方程為y2＝4x.
∵雙曲線左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，又點(diǎn)在雙曲線上，
∴，解得，
∴所求雙曲線方程為－＝1，即
18．解：由題知，
7、圓方程為，
所以圓方程為
則直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．
19．解：（1）設(shè)，依題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
又
∴
∵ 在⊙上，故
∴
∴ 點(diǎn)的軌跡方程為
（2）假設(shè)橢圓上存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)滿足
，則是線段MN的中點(diǎn)，且有
又 在橢圓上
∴ 兩式相減，得 ∴
∴ 直線MN的方程為
∴ 橢圓上存在點(diǎn)、滿足，此時(shí)直線的方程為
20．解： (1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.
8、
所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)，(，0)．
離心率為e＝＝.
(2)由題意知，|m|≥1.
當(dāng)m＝1時(shí)，切線l的方程為x＝1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，.
此時(shí)|AB|＝.
當(dāng)m＝－1時(shí)，同理可得|AB|＝.
當(dāng)|m|>1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則
x1＋x2＝，x1x2＝.
又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝
＝.
由于當(dāng)m＝±1時(shí)，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因?yàn)閨AB|＝＝≤2，且當(dāng)m＝±時(shí)，|AB|＝2，
所以|AB|的最大值為2.
2022年高二上學(xué)期期末考試 理科數(shù)學(xué)試題
