2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題五 解析幾何專題限時(shí)訓(xùn)練15 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題五 解析幾何專題限時(shí)訓(xùn)練15 文 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝(　　) A．2 B．8 C．4 D．10 答案：C 解析：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 ∴ 圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2， ∴ M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴ |MN|＝4.故選C. 2．(xx·重

2、慶卷)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸．過(guò)點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 答案：C 解析：由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，∴ 圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴ 2＋a－1＝0，∴ a＝－1，∴ A(－4，－1)． ∴ |AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴ |AB|2＝40－4＝36.∴ |AB|＝6. 3．(xx·廣東卷)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是(　　) A

3、．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 答案：A 解析：∵ 所求直線與直線2x＋y＋1＝0平行，∴ 設(shè)所求的直線方程為2x＋y＋m＝0.∵ 所求直線與圓x2＋y2＝5相切，∴ ＝，∴ m＝±5.即所求的直線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0. 4．已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－ B．1 C．2 D. 答案：C 解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2)為圓(x－1)2＋y2＝5上的點(diǎn)，

4、由圓的切線性質(zhì)可知，圓心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線與過(guò)點(diǎn)P(2,2)的切線垂直．因?yàn)閳A心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線的斜率k＝2，故過(guò)點(diǎn)P(2,2)的切線斜率為－，所以直線ax－y＋1＝0的斜率為2，因此a＝2. 5．已知函數(shù)f(x)＝x＋sin x(x∈R)，且f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，則當(dāng)y≥1時(shí)，的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因?yàn)閒(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)， 且f′(x)＝1＋cos x≥0， 所以函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)， 所以，由f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤

5、0得f(y2－2y＋3)≤f(－x2＋4x－1)，y2－2y＋3≤－x2＋4x－1.即x2＋y2－4x－2y＋4≤0，(x－2)2＋(y－1)2≤1，其表示圓(x－2)2＋(y－1)2＝1及其內(nèi)部． 表示滿足的點(diǎn)P與定點(diǎn)A(－1,0)連線的斜率． 結(jié)合圖形分析可知，直線AC的斜率為＝最小，切線AB的斜率為tan∠BAx＝tan 2∠PAx＝＝＝最大． 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．(xx·湖北卷)直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 答案：2 解析：由題意得，直線l1截圓所得的劣弧長(zhǎng)為，則圓

6、心到直線l1的距離為，即＝?a2＝1，同理可得b2＝1，則a2＋b2＝2. 7．(xx·湖北卷)如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2. (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________________； (2)過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2＋y2＝1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論： ①＝；②－＝2； ③＋＝2. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) 答案：(1)(x－1)2＋(y－)2＝2　(2)①②③ 解析：(1)取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則CD⊥AB. 由題意|AD|＝|

7、CD|＝1， 故|AC|＝＝，即圓C的半徑為. 又因?yàn)閳AC與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，所以圓心C的坐標(biāo)為(1，)，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)2＝2. (2)在(x－1)2＋(y－)2＝2中，令x＝0，得y＝±1， 故A(0，－1)，B(0，＋1)． 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，令M(0，－1)，N(0,1)， 則＝＝－1，＝＝－1. ∴ ＝. 當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋－1， 由得 (1＋k2)x2＋2(－1)kx＋2(1－)＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， kBM＋kNB＝＋ ＝＋ ＝

8、＋ ＝－＋2k ＝－＋2k＝0， 所以kBM＝－kNB， 所以∠MBA＝∠NBA，BA是∠MBN的角平分線． 由內(nèi)角平分線定理得＝，即＝. 故＝恒成立． 當(dāng)k＝0時(shí)，可求得＝－1， 故＝－1為定值． 所以－＝－(－1)＝2， ＋＝＋－1＝2， 故①②③都正確． 8．直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)(其中a，b是實(shí)數(shù))，且△AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0,1)之間距離的最小值為________． 答案： 解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，因?yàn)椤鰽OB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點(diǎn)，又|O

9、A|＝|OB|＝1，根據(jù)勾股定理得|AB|＝， 所以|OC|＝|AB|＝. 所以圓心到直線的距離為＝， 即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0. 所以－2≤b≤，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0,1)之間距離d＝＝ ＝. 設(shè)f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函數(shù)為對(duì)稱軸為b＝2的開口向上的拋物線，所以當(dāng)－≤b≤<2時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)． 因?yàn)閒()＝3－2， 所以d的最小值為＝＝－1. 三、解答題(9題12分，10題、11題每題14分，共40分) 9．(xx·河南豫西五校聯(lián)考)已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)． (1)求|

10、MQ|的最大值和最小值； (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 解：(1)由題意知，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2， 又|QC|＝＝4>2， |MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2. (2)因?yàn)楸硎局本€MQ的斜率， 所以設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0. 由題意知直線MQ與圓C有交點(diǎn)， 所以≤2， 解得2－≤k≤2＋， 所以的最大值為2＋，最小值為2－. 10.(xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交

11、于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求M的軌跡方程； (2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積． 解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4. 設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而

12、ON⊥PM. 因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為y＝－x＋. 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，|PM|＝，所以△POM的面積為. 11．(xx·廣東卷)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo)； (2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程； (3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由． 解：(1)把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－3)2＋y2＝4， ∴ 圓C1的圓心坐標(biāo)為C1(3,0)． (2)設(shè)M(x，y)，∵

13、A，B為過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C1的交點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)， ∴ 由圓的性質(zhì)知：MC1⊥MO，∴ ·＝0. 又∵ ＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)， ∴ 由向量的數(shù)量積公式得x2－3x＋y2＝0. 易知直線l的斜率存在，∴ 設(shè)直線l的方程為y＝mx， 當(dāng)直線l與圓C1相切時(shí)，d＝＝2， 解得m＝±. 把相切時(shí)直線l的方程代入圓C1的方程化簡(jiǎn)得9x2－30x＋25＝0，解得x＝. 當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓C1的圓心時(shí)，M的坐標(biāo)為(3,0)． 又∵ 直線l與圓C1交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，∴

14、 (3)由題意知直線L表示過(guò)定點(diǎn)(4,0)，斜率為k的直線， 把直線L的方程代入軌跡C的方程x2－3x＋y2＝0，其中0時(shí)， ①若x＝3是方程的解，則f(3)＝0?k＝0?另一根為x＝0<，故在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，滿足題意． ②若x＝是方程的解，則f＝0?k＝±?另外一根為x＝，<≤3，故在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，滿足題意． ③若x＝3和x＝均不是方程的解，則方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)根，只需f·f(3)<0?－