2019屆高考數(shù)學一輪復習 第一章 集合與常用邏輯用語學案 理

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1、 第一章 集合與常用邏輯用語 第一節(jié)集__合 1．集合的相關(guān)概念 (1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性． (2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為；不屬于，記為. (3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法． (4)五個特定的集合： 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 或N＋ 2．集合間的基本關(guān)系 　　表示 關(guān)系　　 文字語言 符號語言 記法 基本關(guān)系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A? x∈B A?B或B?A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一

2、個元素不屬于A A?B，且 ?x0∈B， x0?A AB或 BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A?B， B?A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集 ?x，x??，??A，?B(B≠?) ? 3．集合的基本運算 集合的并集 集合的交集 集合的補集 符號 表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為?UA 圖形 表示 意義 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} 4．集合的運算性質(zhì) (1)并集的性質(zhì)：A∪

3、?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?BA. (2)交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. (3)補集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝；A∩(?UA)＝； ?U(?UA)＝；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)． 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(　　) (2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　) (3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (4)任何一個集合都至少有兩個子集．

4、(　　) (5)若AB，則A?B且A≠B.(　　) (6)對于任意兩個集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(　　) (7)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)× 2．(2017·全國卷Ⅱ)設集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則A∪B＝(　　) A．{1,2,3,4}　　　　　　 B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,3,4} 解析：選A　由題意得A∪B＝{1,2,3,4}． 3．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－23}，則A∩

5、B＝(　　) A．{x|－2

6、 ∴x＝1或x＝4. 答案：1或4 6．已知集合P＝{2,3,4,5,6}，Q＝{3,4,5,7}，若M＝P∩Q，則M的子集個數(shù)為________． 解析：由題意可知，M＝{3,4,5}，故M的子集個數(shù)為23＝8. 答案：8 　　　　 [考什么·怎么考] 集合元素的三大特性是理解集合概念的關(guān)鍵，一般涉及元素與集合之間的關(guān)系及根據(jù)集合中元素的特性(特別是集合中元素的互異性)，來確定集合元素的個數(shù)或求參數(shù)值，屬于基礎題. 1．(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　　　

7、 B．2 C．1 D．0 解析：選B　因為A表示圓x2＋y2＝1上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素的個數(shù)為2. 2．(2018·南昌模擬)已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，則集合P的元素個數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選B　因為a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.當a＝1時，若b＝3，則x＝4；若b＝4，則x＝5；若b＝5，則x＝6.同理，當a＝2時，若b＝3，則x＝5；若b＝4，則x＝6；若b＝5，則x＝7，由集合中元素的特

8、性知P＝{4,5,6,7}，則P中的元素共有4個． 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a等于(　　) A. B. C．0 D．0或 解析：選D　若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根． 當a＝0時，x＝，符合題意． 當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝， 所以a的值為0或. 4．設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：選C　因為{1，a＋b，a}＝，所以a≠0，a＋b＝0，則＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

9、 5．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． 解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－，當m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合元素的互異性可知不滿足題意；當m＝－時，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－. 答案：－ [怎樣快解·準解] 1．與集合中的元素有關(guān)的解題策略 (1)確定集合中的代表元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集． (2)看這些元素滿足什么限制條件． (3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性． 2．常見易錯探因 第2題，第5題易忽視集合中元素的互異性

10、而導致錯誤；第3題集合A中只有一個元素，要分a＝0與a≠0兩種情況進行討論，此題易忽視a＝0的情形． 　　　　 集合間的關(guān)系有相等、子集(包含真子集)等，其中子集是高考考查重點，要能準確判定一個具體集合是否是另一個具體集合的子集．多以選擇題形式出現(xiàn)，屬于基礎題． (一)直接考——兩集合間基本關(guān)系的判斷 1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

11、知AB，故選C. 2．(2018·煙臺調(diào)研)已知集合M＝，集合N＝ ，則(　　) A．M∩N＝? B．M?N C．N?M D．M∪N＝M 解析：選B　由題意可知，M＝，＝，N＝，所以M?N，故選B. 3．(2018·云南第一次檢測)設集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，則集合A與B的關(guān)系是(　　) A．B?A B．B?A C．B∈A D．A∈B 解析：選A　因為A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝. 在數(shù)軸上標出集合A與集合B，如圖所示， 可知，B?A. [題型技法] 判斷集合

12、間關(guān)系的3種方法 列舉法 根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系．(如第1題) 結(jié)構(gòu)法 從元素的結(jié)構(gòu)特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進行判斷．(如第2題) 數(shù)軸法 在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系．(如第3題) (二)遷移考——利用集合間關(guān)系求參數(shù) 4．(2018·云南師大附中模擬)集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<2}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，4] B．(－∞，4) C．[0,4] D．(0,4) 解析：選B　

13、集合A就是不等式x2－a≤0，即x2≤a的解集．①當a<0時，不等式無解，故A＝?.此時顯然滿足A?B.②當a＝0時，不等式為x2≤0，解得x＝0，所以A＝{0}．顯然{0}?{x|x<2}，即滿足A?B.③當a>0時，解不等式x2≤a，得－≤x≤.所以A＝[－， ]．由A?B可得，<2，解得0

14、－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2 018＋b2 018＝1. 答案：1 6．已知集合A＝{x|1≤x<5}，B＝{x|－a

15、分類，分類的主要依據(jù)就是參數(shù)對該不等式的對應方程的解的影響．分類的主要層次為：①最高次冪系數(shù)是否為0；②方程是否有解；③解之間的大小關(guān)系．(如第4題) 關(guān)系要分類 已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)的取值，要注意對集合是否為空集進行分類討論，因為?是任意一個集合的子集．(如第6題) “端點”要取舍 利用集合之間的子集關(guān)系確定參數(shù)所滿足的條件，實際上就是比較兩個區(qū)間端點值的大小關(guān)系，所以集合對應區(qū)間的端點的取舍對兩個集合之間的關(guān)系有制約作用，這也是區(qū)分子集與真子集的關(guān)鍵．如已知A＝(1,3]，B＝[a，b](a

16、中主要考查求集合的交、并、補運算，常與解不等式、求函數(shù)定義域和值域等知識相結(jié)合，考查題型主要是選擇題，偶爾也出現(xiàn)填空題，屬于基礎題. [典題領悟] 1．已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝log2(x－2)}，則A∩B＝(　　) A．(1,2)　　　　　　　　 B．[1,2) C．(2,5] D．[2,5] 解析：選C　由x2－6x＋5≤0的解集為{x|1≤x≤5}，得A＝[1,5]．由x－2>0，解得x>2，故B＝(2，＋∞)．把兩個集合A，B在數(shù)軸上表示出來，如圖，可知A∩B＝(2,5]． 2．(2018·湖南湘潭模擬)已知全集U＝R，集合M＝{x||x

17、|<1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，則集合?U(M∪N)＝(　　) A．(－∞，－1] B．(－1,2) C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：選A　解|x|<1，得－10}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為(　　) A．{x|－2≤x<4}　　　　 B．{x|

18、x≤2或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2} 解析：選D　依題意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，選D. [解題師說] 1．掌握“4種技巧” (1)先“簡”后“算”：進行集合的基本運算之前要先對其進行化簡，化簡時要準確把握元素的性質(zhì)特征，區(qū)分數(shù)集與點集等．如求集合P＝的補集，要先進行化簡，若直接否定集合P中元素的性質(zhì)特征，就會誤以為?RP＝，導致漏解． (2)遵“規(guī)”守“矩”：定義是進行集合基本運算的依據(jù)，交集的運算要抓住“公共元素”，補集的運算要關(guān)注“你有

19、我無”的元素． (3)活“性”減“量”：靈活利用交集與并集以及補集的運算性質(zhì)，特別是摩根定律，即?U(M∩N)＝(?UM)∪(?UN)，?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)等簡化運算，減少運算量． (4)借“形”助“數(shù)”：在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．(如典題領悟第1題) 2．謹防“2種失誤” (1)進行集合基本運算時要注意對應不等式端點值的處理，尤其是求解集合補集的運算，一定要注意端點值的取舍．(如典題領悟第2題) (2)求集合的補集時，既要注意全集是什么，又要注意求補集的步驟，一般先求出原來的集合，然后求其補集

20、，否則容易漏解．(如典題領悟第3題、沖關(guān)演練第3題) [沖關(guān)演練] 1．(2017·天津高考)設集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝(　　) A．{2} B．{1,2,4} C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5} 解析：選B　A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝{1,2,4}． 2．(2018·合肥質(zhì)量檢測)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B. C. D．(1，＋∞) 解析：選A　因為A∩B≠?，所

21、以解得a≥1. 3．(2018·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，則?R(A∩B)＝(　　) A. B．(－∞，0)∪ C. D．(－∞，0]∪ 解析：選D　因為A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以?R(A∩B)＝(－∞，0]∪. 　　　　 以集合為載體的新定義問題，是高考命制創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新性質(zhì)、新法則等，一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中等或偏上. [典題領悟] 1．設集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{－1,1,2,3}，定義A#B＝，則

22、A#B中元素的個數(shù)是(　　) A．5　　　　　　　　　　 B．7 C．10 D．15 解析：選B　因為x∈A，所以x可?。?,0,1； 因為y∈B，所以y可取－1,1,2,3. 則z＝的結(jié)果如下表所示： y x　　 －1 1 2 3 －1 1 －1 － － 0 0 0 0 0 1 －1 1 故A#B中元素有－1，－，－，0，，，1，共7個，故選B. 2．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于任意實數(shù)對(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合

23、： ①M＝； ②M＝{(x，y)|y＝log2x}； ③M＝{(x，y)|y＝ex－2}； ④M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}． 其中是“垂直對點集”的序號是(　　) A．①④ B．②③ C．③④ D．②④ 解析：選C　記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.對于①，對任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.對于②，當A為點(1,0)時，不存在B∈M滿足題意．對于③④，對任意A∈M，過原點O可作直線OB⊥OA，它們都與函數(shù)y＝ex－2及y＝sin x＋1的圖象相交，即③④滿足題意，故選C. 3．設集合A＝{－1,0,1}，集

24、合B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數(shù)是(　　) A．7 B．10 C．25 D．52 解析：選B　因為A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}， 所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}． 由x∈A∩B，可知x可取0,1； 由y∈A∪B，可知y可?。?,0,1,2,3. 所以元素(x，y)的所有結(jié)果如下表所示： y x　　 －1 0 1 2 3 0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,

25、2) (1,3) 所以A*B中的元素共有10個． [解題師說] 與集合相關(guān)的新定義問題的解題思路 (1)緊扣“新”定義：分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵所在． (2)把握“新”性質(zhì)：集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)． (3)遵守“新”法則：準確把握新定義的運算法則，將其轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集與補集的運算即可． [沖關(guān)演練] 1．定義集合的商集運算為＝，已知集合A＝{2

26、,4,6}，B＝，則集合∪B中的元素個數(shù)為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選B　由題意知，B＝{0,1,2}，＝0，，，，1，，則∪B＝，共有7個元素，故選B. 2．(2018·武昌調(diào)研)設A，B是兩個非空集合，定義集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，則A－B＝(　　) A．{0,1} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{0,1,2,5} 解析：選D　因為A＝{x∈N|0≤x≤5}，所以A＝{0,1,2,3,4,5}．解不等式x2－7x＋10<0，即(x－2)(x－5)<0，得2<

27、x<5.所以B＝(2,5)．因為A－B＝{x|x∈A，且x?B}，而3,4∈B,0,1,2,5?B，所以A－B＝{0,1,2,5}，故選D. 3．(2018·廣東揭陽一模)非空數(shù)集A若滿足：(1)0?A；(2)若?x∈A，有∈A，則稱A是“互倒集”．給出以下數(shù)集： ①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}； ②{x|x2－4x＋1<0}； ③； ④. 其中“互倒集”的個數(shù)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：選C　對于①，當－2

28、集”；對于③，y′＝≥0，故函數(shù)y＝是增函數(shù)，當x∈時，y∈[－e,0)，當x∈(1，e]時，y∈，所以③不是“互倒集”；對于④，y∈∪＝且∈，所以④是“互倒集”，故選C. (一)普通高中適用作業(yè) A級——基礎小題練熟練快 1．(2017·山東高考)設函數(shù)y＝的定義域為A，函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為B，則A∩B＝(　　) A．(1,2)　　　　　　　　 B．(1,2] C．(－2,1) D．[－2,1) 解析：選D　由題意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}． 2．(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{

29、2,4,6,8}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　A，B兩集合中有兩個公共元素2,4，故選B. 3．已知集合A＝，則集合A中的元素個數(shù)為(　　) A．2　　　　B．3　　　　　C．4　　　　　D．5 解析：選C　∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x的值分別為5,3,1，－1，故集合A中的元素個數(shù)為4. 4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為(　　) A．3 B．6 C．8 D．10 解析：選D　由x∈A，y∈A，x－y∈

30、A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，所以集合B有10個元素． 5．已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則(　　) A．AB B．BA C．A?B D．B＝A 解析：選B　因為A＝{x|y＝，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故選B. 6．已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1＜22－x＜4}，若A∩B＝{1,2m}，則實

31、數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D．(0,1) 解析：選C　因為B＝{x|1＜22－x＜4}，所以B＝{x|0＜2－x＜2}，所以B＝{x|0＜x＜2}．在數(shù)軸上畫出集合B，集合A∩B，如圖1或圖2所示， 從圖中可知，0＜2m＜1或1＜2m＜2，解得0＜m＜或＜m＜1，所以實數(shù)m的取值范圍是∪.故選C. 7．設集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，則A∩B＝________. 解析：依題意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}． 答案：{－1,0} 8

32、．設集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3?A，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意得 即所以1＜a≤2. 答案：(1,2] 9．設A，B為兩個集合，下列四個命題： ①A?B?對任意x∈A，有x?B；②A?B?A∩B＝?； ③A?B?B?A；④A?B?存在x∈A，使得x?B. 其中真命題的序號是________． 解析：如果對任意x∈A，有x∈B，則A?B，若A中至少有一個元素不在B中，即存在x∈A，使得x?B，則A不是B的子集．所以④是真命題． 答案：④ 10．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是_

33、_________． 解析：由log2x≤2，得0＜x≤4， 即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}， 由于A?B，在數(shù)軸上標出集合A，B，如圖所示， 則a＞4. 答案：(4，＋∞) B級——中檔題目練通抓牢 1．(2018·湘中名校高三聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－11x－12＜0}，B＝{x|x＝2(3n＋1)，n∈Z}，則A∩B等于(　　) A．{2} B．{2,8} C．{4,10} D．{2,8,10} 解析：選B　因為集合A＝{x|x2－11x－12＜0}＝{x|－1＜x＜12}，集合B為被6整除余數(shù)為2的數(shù)．又集合A中的整數(shù)有0,1,2,3,

34、4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余數(shù)為2的數(shù)有2和8，所以A∩B＝{2,8}，故選B. 2．(2018·河北衡水中學月考)設A，B是兩個非空集合，定義運算A×B＝{x|x∈(A∪B)且x?(A∩B)}，已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，則A×B＝(　　) A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞) C．[0,1] D．[0,2] 解析：選A　由題意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}， 所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]， 所以A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)． 3．已知全集U＝A∪B

35、中有m個元素，∪中有n個元素．若A∩B非空，則A∩B的元素個數(shù)為(　　) A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n 解析：選D　因為∪中有n個元素，如圖中陰影部分所示，又U＝A∪B中有m個元素，故A∩B中有m－n個元素． 4．(2018·貴陽監(jiān)測)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有兩個元素的子集，且滿足下列三個條件： ①若a1∈A，則a2∈A； ②若a3?A，則a2?A； ③若a3∈A，則a4?A. 則集合A＝________.(用列舉法表示) 解析：假設a1∈A，則a2∈A，由若a3?A，則a2?A可知，a3∈A，故假設不成立；假設a4∈

36、A，則a3?A，a2?A，a1?A，故假設不成立．故集合A＝{a2，a3}． 答案：{a2，a3} 5．已知集合A＝{x|－10時，∵A＝{x|－1

37、取值范圍． 解：(1)由題意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2

38、：(1)因為A∩B＝{3}，所以3∈B， 所以32＋c×3＋15＝0，解得c＝－8， 所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}． 又因為A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}， 所以方程x2－ax＋b＝0有兩個相等的實數(shù)根都是3， 所以a＝6，b＝9. (2)不等式ax2＋bx＋c≤7，即為6x2＋9x－8≤7， 所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1， 所以P＝， 所以P∩Z＝{－2，－1,0,1}． C級——重難題目自主選做 1．對于非空集合A，B，定義運算：A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}．已知非空集合M＝{x|a＜x＜b}，N＝{

39、x|c＜x＜d}，其中a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d，ab＜cd＜0，則M⊕N＝(　　) A．(a，d)∪(b，c) B．(c，a)∪(d，b) C．(c，a)∪[b，d) D．(a，c]∪[d，b) 解析：選D　由M＝{x|a＜x＜b}，得a＜b.又ab＜0，∴a＜0＜b.同理可得c＜0＜d，由ab＜cd＜0，c＜0，b＞0可得＞，∴＞.又∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，∴＞，∵c＜0，b＞0，∴d－b＜0，因此a－c＜0，∴a＜c＜0＜d＜b，∴M∩N＝N，∴M⊕N＝{x|a＜x≤c或d≤x＜b}＝(a，c]∪[d，b)．故選D. 2．已知k為合數(shù)，且1＜k＜100，當

40、k的各數(shù)位上的數(shù)字之和為質(zhì)數(shù)時，稱此質(zhì)數(shù)為k的“衍生質(zhì)數(shù)”． (1)若k的“衍生質(zhì)數(shù)”為2，則k＝________； (2)設集合A＝{P(k)|P(k)為k的“衍生質(zhì)數(shù)”}，B＝{k|P(k)為k的“衍生質(zhì)數(shù)”}，則集合A∪B中元素的個數(shù)是________． 解析：(1)依題意設k＝10a＋b(a∈N*，b∈N)，則a＋b＝2，又a∈N*，b∈N，則a＝2，b＝0，故k＝20；(2)由(1)知“衍生質(zhì)數(shù)”為2的合數(shù)有20，同理可推“衍生質(zhì)數(shù)”為3的合數(shù)有12,21,30，“衍生質(zhì)數(shù)”為5的合數(shù)有14,32,50，“衍生質(zhì)數(shù)”為7的合數(shù)有16,25,34,52,70，“衍生質(zhì)數(shù)”為11的

41、合數(shù)有38,56,65,74,92，“衍生質(zhì)數(shù)”為13的合數(shù)有49,58,76,85,94，“衍生質(zhì)數(shù)”為17的合數(shù)有98，所以集合A有7個元素，集合B有23個元素，故集合A∪B中有30個元素． 答案：20　30 (二)重點高中適用作業(yè) A級——保分題目巧做快做 1．已知集合A＝，則集合A中的元素個數(shù)為(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：選C　∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x的值分別為5,3,1，－1，故集合A中的元素個數(shù)為4. 2．已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則(　　) A．

42、AB B．BA C．A?B D．B＝A 解析：選B　因為A＝{x|y＝，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA. 3.(2018·湖北七市(州)協(xié)作體聯(lián)考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，則集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的個數(shù)為(　　) A．147 B．140 C．130 D．117 解析：選B　由題意得，y的取值一共有3種情況，當y＝2時，xy是偶數(shù)，不與y＝3，y＝5時有相同的元素，當y＝3，x＝5,15,25，…，95時，與y＝5，x＝3,9,1

43、5，…，57時有相同的元素，共10個，故所求元素個數(shù)為3×50－10＝140. 4.(2018·河北衡水調(diào)研)已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，則c的取值范圍是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞) 解析：選D　A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，因為A∪B＝B，所以A?B，所以c≥2. 5.(2018·河北正定中學月考)已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，則a＋b＝(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1

44、 解析：選A　P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故選A. 6．設集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3?A，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意得 即所以1＜a≤2. 答案：(1,2] 7．設集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，則A∩B＝________. 解析：依題意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．

45、 答案：{－1,0} 8.設全集為R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，則A∩(?RB)＝______________. 解析：由題意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}， ∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴?RB＝{x|x≤－1或x＞5}． ∴A∩(?RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}． 答案：{x|－3＜x≤－1} 9.(2018·江西玉山一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}． (1)分別求A∩B，(?RB)∪A； (2)已知集合C＝{x|1

46、，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．∵log2x>1，即log2x>log22， ∴x>2，∴B＝{x|x>2}．∴A∩B＝{x|2

47、 (1)求實數(shù)a，b，c的值． (2)設集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z. 解：(1)因為A∩B＝{3}，所以3∈B， 所以32＋c×3＋15＝0，解得c＝－8， 所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}． 又因為A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}， 所以方程x2－ax＋b＝0有兩個相等的實數(shù)根都是3， 所以a＝6，b＝9. (2)不等式ax2＋bx＋c≤7，即為6x2＋9x－8≤7， 所以2x2＋3x－5≤0，所以－≤x≤1， 所以P＝， 所以P∩Z＝{－2，－1,0,1}． B級——拔高題目穩(wěn)做準做 1．對于非空集

48、合A，B，定義運算：A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}．已知非空集合M＝{x|a＜x＜b}，N＝{x|c＜x＜d}，其中a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d，ab＜cd＜0，則M⊕N＝(　　) A．(a，d)∪(b，c) B．(c，a)∪(d，b) C．(c，a)∪[b，d) D．(a，c]∪[d，b) 解析：選D　由M＝{x|a＜x＜b}，得a＜b.又ab＜0，∴a＜0＜b.同理可得c＜0＜d，由ab＜cd＜0，c＜0，b＞0可得＞，∴＞.又∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，∴＞，∵c＜0，b＞0，∴d－b＜0，因此a－c＜0，∴a＜c＜0＜d＜b，∴M∩N＝N，∴M⊕N＝{

49、x|a＜x≤c或d≤x＜b}＝(a，c]∪[d，b)．故選D. 2.設平面點集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　) A.π B.π C.π D. 解析：選D　不等式(y－x)·≥0可化為或集合B表示圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圓內(nèi)部的點所構(gòu)成的集合，A∩B所表示的平面區(qū)域如圖所示．曲線y＝，圓(x－1)2＋(y－1)2＝1均關(guān)于直線y＝x對稱，所以陰影部分占圓面積的一半，即為. 3.已知集合A＝{x|a－1＜x＜a＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是________．

50、 解析：因為A＝{x|a－1＜x＜a＋1}， B＝(－∞，1]∪[4，＋∞)， 由已知A∩B＝?，所以所以2≤a≤3. 答案：[2,3] 4．(2018·貴陽監(jiān)測)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有兩個元素的子集，且滿足下列三個條件： ①若a1∈A，則a2∈A； ②若a3?A，則a2?A； ③若a3∈A，則a4?A.則集合A＝________.(用列舉法表示) 解析：假設a1∈A，則a2∈A，由若a3?A，則a2?A可知，a3∈A，故假設不成立；假設a4∈A，則a3?A，a2?A，a1?A，故假設不成立．故集合A＝{a2，a3}． 答案：{a2，a

51、3} 5.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∩B＝[0,3]，求實數(shù)m的值； (2)若A??RB，求實數(shù)m的取值范圍． 解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}， B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)因為A∩B＝[0,3]， 所以所以m＝2. (2)?RB＝{x|xm＋2}， 因為A??RB， 所以m－2>3或m＋2<－1， 即m>5或m<－3. 因此實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 6.若集合M＝{x|－3≤x≤4}，集合P＝{x|2m－1≤x≤m＋1}． (1

52、)證明M與P不可能相等； (2)若集合M與P中有一個集合是另一個集合的真子集，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)證明：若M＝P，則－3＝2m－1且4＝m＋1， 解得m＝－1且m＝3，不成立． 故M與P不可能相等． (2)若PM，當P≠?時，有 或解得－1≤m≤2； 當P＝?時，有2m－1>m＋1，解得m>2，即m≥－1； 若MP，則或無解． 綜上可知，當有一個集合是另一個集合的真子集時，只能是PM，此時必有m≥－1， 即實數(shù)m的取值范圍為[－1，＋∞)． 第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 1．命題的概念 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句

53、叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充要條件 充分條件與必要條件的定義 從集合角度理解 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為B p是q的充分不必要條件 p?q且qp A是B的真子集 集合與充要條件 的關(guān)系 p是q的必要不充分條件 p q且q?p B是A的真子集 p是q的充要條件 p?q

54、 AB p是q的既不充分也不必要條件 p q且qp A，B互不包含 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－8<0”是命題．(　　) (2)一個命題非真即假．(　　) (3)四種形式的命題中，真命題的個數(shù)為0或2或4.(　　) (4)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(　　) (5)若p是q成立的充分條件，則q是p成立的必要條件．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是(　　) A．若a≤b，則a＋c≤b＋c　　 B．若a＋c≤b＋c，則a≤

55、b C．若a＋c>b＋c，則a>b D．若a>b，則a＋c≤b＋c 解析：選A　命題的否命題是將原命題的條件和結(jié)論均否定，所以題中命題的否命題為“若a≤b，則a＋c≤b＋c”． 3．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　由正弦定理知＝＝2R(R為△ABC外接圓半徑)．若sin A>sin B，則>，即a>b，所以A>B；若A>B，則a>b，所以2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要條

56、件． 4．(2018·唐山一模)若x∈R，則“x>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　當x>1時，<1成立，而當<1時，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要條件，選A. 5．“若a

57、bc2得到c2>0，所以兩邊同除以c2，得a

58、熱點之一，一是對“若p，則q”形式命題的改寫要熟練，二是弄清命題的四種形式之間的真假關(guān)系.一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于基礎題. 1．(2018·武漢模擬)對于原命題“正弦函數(shù)不是分段函數(shù)”，下列敘述正確的是(　　) A．否命題是“正弦函數(shù)是分段函數(shù)” B．逆命題是“分段函數(shù)不是正弦函數(shù)” C．逆否命題是“分段函數(shù)是正弦函數(shù)” D．以上都不正確 解析：選D　原命題可寫成“若一個函數(shù)是正弦函數(shù)，則該函數(shù)不是分段函數(shù)”，否命題為“若一個函數(shù)不是正弦函數(shù)，則該函數(shù)是分段函數(shù)”，逆命題為“若一個函數(shù)不是分段函數(shù)，則該函數(shù)是正弦函數(shù)”，逆否命題為“若一個函數(shù)是分段函數(shù)，則該函數(shù)不是正弦函

59、數(shù)”，可知A、B、C都是錯誤的，故選D. 2．設原命題：若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是(　　) A．原命題真，逆命題假 B．原命題假，逆命題真 C．原命題與逆命題均為真命題 D．原命題與逆命題均為假命題 解析：選A　可以考慮原命題的逆否命題，即a，b都小于1，則a＋b<2，顯然為真．其逆命題，即若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2為假，如a＝1.2，b＝0.2，則a＋b<2. 3．命題“已知a>1，若x>0，則ax>1”的否命題為(　　) A．已知00，則ax>1 B．已知a>1，若x≤0，則ax>1 C．已

60、知a>1，若x≤0，則ax≤1 D．已知01”是大前提，在四種命題中不能改變；“x>0”是條件，“ax>1”是結(jié)論．由于命題“若p，則q”的否命題為“若綈p，則綈q”，故該命題的否命題為“已知a>1，若x≤0，則ax≤1”．故選C. [怎樣快解·準解] 1．判斷命題真假的2種方法 (1)直接判斷：判斷一個命題是真命題，需經(jīng)過嚴格的推理證明；而要說明它是假命題，只需舉一反例即可．(如第2題逆命題的真假判斷) (2)間接判斷(等價轉(zhuǎn)化)：由于原命題與其逆否命題為等價命題，如果原命題的真假不易直接判斷，那么可以利用這種等價性間

61、接地判斷命題的真假．(如第2題原命題的真假判斷) 2．謹防3類失誤 (1)如果原命題是“若p，則q”，則否命題是“若綈p，則綈q”，而命題的否定是“若p，則綈q”，即否命題是對原命題的條件和結(jié)論同時否定，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)． (2)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫．(如第1題) (3)當命題有大前提時，寫其他三種命題時需保留大前提．(如第3題) 　　　　 充分條件、必要條件以其獨特的表達形式成為高考命題的熱點.高考主要考查充分條件、必要條件的判斷，常以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬于基礎題.,充分條件、必要條件作為一個重要載體，考查的數(shù)學知識面較廣

62、，幾乎涉及數(shù)學知識各個方面. [典題領悟] 1．(2017·北京高考)設m，n為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　) A．充分而不必要條件　 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴當λ<0，n≠0時，m·n<0. 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈，當〈m，n〉∈時，m，n不共線． 故“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件． 2．(2017·天津高考)設x∈R，則“2－x≥0”是“|

63、x－1|≤1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由2－x≥0，得x≤2， 由|x－1|≤1，得0≤x≤2. ∵0≤x≤2?x≤2，x≤2?/ 0≤x≤2， 故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分條件． 3．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因為p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1， 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1， 因為

64、綈q?綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件． 4．(2018·江西鷹潭中學月考)設f(x)＝x2－4x(x∈R)，則f(x)>0的一個必要不充分條件是(　　) A．x<0 B．x<0或x>4 C．|x－1|>1 D．|x－2|>3 解析：選C　依題意，f(x)>0?x2－4x>0?x<0或x>4.又|x－1|>1?x－1<－1或x－1>1，即x<0或x>2，而{x|x<0或x>4}{x|x<0或x>2}，因此選C. [解題師說] 1．熟記判斷充分、必要條件的3種方法 方法 解讀 適合題型 定義法 第一步，分清條件和結(jié)論：分清誰是

65、條件，誰是結(jié)論；第二步，找推式：判斷“p?q”及“q?p”的真假；第三步，下結(jié)論：根據(jù)推式及定義下結(jié)論 定義法是判斷充分、必要條件最根本、最適用的方法．(如典題領悟第1題) 等價法 利用p?q與綈q?綈p；q?p與綈p?綈q；p?q與綈q?綈p的等價關(guān)系 適用于“直接正面判斷不方便”的情況，可將命題轉(zhuǎn)化為另一個等價的又便于判斷真假的命題，再去判斷．常用的是逆否等價法．(如典題領悟第3題) 集合法 記條件p，q對應的集合分別為A，B.若AB，則p是q的充分不必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件 適用于“當所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集

66、以及集合有關(guān)，或所描述的對象可以用集合表示時”的情況．(如典題領悟第2題及第4題) 2．把握探求某結(jié)論成立的充分、必要條件的3個方面 (1)準確化簡條件，也就是求出每個條件對應的充要條件； (2)注意問題的形式，看清“p是q的……”還是“p的……是q”，如果是第二種形式，要先轉(zhuǎn)化為第一種形式，再判斷； (3)靈活利用各種方法判斷兩個條件之間的關(guān)系，充分、必要條件的判斷常通過“?”來進行，即轉(zhuǎn)化為兩個命題關(guān)系的判斷，當較難判斷時，可借助兩個集合之間的關(guān)系來判斷． [沖關(guān)演練] 1．(2018·安徽兩校階段性測試)設a∈R，則“a＝4”是“直線l1：ax＋8y－8＝0與直線l2：2x＋ay－a＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D　∵當a≠0時，＝＝?直線l1與直線l2重合，∴無論a取何值，直線l1與直線l2均不可能平行，當a＝4時，l1與l2重合．故選D. 2．對于直線m，n和平面α，β，m⊥α成立的一個充分條件是(　　) A．m⊥n，n∥α　　　　　 B．m∥β，β⊥α C．m⊥β，