2022年高考數學一輪復習 4.2 函數與方程教案 新課標

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1、2022年高考數學一輪復習 4.2 函數與方程教案 新課標 【知識歸納】 1．函數零點的定義： 方程有實根函數圖象與軸有交點函數有零點。 2．函數變號零點與不變號零點（二重零點）性質： （1）定理：如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有那么函數在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是方程的實數根。 （2）變號了一定有零點（能證明f(x)單調則有且只有一個零點）；不變號不一定無零點（如二重零點）：在相鄰兩個零點之間所有的函數值保持同號。 3．怎樣求零點：即為求解方程的根？ 解一：利用計算器或計算機作的對應值表、若在區(qū)間上連續(xù)，并且有，那么函數在區(qū)間內至少有一個實數根

2、、若能證明在單調性，則在有且只有一個零點、再在其它區(qū)間內同理去尋找。 解二：試探著找到兩個x對應值為一正一負（至少有一個）；再證單調增函數即可得有且只有一個。 解三：構造兩個易畫函數，畫圖，看圖象交點個數，很實用。 4．用二分法求函數零點近似值的步驟： 在給定精確度，用二分法求函數零點的近似值的步驟是： （1）確定區(qū)間，驗證，給定精確度； （2）求區(qū)間的中點； （3）計算： ①若=0，則c就是函數的零點，計算終止； ②若，則令b=c（此時零點）； ③若則令a=c（此時零點。(用列表更清楚) （4）．判斷是否達到精確度：即若，則得到零點近似值；否則重復（2）~（4）。 說

3、明：用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適合，對函數的不變號零點不使用；用二分法求函數的零點近似值必須用上節(jié)的三種方法之一先求出零點所在的區(qū)間。 【典型例題】 一、確定零點的個數 例1．（1）二次函數中，，則函數的零點個數是（ ） A．1個 B．2個 C．0個 D．無法確定 分析：分析條件，是二次項系數，確定拋物線的開口方向，，所以，由此得解。 解：因為，所以，即與異號，即或 所以函數必有兩個零點，故選B。 （2）函數的零點個數為_______。 解：可由試根法求得的一根為，從而可得，由函數的零點個數為3個。

4、 例2． 函數的零點所在的大致區(qū)間是（ ） A．（1，2） B．（2，3） C．和（3，4） D． 分析：從已知的區(qū)間，求和，判斷是否有。 解：因為，故在（1，2）內沒有零點，非A。 又，所以，所以在（2，3）內有一個零點，選B。 例2．下列函數中，在區(qū)間[1，2]上有零點的是 ①②③ ④⑤ 解析：①直接求出x=1，符合 ②首先判斷一元二次函數的零點個數，通過求所對應方程判別式的大小：△<0,無零點 ③△>0,且,零點 ④即判斷與的交點情況，需要畫圖，并判斷交點所在區(qū)間 ⑤同理，判斷與的交點情況 答案①③⑤

5、 例4． 試證明函數在上有且僅有一個零點。 證明：且， 而函數在區(qū)間上是連續(xù)不斷的 在區(qū)間內有零點。 又，在上是一個單調遞增函數。如果函數有不僅一個的零點，可設為它的兩個不等的零點，則有，這與在上是一個單調遞增函數矛盾，函數在上有且僅有一個零點。 二、求函數零點的近似值 例5．求方程在區(qū)間內的實數解。（ 精確到0.01） 解：考察函數由于，函數在內存在零點，即方程在區(qū)間內有解。取[0，2]的中點1， 方程在[1，2]內有解，又所以在區(qū)間存在零點，方程在[1，1.5]內有解，如此下去，取區(qū)間作為計算器的初始區(qū)間。用二分法逐次計算列表如下： 區(qū)間中點坐標 中點函數值 取區(qū)間

6、 0.5 1.25 0.25 1.375 0.125 1.3125 0.0625 1.34375 0.03125 1.328125 0.015625 1.3203125 0.0078125 ，至此可以看出，函數的零點落在區(qū)間長度小于0.01的區(qū)間內，因為該區(qū)間的所有值精確到0.01的都是1.32，所以1.32是函數精確到0.01的一個近似零點。 例6．已知二次函數的圖象以原點為頂點且過點，反比例函數的圖象與直線的兩個交點間距離為8， （1）求函數的表達式。 （2）證明：當時，關于的方程有三個實數解。

7、 解：（1） （2）由得，即：，在同一坐標系作出和的大致圖象，其中的圖象是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，的圖象是以為頂點，開口向下的拋物線。因此，與的圖象在第三象限有一個交點。即有一個負數解。 又，當時， 當時，在第一象限的圖象上存在一點在圖象的上方。 與的圖象在第一象限有兩個交點，即有兩個正數解。因此，方程有三個實數解。 方法二：由得，因式分解為：，即：或，又不是的根，故可化為：，只須證明和不是的根，且具有兩個不等的實根。 【作業(yè)】 1．已知關于的方程－2= 0有實數解，求實數的取值范圍。 答案：0≤≤4－ 2．已知二次函數 （1）若，且，試證明

8、必有兩個零點。 （2）若對于且，，方程有兩個不等的實根，證明必有一實根屬于。 證明：（1） 又，即， 又，方程有兩個不等實根，所以函數有兩個實根。 （2）令， 則， ， 在內必有一實根，即在內必有一實根。 3．已知關于x的二次函數． (1)求證：對于任意，方程必有實數根； (2)若，求證：方程在區(qū)間上各有一個實數根． (1)由知必有實數根. 或由得必有實數根． (2)當時，因為，， ， 所以方程在區(qū)間上各有一個實數根． 4．已知，t∈[，8]，對于f(t)值域內的所有實數m，不等式恒成立，求x的取值范圍。 解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3] 原題轉化為：>0恒成立，為m的一次函數（這里思維的轉化很重要） 當x＝2時，不等式不成立。 ∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3] 問題轉化為g(m)在m∈[，3]上恒對于0，則：； 解得：x>2或x<－1 評析：首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數，因此依據一次函數的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準“主元”往往是解題的關鍵。