2022年高中數學 第2章 數列章末知識整合 蘇教版必修5

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1、2022年高中數學 第2章 數列章末知識整合 蘇教版必修5 題型1　求數列的通項公式 一、觀察法 　寫出下列數列的一個通項公式： (1)1，－7，13，－19，25，…； (2)2，，，，，…； (3)，，，，2，…； (4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…. 分析：觀察數列中的每一項與它的序號之間的對應關系，以及所給數列與一些特殊數列之間的關系． 解析：(1)原數列的各項可看成數列{an}：1，－1，1，－1，…與數列{bn}：1，7，13，19，25，…對應項相乘的結果． 又an＝(－1)n＋1(n∈N*)，bn＝1＋6(n－1)＝6n－5(n∈N*)

2、． 故原數列的一個通項公式為cn＝(－1)n＋1(6n－5)(n∈N*)． (2)原數列可改寫成： 1＋，2＋，3＋，4＋，…. 故其通項公式為an＝n＋(n∈N*)． (3)這個分數數列中分子、分母的規(guī)律都不明顯，不妨把分子變成4，然后看分母，從而有，，，，…. 分母正好構成等差數列，從而原數列的通項公式為 an＝(n∈N*)． (4)注意到此數列的特點：奇數項與項數相等，偶數項比項數大1，故它可改寫成： 1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，…. 所以原數列的通項公式為an＝n＋＋(n∈N*)． ?歸納拓展 (1)觀察是歸納的前提，合理的轉換是完成歸納的關

3、鍵． (2)由數列的前n項歸納出的通項公式不一定唯一．如數列5，0，－5，0，5，…的通項公式可為5cos(n∈N*)，也可為an＝5sin(n∈N*)． (3)已知數列的前n項，寫出數列的通項公式時，要熟記一些特殊數列．如{(－1)n}，{n}，{2n－1}，{2n}，{2n－1}，{n2}，等，觀察所給數列與這些特殊數列的關系，從而寫出數列的通項公式． ?變式遷移 1．寫出下列數列的一個通項公式． (1)1，－，，－，…； (2)，，2，2，…； (3)1，3，6，10，15，…； (4)1，－4，7，－10，13，…. 解析：(1)an＝(－1)n＋1(n∈N*)．

4、(2)原數列可寫成，，，，…，易得an＝(n∈N*)． (3)∵3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，15＝1＋2＋3＋4＋5，…，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N*)． (4)∵1，4，7，10，13，…組成1為首項，3為公差的等差數列，易得an＝(－1)n＋1(3n－2)(n∈N*)． 二、利用an＝求an 　例2 設Sn為數列{an}的前n項的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，求數列{an}的通項公式． 分析：由Sn與an的關系消去Sn(或an)，轉化為an(或Sn)的遞推關系求解． 解析：∵Sn＝(an－1)， ∴當n＝1時，S1＝a1＝(a1－1)，

5、解得a1＝3. 當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝3， ∴當n≥2時，數列{an}是以3為公比的等比數列，且首項a2＝3a1＝9. ∴n≥2時，an＝9×3n－2＝3n.顯然n＝1時也成立． 故數列的通項公式為an＝3n(n∈N*)． ?歸納拓展 已知數列的前n項和公式，求數列的通項公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．這里常常因為忽略了n≥2的條件而出錯，即由an＝Sn－Sn－1求得an時的n是從2開始的自然數，否則會出現(xiàn)當n＝1時Sn－1＝S0，而與前n項和定義矛盾．可見由an＝Sn－Sn－1所確定的an，當n＝1時的a1與S

6、1相等時，an才是通項公式，否則要用分段函數表示為an＝ ?變式遷移 2．設數列{an}的前n項和為Sn，數列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求{an}的通項公式． 解析：(1)當n＝1時，T1＝2S1－1，而T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，解得a1＝1. (2)n≥2時，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1. ∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，① Sn＋1＝2Sn＋2n＋1.② ②－①得an＋1＝2an＋2， 即an＋1＋2＝2(an＋2)，亦即＝2. a

7、1＋2＝3，a2＋2＝6，＝2， ∴{an＋2}是首項為3，公比為2的等比數列． ∴an＋2＝3·2n－1，故an＝3·2n－1－2(n∈N*)． 三、疊加法 　例3 已知數列{an}滿足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)． (1)求a2，a3； (2)證明：an＝(n∈N*)． 分析：已知a1，由遞推公式可以求出a2，a3，因為an＝3n－1＋an－1屬于an＋1＝an＋f(n)型遞推公式，所以可以用疊加法求出an. (1)解析：∵a1＝1， ∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13. (2)證明：由已知an－an－1＝3n－1， 令n分別取2，3，4，…，n

8、得 a2－a1＝31， a3－a2＝32， a4－a3＝33， … an－an－1＝3n－1， 以上(n－1)個式子相加，得an－a1＝31＋32＋…＋3n－1. ∴an＝. ∵n＝1時，a1＝＝1，∴an＝(n∈N*)． ?歸納拓展 (1)對n＝1時，檢驗a1 ＝1是否滿足an＝是必要的，否則就要寫成分段函數的形式． (2)如果給出數列{an}的遞推公式為an＝an－1＋f(n)型，并且{f(n)}容易求和，這時可采用疊加法． 對n＝1檢驗是必要的，否則就要寫成分段函數的形式，這里說的f(n)易求和，指的是f(n)的形式為等差數列前n項和、等比數列前n項和，或是常見的

9、特殊公式，如12＋22＋32＋…＋n2＝等． ?變式遷移 3．已知數列{an}滿足an＋1＝an＋n2，且a1＝1，求{an}的通項公式． 解析：∵an＋1＝an＋n2，∴an＋1－an＝n2. ∴疊加即得 an－a1＝12＋22＋…＋(n－1)2＝， ∴an＝n(n－1)(2n－1)＋1(n∈N*)． 四、疊乘法 例4　在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求數列{an}的通項公式an. 分析：由an＋1＝an?＝知，已知條件屬于＝f(n)型遞推公式，所以用疊乘法求出an. 解析：由a1＝2，an＋1＝an，∴＝. 取n＝1，2，3，…，n－1得 ＝，＝，＝，…

10、， ＝，＝. 把上述各式兩邊分別相乘，得： ×××…××＝×××…××， ∴＝.∴an＝a1， 即an＝n(n＋1)． 當n＝1時，a1＝2適合上式． 故an＝n(n＋1)(n∈N*)． ?歸納拓展 如果數列{an}的遞推公式為＝f(n)型時，并且{f(n)}容易求前n項的積，這時可采用疊乘法．疊乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消情況． ?變式遷移 4．在數列{an}中，已知a1＝，an＋1＝2nan，求an. 解析：由an＋1＝2nan得＝2n， ∴＝21，＝22，…，＝2n－1.疊乘得＝2×22×…×2n－1＝2， ∴an＝2×＝2(n∈N*)． 五、構造轉化法

11、 例5　已知數列{an}中a1＝1，an＋1＝，則通項公式an＝________． 分析：通過觀察給出的遞推公式可以發(fā)現(xiàn)兩邊取倒數可以得到與的關系，也可以將式子乘開得到an＋1an＋2an＋1＝2an兩邊同時除以2anan＋1，轉化為等差數列求解． 解析：方法一　將an＋1＝兩邊取倒數，得 ＝＝＋，∴－＝. ∴數列是首項為＝1，公差為的等差數列． ∴＝1＋(n－1)×＝.∴an＝(n∈N*)． 方法二　(1)∵an＋1＝，∴an＋1(an＋2)＝2an. ∴an＋1·an＝2an－2an＋1. 兩邊同除以2an＋1·an得－＝. ∴數列是等差數列，首項為＝1，公差為. ∴＝＋

12、(n－1)×＝. ∴an＝(n∈N*)． 答案：(n∈N*) ?歸納拓展 根據已知條件構造一個與{an}有關的新的數列，通過新數列通項公式的求解求得{an}的通項公式．新的數列往往是等差數列或是等比數列．例如形如an＝pan－1＋q(p，q為常數)的形式，往往變?yōu)閍n－λ＝p(an－1－λ)，構成等比數列，求an－λ通項公式，再求an. ?變式遷移 5．已知數列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an－2，求an. 解析：由an＋1＝3an－2，設an＋1＋k＝3(an＋k)，其中k是待定系數，即an＋1＝3an＋2k與條件進行對比，得2k＝－2，∴k＝－1.故an＋1－1＝3(a

13、n－1)，∴{an－1}是2－1＝1為首項，公比為3的等比數列．∴an－1＝1×3n－1. ∴an＝3n－1＋1(n∈N*)． 題型2　數列的求和 一、公式法 　例6 (1)求1＋4＋7＋…＋(3n＋1)的值； (2)若數列{xn}滿足logaxn＋1＝1＋logaxn(n∈N*，a＞0，且a≠1)且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，求x101＋x102＋…＋x200的值． 分析：(1)中1，4，7，…，3n＋1是個等差數列，但容易這樣求解：Sn＝＝＋n.這是錯誤的，錯在沒搞清此數列有多少項．(2)可以作個變換logaxn＋1－logaxn＝loga＝1，推導出{xn}是等比

14、數列再求解． 解析：(1)∵數列中3×0＋1＝1， ∴第1項1是n＝0時得到的． ∴此數列是首項為1，末項為3n＋1，項數為n＋1的等差數列． ∴Sn＝＝＋＋1. (2)由logaxn＋1＝1＋logaxn得logaxn＋1－logaxn＝1， ∴l(xiāng)oga＝1. ∴＝a. ∴數列{xn}是公比為a的等比數列． 由等比數列的性質得： x101＋x102＋…＋x200＝(x1＋x2＋…＋x100)a100＝100×a100. ?歸納拓展 數列求和常用的公式有： 等差數列：Sn＝＝na1＋d； 等比數列：Sn＝ ＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)； 2＝12＋22＋3

15、2＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． ?變式遷移 6．設{an}為等比數列，{bn}為等差數列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1，1，2，…，求{cn}的前10項之和． 解析：設{an}的首項為a，公比為q，{bn}首項為b，公差為d，b1＝0，由c1＝a1＋b1＝1，知a1＝1. c2＝a2＋b2＝q＋d＝1， c3＝a3＋b3＝q2＋2d＝2， 解得q＝2，d＝－1，∴an＝2n－1(n∈N*)，bn＝1－n(n∈N*)． ∴cn＝2n－1＋(1－n)(n∈N*)． ∴{cn}前10項和為a1＋a2＋…＋a10＋(b1＋b2＋…＋b10)＝＋＝978. 二

16、、分組求和法 例7 求和：＋＋…＋. 分析：此數列的通項公式是an＝＝x2n＋2＋，而數列{x2n}，是等比數列，2是常數，故采用分組求和法． 解析：當x≠±1時， Sn＝＋＋…＋ ＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋＋2n ＝＋＋2n ＝＋2n. 當x＝±1時，Sn＝4n. 綜上，Sn＝ ?歸納拓展 將數列的每一項拆成多項，然后重新分組，將一般數列求和問題轉化為特殊數列的求和問題，運用的是化歸的數學思想，通項變形是這種方法的關鍵． ?變式遷移 7．已知數列{an}的通項公式為an＝n(n＋1)，求{an}的前n項和Sn. 解析：an＝n(n＋1)＝n＋n2

17、(n∈N*)， ∴Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋22＋32＋…＋n2)＝＋＝. 三、裂項相消法 例8　求數列＋＋＋＋…＋的前n項和． 分析：通項an＝＝＝，所以可以使用裂項相消法． 解析：∵an＝＝＝， ∴Sn＝＋＋＋＋…＋＋ 　 ＝＋ ?。? ＝ ＝－－. ?歸納拓展 裂項相消求和就是將數列的每一項拆成二項或多項．使數列中的項出現(xiàn)有規(guī)律的抵消項，從而達到求和的目的． 常見的拆項公式有： (1)＝－； (2)＝； (3)＝； (4)＝(－)； (5)an＝Sn－Sn－1(n≥2)． ?變式遷移 8．已知數列{an}的通項公

18、式為an＝，求{an}的前n項和Sn. 解析：∵＝＝－， ∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝. 四、錯位相減法 例9　求數列的前n項和Sn. 分析：此數列非等差數列也非等比數列，其通項公式an＝可以認為是一個等差數列bn＝n與一個等比數列cn＝相乘得到的，可以用乘公比錯位相減法來求解． 解析：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，① Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)·＋n·，② ①－②得：Sn＝＋＋＋…＋－n· ＝－n· ＝1－－n·， ∴Sn＝2－－. ?歸納拓展 若數列{an}是等差數列，數列{bn}是等比數列，由這兩個數列的對應

19、項乘積組成的新數列為{anbn}，當求該數列前n項和時，常常采用將{anbn}的各項乘以公比，并向后錯一項與{anbn}的同項對應相減，即可轉化為特殊數列的求和，這種求和的方法稱為錯位相減法． ?變式遷移 9．求和：Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n. 解析：∵Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n－1＋(3n－2)×2n，① 2Sn＝1×22＋4×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n＋(3n－2)×2n＋1，② ∴①－②得 －Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－ 　2)×2n＋1 ＝3(2＋22＋…＋

20、2n)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3(2n＋1－2)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3×2n＋1－6－3n×2n＋1＋2n＋2－4 ＝2n＋2＋3(1－n)×2n＋1－10. ∴Sn＝3(n－1)×2n＋1－2n＋2＋10. 五、倒序相加法求和 　例10 設f(x)＝，利用教科書上推導數列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________． 分析：若直接求解則相當麻煩，考慮f(x)＝的特點及f(－5)，f(6)；f(－4)，f(5)；…的特點，f(x)與f(1－x)是否有某種特別的聯(lián)系，如果有則可以用求等

21、差數列前n項和公式的方法解答此題． 解析：∵f(x)＝， ∴f(1－x)＝＝＝. ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝. 設S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，倒過來，則有 S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)， ∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]＝6. ∴S＝3. 答案：3 ?歸納拓展 此題運用了倒序相加法求得所給函數值的和，由此可以看出，熟練掌握重要的定理、公式的推導過程是非常重要的，它有助于同學們理解各種解題方法，強化思維過程的訓練．當數列{an}滿足ak＋an－

22、k＝常數時，可用倒序相加法求數列{an}的前n項和． ?變式遷移 10．設f(x)＝，求和S＝f(2 014)＋f(2 013)＋f(2 012)＋…＋f(1)＋f＋f＋…＋f＋f. 解析：∵f(x)＝， ∴f＝＝. ∴f(x)＋f＝1. S＝f(2 014)＋f(2 013)＋…＋f(1)＋f＋…＋f， 又S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)， 兩式相加得2S＝2 014＋2 013，∴S＝. 題型3　數列應用題 一、與等差數列有關的實際應用題 例11　有30根水泥電線桿，要運往1 000米遠的地方安裝，在1 000米處放一根，以后每隔50米放一根，

23、一輛汽車每次只能運三根，如果用一輛汽車完成這項任務(完成任務回到原處)，那么這輛汽車的行程共為多少千米？ 分析：讀懂題意，將實際問題轉化為等差數列，關鍵要找準首項、公差，弄清an還是Sn. 解析：如下圖所示，假定30根水泥電線桿存放在M處，則a1＝MA＝1 000， a2＝MB＝1 050， a3＝MC＝1 100， a6＝a3＋50×3＝1 250， … a30＝a3＋150×9. 由于一輛汽車每次只能裝3根，故每運一次只能到a3，a6，a9，…，a30，這些地方，這樣組成公差為150，首項為1 100的等差數列，令汽車的行程為S，則 S＝2(a3＋a6＋…＋a30)

24、 ＝2(a3＋a3＋150×1＋…＋a3＋150×9) ＝2＝35.5(千米)， 即這輛汽車的行程為35.5千米． ?歸納拓展 對于與等差數列有關的應用題，要善于發(fā)現(xiàn)“等差”的信息，如“每一年比上一年多(少)”“一個比一個多(少)”等，此時可化歸為等差數列，明確已知a1，an，n，d，Sn中的哪幾個量，求哪幾個量，選擇哪一個公式． ?變式遷移 11．有一種零存整取的儲蓄項目，它是每月某日存入一筆相同金額，這是零存，到一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取，它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金額×. (1)試解釋這個本利和公式． (2)若每月初存入100元，月利率為

25、5.1‰，則到第12個月底的本利和是多少？ (3)若每月初存入一筆金額，月利率是5.1‰，希望到第12個月底取得本利和2 000元，那么每月初應存入多少錢？ 解析：(1)設每期存入金額為A，每期利率為p，存的期數為n，則各期利率之和為Ap＋2Ap＋3Ap＋…＋nAp＝n(n＋1)Ap，連同本金可得本利和nA＋n(n＋1)Ap＝A. (2)當A＝100，p＝5.1‰，n＝12時，本利和＝100×＝1 239.78(元)． (3)將(1)中公式變形，得A＝＝≈161.32(元)， 即每月初應存入161.32元． 二、與等差、等比數列有關的綜合應用題 　例12 某工廠三年的生產計劃中

26、，從第二年起，每一年比上一年增長的產值都相同，三年的總產值為300萬元，如果第一年、第二年、第三年分別比原計劃的年產值多10萬元、10萬元、11萬元，那么每一年比上一年的產值增長的百分數都相同，求原計劃中每年的產值． 分析：將實際問題轉化為數列，弄清哪部分為等差數列或等比數列，結合等差、等比數列性質求解． 解析：由題意得原計劃三年中每年的產值組成等差數列，設為a－d，a，a＋d(d＞0)， 則有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300， 解得a＝100. 又由題意得(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11組成等比數列， ∴(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋11]．

27、將a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)， ∴d2＋d－110＝0，解得d＝10，或d＝－11(舍)． ∴原計劃三年中每年的產值分別為90萬元、100萬元、110萬元． ?歸納拓展 讀懂題意，將實際問題轉化為等比數列問題，找準首項，公比(差)，弄清求什么．混合型應用題常有兩種解法：一是歸納法，歸納出前n次(項)，尋找規(guī)律，再寫出前n次(項)的通項(前n項和)，此時要注意下標或指數的規(guī)律．二是逆推法，尋找前后兩項的逆推關系，再從逆推關系求an，Sn，此時應注意第(n－1)次變到第n次的變化過程． ?變式遷移 12．某地房價從2004年的1 000元/m2增加到十年后xx年的5 000元/m2，問平均每年增長百分之幾？(注意：當x∈(0，0.2)時，ln(x＋1)≈x，取lg 2＝0.3，ln 10＝2.3) 解析：設年增長率為x，則每年的房價依次排列組成首項為1 000，公比為(1＋x)的等比數列．由題意可得1 000×(1＋x)10＝5 000，即(1＋x)10＝5，取自然對數有10ln(1＋x)＝ln 5＝ln 10·lg 5＝2.3×(1－lg 2)＝1.61，再利用ln(x＋1)≈x，可得x≈≈0.16＝16%. 故每年約增長16%.