2022年高三數(shù)學(xué)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎(chǔ)知識和基本技能為載體，以能力測試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識的同時，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：集合、不等式、復(fù)數(shù)、向量、三視圖、導(dǎo)數(shù)、簡單的線性規(guī)劃、直線與圓、圓錐曲線、立體幾何、數(shù)列、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、命題、抽樣方法、概率等；考查學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，是份較好的試卷. 選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

2、符合題目要求的。) 【題文】1.若集合 A B C D 【知識點(diǎn)】集合的交集A1 【答案解析】B解析：因?yàn)锽={x▏x＞1或x＜﹣1}，所以A∩B=,則選B. 【思路點(diǎn)撥】. 【題文】2.已知復(fù)數(shù) （其中i是虛數(shù)單位），則 = A. 0 B. C. －2i D. 2i 【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念L4 【答案解析】C解析：因?yàn)椋赃xC. 【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是?？贾R點(diǎn)之一，熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵. 【題文】3.已知命題p: 則 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】全稱命題與特稱命題A3 【答案

3、解析】C解析：由全稱命題的否定格式得. 【思路點(diǎn)撥】全稱命題的否定一般按如下格式得到：全稱變特稱，結(jié)論變否定. 【題文】4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A.6 B. C.3 D. 【知識點(diǎn)】三視圖G2 【答案解析】D解析：由三視圖可知該幾何體為一個倒放的正三棱柱，所以其體積為，則選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是由三視圖正確分析幾何體的特征. 【題文】5.將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點(diǎn)向右平行移動 個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是 A. B. C. D.

4、 【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖像變換C4 【答案解析】C解析：將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點(diǎn)向右平行移動 個單位長度，得函數(shù)解析式為，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是，所以選C. 【思路點(diǎn)撥】掌握圖像變換對應(yīng)的函數(shù)的變量x的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵. 【題文】6.一直兩個非零向量 ，其中 為 的夾角，若 則 的值為 A.－8 B.－6 C.8 D.6 【知識點(diǎn)】向量的運(yùn)算F3 【答案解析】D解析：因?yàn)?，由定義得，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)新定義的向量的運(yùn)算，分別求出兩個向量的模及夾角的正弦，即可解答. 【題文】7.已知拋物線

5、的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 的一個焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】拋物線、雙曲線的性質(zhì)H6 H7 【答案解析】B解析：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，所以，得，所以雙曲線的離心率為，則選B. 【思路點(diǎn)撥】能熟練的由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其準(zhǔn)線，進(jìn)而得出雙曲線的離心率，是解題的關(guān)鍵.. 【題文】8.若 為等差數(shù)列， 是其前n項(xiàng)和，且 ，則 的值為 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)D2 【答案解析】B解析：因?yàn)?，所以，則選B. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到等差數(shù)列問題，可先從項(xiàng)數(shù)觀察有無性質(zhì)特征，有性質(zhì)的用性質(zhì)解答. 【題文】9.若x,y

6、滿足約束條件 則z=4x+3y的最小值為 A.20 B.22 C. 24 D.28 【知識點(diǎn)】簡單的線性規(guī)劃E5 【答案解析】B解析：不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D三角形ABC表示的區(qū)域，顯然動直線z=4x+3y經(jīng)過點(diǎn)A時目標(biāo)函數(shù)得最小值，而A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)，所以所求的最小值為4×4+3×2=22,則選B. . 【思路點(diǎn)撥】由線性約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，通常利用其幾何意義數(shù)形結(jié)合解答. 【題文】10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為63，則判斷框中應(yīng)填 A． B. C. D. 【知識點(diǎn)】程序框圖L1 【答案解析】D解析：依次執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)

7、，第一次執(zhí)行S=3，a=5，n=2；第二次執(zhí)行S=8，a=7，n=3；第三次執(zhí)行S=15，a=9，n=4；第四次執(zhí)行S=24，a=11，n=5；第五次執(zhí)行S=35，a=13，n=6；第六次執(zhí)行S=48，a=15，n=7；第七次執(zhí)行S=63，a=17；因?yàn)檩敵鯯=63,所以判斷框應(yīng)為，則選D. 【思路點(diǎn)撥】對于循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，可依次執(zhí)行循環(huán)體直到滿足條件跳出循環(huán)體為止. 【題文】11.直線y=kx+3與圓 相交于M,N兩點(diǎn)。若 ，則k的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系H4 【答案解析】A解析：當(dāng)時圓心到直線的距離為，若，則圓心到直線的距離小于等于1，

8、即 解得，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到直線與圓的位置關(guān)系問題，通常結(jié)合圓心到直線的距離進(jìn)行解答. 【題文】12.不等式 的解集為P,且 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12 【答案解析】A解析：由題意知不等式在區(qū)間[0,2]上恒成立，當(dāng)x=0時，不等式顯然成立，當(dāng)x≠0時，只需恒成立，令，顯然函數(shù)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=1時得最小值 e﹣1，則a＜e﹣1，所以選A. 【思路點(diǎn)撥】遇到不等式恒成立問題，一般考慮通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答. 二．填空題：本大題共4小題，每

9、小題5分。 【題文】13.甲、乙兩名同學(xué)各自等可能地從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四個興趣小組中選擇一個小組參加活動，則他們選擇相同小組的概率為 。 【知識點(diǎn)】古典概型K2 【答案解析】 解析：甲、乙兩名同學(xué)各自等可能地從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四個興趣小組中選擇一個小組參加活動，一共有4×4=16種情況，他們選擇相同小組的種數(shù)有4種，所以所求的概率為. 【思路點(diǎn)撥】求概率問題應(yīng)先分清是古典概型還是幾何概型，其顯著特征是總體的個數(shù)是有限還是無限，再利用相應(yīng)計算公式解答. 【題文】14.設(shè)函數(shù) ，若存在這樣的實(shí)數(shù) ，對任意的 ，都有 成立，則 的最小值為 。 【知

10、識點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像C4 【答案解析】2解析：若存在這樣的實(shí)數(shù) ，對任意的 ，都有 成立，則這樣的實(shí)數(shù)分別為最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，所以 的最小值為半個周期，而三角函數(shù)的最小正周期為，所以所求的最小值為2. 【思路點(diǎn)撥】理解條件對任意的 ，都有 成立的內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵. 【題文】15.奇函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，f(1)=2,則f(3)= 。 【知識點(diǎn)】奇函數(shù)B4 【答案解析】﹣2解析：因?yàn)槠婧瘮?shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，所以 f(3)= f(-1)=- f(1)= ﹣2. 【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的對稱性及奇函數(shù)的性質(zhì)，把所求的函數(shù)值向已知的函

11、數(shù)值轉(zhuǎn)化求值. 【題文】16.定義：如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間 上存在 ，滿足 ，則稱函數(shù)y=f(x)是 上的“平均值函數(shù)”， 是它的一個均值點(diǎn)。例如 是 上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)。現(xiàn)有函數(shù) 是 上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。 【知識點(diǎn)】函數(shù)與方程B9 【答案解析】(0，2)解析：因?yàn)?，若函?shù) 是 上的平均值函數(shù)，則在(﹣1,1)上方程有實(shí)根，即m=x+1有實(shí)根，因?yàn)閤+1∈(0，2)，所以實(shí)數(shù)m的范圍是(0，2). 【思路點(diǎn)撥】對于新定義題，關(guān)鍵是讀懂題意，本題最終轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)根問題，再利用方程有實(shí)根的解法：分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，即

12、可解答. 三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 【題文】17.(本小題滿分10分)在 ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，已知a= , . (Ⅰ)若b= ，求角C的大??；（Ⅱ）若c=2,求邊b的長。 【知識點(diǎn)】解三角形C8 【答案解析】(Ⅰ) （Ⅱ）4 解析：（I）由正弦定理 ，得 ，解得 . . ………………………2分 由于 為三角形內(nèi)角， ，則 ， ………………4分 所以， . . . ………………………5分 （II）依題意， ，即，整理得 . …………7分 又 ，所以.

13、 ………………………10分 另解： 由于 ,所以，解得 , ……………7分 由于 ，所以， . . . . ………………………8分 由 ，所以 . 由勾股定理 ，解得. . ………………………10分. 【思路點(diǎn)撥】解三角形中，恰當(dāng)?shù)倪x擇正弦定理或余弦定理對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵. 【題文】18. (本小題滿分12分)已知各項(xiàng)均為證書的數(shù)列 前n項(xiàng)和為 ，首項(xiàng)為 ，且 是 和 的等差中項(xiàng)。 (Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若 ，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 。 【知識點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式

14、、數(shù)列求和D3 D4 【答案解析】(Ⅰ) （Ⅱ） 解析：（Ⅰ）由題意知 ， ……………………………1分 當(dāng)時，； ……………………………2分 當(dāng)時，， 兩式相減得，整理得：， …………………5分 ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. ， ………………………………6分 （Ⅱ）由得， ………………………………9分 所以，， 所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， . ………………………………12分. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到由數(shù)列

15、的項(xiàng)與前n項(xiàng)和構(gòu)成的遞推公式，經(jīng)常先利用項(xiàng)與和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)的遞推公式或前n項(xiàng)和的遞推公式，再進(jìn)行解答. 【題文】19. (本小題滿分12分)如圖：四棱柱 - 中，側(cè)棱垂直與底面， ，E為CD上一點(diǎn)，DE=1,EC=3, (Ⅰ)證明： ； （Ⅱ）求點(diǎn) 到平面 的距離。 【知識點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，點(diǎn)到平面的距離G5 G11 【答案解析】(Ⅰ)略 （Ⅱ） 解析：（I） 證明：過作的垂線交于，則 在中，，在中，. 在中，因?yàn)?，所? 由 平面 ，得 ，所以 平面 . …………………… 6分 （II）三棱錐 的體積 ， 在中， 同理，

16、因此. -------------------------- 10分 設(shè)點(diǎn) 到平面的距離為 ，則三棱錐的體積 ,從而--------------------------12分. 【思路點(diǎn)撥】證明直線與平面垂直一般結(jié)合其判定定理通過線線垂直得到線面垂直；求點(diǎn)到面的距離可直接作出其距離進(jìn)行解答，若直接計算不方便時可用體積轉(zhuǎn)化法，平行線轉(zhuǎn)移法等進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值. 【題文】20. (本小題滿分12分)已知某單位由50名職工，將全體職工隨機(jī)按1-50編號，并且按編號順序平均分成10組，先要從中抽取10名職工，各組內(nèi)抽取的編號依次增加5進(jìn)行系統(tǒng)抽樣。 (Ⅰ)若第五組抽出的號碼為22，寫出所有被抽出職

17、工的號碼； （Ⅱ）分別統(tǒng)計這10名職工的體重（單位：公斤），獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求該樣本的平均數(shù)； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從體重不輕于73公斤（ 公斤）的職工中隨機(jī)抽取兩名職工，求被抽到的兩名職工的體重之和等于154公斤的概率。 【知識點(diǎn)】莖葉圖，系統(tǒng)抽樣、平均數(shù)、概率I2 I1 K2 【答案解析】(Ⅰ) 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47（Ⅱ）71（Ⅲ） 解析：（I）由題意，第5組抽出的號碼為22. 因?yàn)?＋5×(5－1)＝22，所以第1組抽出的號碼應(yīng)該為2，抽出的10名職工的號碼依次分別為：2,7,12,17,22,27,32,37,42,4

18、7. -------------------------- 4分 （II）這10名職工的平均體重為： ＝×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71 ------------------------ 7分 （III）從這10名職工中隨機(jī)抽取兩名體重不輕于73公斤的職工，共有10種不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，其中體重之和大于等于154公斤的有7種．故所求概率P＝. ------------------------

19、--12分. 【思路點(diǎn)撥】理解系統(tǒng)抽樣的方法即可由第五組抽出的號碼22，得到所有被抽出職工的號碼；計算概率時應(yīng)先確定是古典概型還是幾何概型，若為古典概型一般用列舉法得到總的個數(shù)和所求的事件的個數(shù)，再代入公式進(jìn)行計算. 【題文】21．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn) E為動點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為 。 (Ⅰ)求動點(diǎn)E的軌跡C的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F(1,0)的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M,N.若點(diǎn)P在y軸上，且 ，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍。 【知識點(diǎn)】曲線與方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系H8 H9 【答案解析】(Ⅰ) （Ⅱ） 解析：（I）設(shè)動

20、點(diǎn)的坐標(biāo)為,依題意可知, 整理得 , 所以動點(diǎn)的軌跡的方程為 ,………………4分 （II）當(dāng)直線的斜率不存在時,滿足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ； ………………………………5分 當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為. 將代入并整理得, . 設(shè),,則, 設(shè)的中點(diǎn)為,則,, 所以 . ……………………………8分 由題意可知, 又直線的垂直平分線的方程為. 令解得 ……………………………10分 當(dāng)時,因?yàn)?所以; 當(dāng)時,因?yàn)?所以 綜上所述,點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是 ……………………1

21、2分 . 【思路點(diǎn)撥】求軌跡方程的本質(zhì)就是求軌跡上任意一點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，可先尋求等量關(guān)系，再把等量關(guān)系坐標(biāo)化；一般直線與圓錐曲線綜合問題，通常先設(shè)方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理尋求參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解答. 【題文】22. (本小題滿分12分)已知函數(shù) ，且函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 ，若曲線 和 都過點(diǎn)A(0,2)，且在點(diǎn)A 處有相同的切線y=4x+2. (Ⅰ)求a,b,c,d的值； （Ⅱ）若 時， 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用B12 【答案解析】(Ⅰ) （Ⅱ） 解析：（I）由已知得， 而 故 ……………………………4分 （2）令， 則 因，則 令得 ………………………………6分 若，則，從而時；當(dāng)時即在 單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在的最小值 故當(dāng)時即恒成立。 ………………………8分 若，則，從而當(dāng)時，即在單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時即恒成立。 若，則，從而當(dāng)時，不可能恒成立。 …………………………11分 綜上：的取值范圍是 …………………………12分. 【思路點(diǎn)撥】理解曲線的切線斜率等于曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是解決曲線的切線問題的關(guān)鍵；對于不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答.