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1、2022年高中數(shù)學《向量的數(shù)量積》教案6 蘇教版必修4
【三維目標】:
一、知識與技能
1.通過物理中“功”等實例,理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理、幾何意義;
2.體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系;
3.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的共線及垂直的充要條件
3.掌握數(shù)量積的運算性質,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題;
4.體會類比的數(shù)學思想和方法,進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。
二、過程與方法
教材利用同學們熟悉的物理知識(“做功”)得到向量的數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義;從問題的探究和解決中感受什么
2、是向量的數(shù)量積;為了幫助學生理解和鞏固相應的知識,教材設置了例題,通過講解例題,培養(yǎng)學生邏輯思維能力.
三、情感、態(tài)度與價值觀
通過本節(jié)內容的學習,使同學們認識到向量的數(shù)量積與物理學的做功有著非常緊密的聯(lián)系;讓學生進一步領悟數(shù)形結合的思想;同時以較熟悉的物理背景去理解向量的數(shù)量積,有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神.
【教學重點與難點】:
重點:向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義;
難點:向量數(shù)量積的含義、數(shù)量積的運算性質;
【學法與教學用具】:
1. 學法:
(1)自主性學習+探究式學習法:
(2)反饋練習法:以練習來檢驗知識的應用情況,找出未掌握的
3、內容及其存在的差距.
2. 教學用具:多媒體、實物投影儀.
【授課類型】:新授課
【課時安排】:1課時
【教學思路】:
一、創(chuàng)設情景,揭示課題
【提出問題】:向量的運算有向量的加法、減法、數(shù)乘,那么向量與向量能否“相乘” 呢?
S
F
α
二、研探新知
1.平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
物理學中,物體所做的功的計算方法:
(其中是與的夾角)
2.向量夾角
已知兩個向量和,作=,=,則()叫做向量與的夾角。
當時,與同向;
當時,與反向;
當時,與的夾角是,我們說與垂直,記作.
3.向量數(shù)量積的定義:
已知兩個非零向量和,它們的夾角
4、為,則數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內積),記作,即.
【說明】:①實數(shù)與向量的積與向量數(shù)量積的本質區(qū)別:兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,不是向量,這個數(shù)量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關,符號由cosq的符號所決定;實數(shù)與向量的積是一個向量;
②兩個向量的數(shù)量積稱為內積,寫成;今后要學到兩個向量的外積×,而是兩個向量的數(shù)量的積,書寫時要嚴格區(qū)分。符號“· ”在向量運算中不是乘號,既不能省略,也不能用“×”代替;
③規(guī)定,零向量與任一向量的數(shù)量積是;
④在實數(shù)中,若10,且,則;但是在數(shù)量積中,若1,且=,不能推出=.因為其中cosq有可能為0;
⑤已知實數(shù)、、(),則.但是=·=;
5、
⑥在實數(shù)中,有,但是()· 1 ·(×)
顯然,這是因為左端是與共線的向量,而右端是與共線的向量,而一般與不共線.
4.數(shù)量積的性質:
設、設、都是非零向量,是與的夾角,則
①;(||||≠0)
②當與同向時,;當與反向時,;
特別地:或;
③;
④;
⑤若是與方向相同的單位向量,則.
C
5.數(shù)量積的幾何意義
(1)投影的概念:
如圖,=,過點作垂直于直線,垂足為,則.
我們把(││cos)叫做向量在方向上(在方向上)的投影,
當為銳角時射影為正值;
6、 當為鈍角時射影為負值;
當為直角時射影為0;
當 = 0°時射影為;
當= 180°時射影為
(2)提出問題:數(shù)量積的幾何意義是什么?
期望學生回答:數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||的乘積。
三、質疑答辯,排難解惑,發(fā)展思維
例1.判斷正誤,并簡要說明理由
①·=; ②·=; ③-=; ④=||||;
⑤若,則對任一非零,有; ⑥=0,則與至少有一個為;
⑦對任意向量、、都有()·=·(×);
⑧與是兩個單位向量,則=
例2(教材例1
7、)已知向量與向量的夾角為,||=2,||=3,分別在下列條件下求:(1);(2)∥;(3)⊥
例3 已知正的邊長為,設=,=,=,求.
解:如圖,與、與、與夾角為,
∴原式
.
變式1: 已知,,,且,求.
解:作=,=,∵,∴=,
∵且,
∴中,, ∴,∴,,
所以,.
四、鞏固深化,反饋矯正
1.當與同向時,=___,當與反向時,=___,特別地,·,||
2.⊥,;
3.已知||=10,||=12,且(3)·(),則與的夾角是_____
4.已知||=2,||=,與的夾角為,要使-與垂直,則
5.已知
8、||=4,||=5,+,求(1);(2)(2-)·(+3)
6.已知||=4,||=3,(1)若與夾角為,求(+2)·(-3);
(2)若(2-3)·(2+)=61,求與的夾角
7.已知||=,||=3,和的夾角為,求當向量+與+的夾角為銳角時的取值范圍
8.已知+,2+,且||=||=1, ⊥,
(1)求,;(2)若與的夾角為,求值。
五、歸納整理,整體認識
1.有關概念:向量的夾角、射影、向量的數(shù)量積.
2.向量數(shù)量積的幾何意義和物理意義.
3.向量數(shù)量積的六條性質.
六、承上啟下,留下懸念
1.填空
①已知,,與的夾角,則;
②已知,在上的投影是,則 8 ;
③已知,,,則與的夾角.
④若非零向量與滿足,則 0 .
2.預習向量數(shù)量積的運算規(guī)律
七、板書設計(略)
八、課后記:
概念辨析:正確理解向量夾角定義
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