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1、2022年高考數(shù)學二輪專題復習 提能增分篇 突破三 大題沖關-解答題的應對技巧 保分題沖關系列3 文
1．(xx·四川內(nèi)江四模)已知向量a＝，b＝.
(1)當a∥b時，求cos2x－sin 2x的值；
(2)設函數(shù)f(x)＝2·b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝，求 f(x)＋4cos的取值范圍．
解：(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－.
∴cos2x－sin 2x＝＝＝.
(2)∵f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋，
由正弦定理得，＝可得sin A＝，
所以A＝.
f(x)＋4cos＝sin
2、－.
∵x∈，∴2x＋∈，
所以－1≤f(x)＋4cos≤－.
2．(xx·內(nèi)蒙古呼倫貝爾二模)如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為4，E是BC的中點，點F在側(cè)棱CC1上，且CC1＝4CF.
(1)求證：EF⊥A1C；
(2)求點C到平面AEF的距離．
(1)證明：過點E作EN⊥AC于N，連接EF.
連接NF，AC1，由直棱柱的性質(zhì)知，
底面ABC⊥側(cè)面A1C，所以EN⊥側(cè)面A1C，
所以NF⊥A1C，
在Rt△CNE中，CN＝CEcos 60°＝×4×＝1，
又∵CC1＝4CF，∴＝，
∴NF∥AC1，
又AC1⊥A1C，故NF⊥AC1，A1C
3、⊥平面NEF，
所以 EF⊥A1C.
(2)解：設點C到平面AEF的距離為d，
則V三棱錐C－AEF＝V三棱錐F －AEC，
即S△AEF·d＝·S△AEC·CF，
所以d＝.
3.(xx·遼寧大連二模)某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，結(jié)果如下表：
甲廠：
分組
[29.86，
29．90)
[29.90，
29．94)
[29.94，
29．98)
[29.98，
30．02)
[30.02，
30．06)
[30.06，
3
4、0．10)
[30.10，
30．14)
頻數(shù)
15
30
125
198
77
35
20
分組
[29.86，
29．90)
[29.90，
29．94)
[29.94，
29．98)
[29.98，
30．02)
[30.02，
30．06)
[30.06，
30．10)
[30.10，
30．14)
頻數(shù)
40
70
79
162
59
55
35
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99.9%的把握認為“生產(chǎn)的零件是否為優(yōu)質(zhì)品與不同的分廠有關”；
甲 廠
乙 廠
合計
優(yōu)質(zhì)品
5、非優(yōu)質(zhì)品
合計
附：k2＝
P(K2≥k),0.100,0.050,0.025,0.010,0.001
k, 2.706,3.841,5.024,6.635,10.828(2)現(xiàn)用分層抽樣方法(按優(yōu)質(zhì)品和非優(yōu)質(zhì)品分二層)從乙廠抽取五件零件，求從這五件零件中任意取出兩件，至少有一件優(yōu)質(zhì)品的概率．
解： (1)列聯(lián)表如下：
甲 廠
乙 廠
合計
優(yōu)質(zhì)品
400
300
700
非優(yōu)質(zhì)品
100
200
300
合計
500
500
1 000
χ2＝
＝
≈47.619>10.828.
所以有99.9%的把握認為“生產(chǎn)
6、的零件是否為優(yōu)質(zhì)品與不同的分廠有關”．
(2)乙廠抽取3件優(yōu)質(zhì)品，2件非優(yōu)質(zhì)品，優(yōu)質(zhì)品記為a，b，c，非優(yōu)質(zhì)品記為1,2.
從中任意抽取2件，抽取的情況構成的集合為
{ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2,12}，
至少有一件優(yōu)質(zhì)品的情況為{ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2}，所以從這五件零件中任意取出兩件，至少有一件優(yōu)質(zhì)品的概率為.
4．(xx·浙江溫州二測)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．
(1)設bn＝an＋1＋an(n∈N*)，求證：{bn}是等比數(shù)列；
(2)①求數(shù)列{an
7、}的通項公式；
②求證：對于任意n∈N*都有＋＋…＋＋＜成立．
解：(1)由已知得an＋1＋an＝3(an＋an－1)，(n≥2，n∈N*)，
則bn＋1＝3bn，又b1＝3，則{bn}是以3為首項、3為公比的等比數(shù)列．
(2)①解法一：由(1)得bn＝3n，即an＋1＋an＝3n，則an＋an－1＝3n－1，(n≥2)，
相減得an＋1－an－1＝2×3n－1，(n≥2)，
則a3－a1＝2×31，a5－a3＝2×33，…，a2n－1－a2n－3＝2×32n－3，
相加得a2n－1－a1＝，則a2n－1＝(n≥2)，
當n＝1時，上式也成立，
由a2n＋a2n－1＝32n－
8、1，得a2n＝，
故an＝.
解法二：由an＋1＋an＝3n，得
(－1)n＋1an＋1－(－1)nan＝－(－3)n，
則(－1)nan－(－1)n－1an－1＝－(－3)n－1，…，(－1)2a2－(－1)1a1＝－(－3)1，
相加得an＝.
解法三：由an＋1＋an＝3n，得＋·＝，
設cn＝，則cn＋1＋cn＝，可得
cn＋1－＝－，
又c1＝，故cn－＝·n－1，
則an＝.
②證明：證法一：易證≤，
則＋＋…＋＝＋＋…＋
<1＋＋…＋＝<，
同理可得≤.
則＋＋…＋＝＋＋…＋
<＋＋…＋＝<，
故＋＋…＋＋<＋＝.
證法二：＋＝＋＝
<＝＋.
故＋＋……＋＋<1＋＋＋＋……＋＋
＝＋
<＋＝＝<＝.
證法三：＋＋…＋
＝＋＋…＋
<1＋＋＋…＋
＝1＋<，
易證<＝，
則＋＋…＋＝＋＋…＋
<＋＋＋…＋
＝＋<，
故＋＋…＋＋<＋＝<＝.
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