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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一章《算法案例》教案1 新人教A版必修3
(1)教學(xué)目標
(a)知識與技能
1.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊含的數(shù)學(xué)原理,并能根據(jù)這些原理進行算法分析。
2.基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識設(shè)計完整的程序框圖并寫出算法程序。
(b)過程與方法
在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對比我們常見的約分求公因式的方法,比較它們在算法上的區(qū)別,并從程序的學(xué)習(xí)中體會數(shù)學(xué)的嚴謹,領(lǐng)會數(shù)學(xué)算法計算機處理的結(jié)合方式,初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計算機語言的一般步驟。
(c)情態(tài)與價值
1.通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例,體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻。
2、
2.在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力,在利用算法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動手實踐的能力。
(2)教學(xué)重難點
重點:理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法。
難點:把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言。
(3)學(xué)法與教學(xué)用具
學(xué)法:在理解最大公約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學(xué)規(guī)律,并能模仿已經(jīng)學(xué)過的程序框圖與算法語句設(shè)計出輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序。
教學(xué)用具:電腦,計算器,圖形計算器
(4)教學(xué)設(shè)想
(一)創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題
1.教師首先提出問題:在初中,我們已經(jīng)學(xué)過求最大
3、公約數(shù)的知識,你能求出18與30的公約數(shù)嗎?
2.接著教師進一步提出問題,我們都是利用找公約數(shù)的方法來求最大公約數(shù),如果公約數(shù)比較大而且根據(jù)我們的觀察又不能得到一些公約數(shù),我們又應(yīng)該怎樣求它們的最大公約數(shù)?比如求8251與6105的最大公約數(shù)?這就是我們這一堂課所要探討的內(nèi)容。
(二)研探新知
1.輾轉(zhuǎn)相除法
例1 求兩個正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù)。
(分析:8251與6105兩數(shù)都比較大,而且沒有明顯的公約數(shù),如能把它們都變小一點,根據(jù)已有的知識即可求出最大公約數(shù))
解:8251=6105×1+2146
顯然8251的最大公約數(shù)也必是2146的約數(shù),同樣6105與214
4、6的公約數(shù)也必是8251的約數(shù),所以8251與6105的最大公約數(shù)也是6105與2146的最大公約數(shù)。
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
則37為8251與6105的最大公約數(shù)。
以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法,它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的。利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下:
第一步:用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商q0和一個余數(shù)r0;
第二步:若r0=0,則n為m,n的最大公約數(shù);若r0≠0,則用除數(shù)n除以余數(shù)r0
5、得到一個商q1和一個余數(shù)r1;
第三步:若r1=0,則r1為m,n的最大公約數(shù);若r1≠0,則用除數(shù)r0除以余數(shù)r1得到一個商q2和一個余數(shù)r2;
……
依次計算直至rn=0,此時所得到的rn-1即為所求的最大公約數(shù)。
練習(xí):利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大公約數(shù)(答案:53)
2.更相減損術(shù)
我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法,就是更相減損術(shù)。
更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下:可半者半之,不可半者,副置分母·子之數(shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之。
翻譯出來為:
第一步:任意給出兩個正數(shù);判斷它們是否都是偶數(shù)。若是,用2約簡;若不是,執(zhí)行第二步
6、。
第二步:以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把較小的數(shù)與所得的差比較,并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。
例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).
解:由于63不是偶數(shù),把98和63以大數(shù)減小數(shù),并輾轉(zhuǎn)相減,即:98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以,98與63的最大公約數(shù)是7。
練習(xí):用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。(答案:12)
3.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別
(1)都是求最大公約數(shù)的方法,計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主,更相減損術(shù)
7、以減法為主,計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少,特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。
(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來看,輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到,而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到
4. 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)計算的程序框圖及程序
利用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的計算算法,我們可以設(shè)計出程序框圖以及BSAIC程序來在計算機上實現(xiàn)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù),下面由同學(xué)們設(shè)計相應(yīng)框圖并相互之間檢查框圖與程序的正確性,并在計算機上驗證自己的結(jié)果。
(1)輾轉(zhuǎn)相除法的程序框圖及程序
程序框圖:
程序:
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
8、
IF m0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
5.課堂練習(xí)
一.用輾轉(zhuǎn)相除法求下列各組數(shù)的最大公約數(shù),并在自己編寫的BASIC程序中驗證。
(1)225;135 (2)98;196 (3)72;168 (4)153;119
二.思考:用求質(zhì)因數(shù)的方法可否求上述4組數(shù)的最大公約數(shù)?可否利用求質(zhì)因數(shù)的算法設(shè)計出程序框圖及程序?若能,在電腦上測試自己的程序;若不能說明無法實現(xiàn)的理由。
三。思考:利用輾轉(zhuǎn)相除法是否可以求兩數(shù)的最大公倍數(shù)?試設(shè)計程序框圖并轉(zhuǎn)換成程序在BASIC中實現(xiàn)。
6.小結(jié):
輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的計算方法及完整算法程序的編寫。
(5)評價設(shè)計
作業(yè):P38 A(1)B(2)
補充:設(shè)計更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的程序框圖