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1、2022年高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題1 高考客觀題常考知識 第4講 算法、推理及創(chuàng)新性問題 理
以命題的推廣給出的歸納、類比創(chuàng)新問題
【教師備用】 (xx福建省泉州五校高三聯(lián)考)雙曲線-=1
(a>0,b>0)的兩個焦點為F1,F2,若P為其上一點,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為(1,3].若將其中的條件“|PF1|=2|PF2|”更換為“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,試經(jīng)過合情推理,得出雙曲線離心率的取值范圍是 .?
解析:若|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為(1,3],區(qū)間前端點為1,后端點為3==.若將其中的條件“|PF1
2、|=2|PF2|”更換為“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,經(jīng)過合情推理,得出雙曲線離心率的取值范圍是（1,].
答案:(1,]
1.當x∈R,|x|<1時,有如下表達式:
1+x+x2+…+xn+…=.
兩邊同時積分得:1dx+xdx+x2dx+…+xndx+…=dx,
從而得到如下等式:
1×+×()2+×()3+…+×（）n+1+…=ln 2.
請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法,計算:
×+×（）2+×()3+…+×()n+1= .?
解析:設(shè)f(x)=x+x2+x3+…+xn+1,
所以f′(x)=+x+x2+…+xn=(1+x)n,
所以f()
3、=(1+x)ndx
=·(1+x)n+1
=(1+)n+1-(1+0)n+1
=[()n+1-1].
即×+×()2+×()3+…+×()n+1=[()n+1-1].
答案:[()n+1-1]
以新定義給出的創(chuàng)新問題
2.(xx安徽省“江淮十校協(xié)作體”第一次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若?x∈D,?y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,則稱函數(shù)f(x)為“美麗函數(shù)”.下列所給出的五個函數(shù):
①y=x2;②y=;③f(x)=ln(2x+3);④y=2x+3;
⑤y=2sin x-1.
其中是“美麗函數(shù)”的序號有 .?
解析:由題意知“美麗函數(shù)”即為值域關(guān)于原
4、點對稱的函數(shù),容易判斷僅有②③④符合題意.
答案: ②③④
3.(xx安徽卷)若直線l與曲線C滿足下列兩個條件:
(ⅰ)直線l在點P(x0,y0)處與曲線C相切;(ⅱ)曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點P處“切過”曲線C.
下列命題正確的是 .(寫出所有正確命題的編號)?
①直線l:y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=x3
②直線l:x=-1在點P(-1,0)處“切過”曲線C:y=(x+1)2
③直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=sin x
④直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=tan x
⑤直線l:y=x-1在點
5、P(1,0)處“切過”曲線C:y=ln x
解析:①y=x3,y′=3x2,因此曲線C在點P(0,0)處的切線為y=0,結(jié)合函數(shù)y=x3的圖象知,滿足(ⅱ),故①正確.
②直線x=-1為曲線C:y=(x+1)2的對稱軸,不是切線,故②不正確.
③y=sin x,y′=(sin x)′=cos x,因此,直線l:y=x在點P(0,0)處與曲線C相切,結(jié)合圖象知滿足(ⅱ),故③正確.
④y=tan x,y′=(tan x)′=()′=,y′|x=0=1,曲線C在(0,0)處的切線為y=x,由正切函數(shù)圖象知滿足(ⅱ),故④正確.
⑤y=ln x,y′=(ln x)′=,故曲線C:y=ln
6、x在P(1,0)處的切線為y=x-1,但曲線y=ln x在直線y=x-1的同側(cè),故⑤不正確.
綜上知命題正確的是①③④.
答案:①③④
【教師備用】 (xx湖北卷)設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)>0.對任意a>0,b>0,若經(jīng)過點(a,f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當f(x)=1(x>0)時,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù).
(1)當f(x)= (x>0)時,Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);?
(2)當f(x)= (x>
7、0)時,Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù).?
(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)
解析:過點(a,f(a)),(b,-f(b))的直線的方程為y-f(a)=(x-a),令y=0得c=.
(1)令幾何平均數(shù)=?f(a)+f(b)=bf(a)+af(b),可取f(x)=(x>0);
(2)令調(diào)和平均數(shù)=?=,可取f(x)=x(x>0).
答案:(1) (2)x(或(1)k1 (2)k2x其中k1,k2為正常數(shù)均可)
程序框圖
4.(xx廣州市一模)一算法的程序框圖如圖,若輸出的y=,則輸入的x的值可能為( C )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)5
解析:該算法
8、的程序框圖是一條件結(jié)構(gòu),功能是已知分段函數(shù)y=的函數(shù)值求相應(yīng)的自變量x的值.當x>2時y=2x>4,若輸出的y=,則sin x=,可得x=1時符合.故選C.
【教師備用】 (xx天津卷)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出S的值為( B )
(A)-10 (B)6 (C)14 (D)18
解析:執(zhí)行程序:S=20,i=1,i=2,S=20-2=18;i=4,S=18-4=14;i=8,S=14-8=6,滿足i>5的條件,結(jié)束循環(huán),輸出S的值為6,故選B.
5.(xx山西省高三名校聯(lián)盟考試)利用如圖所示的程序框圖在平面直角坐標系上打印一系列點,則打印的點落在函數(shù)f(x)=x
9、2-x+2的圖象上的點的個數(shù)為( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:運行該程序,第一次打印點為(-3,6),不在拋物線y=x2-x+2上,x=-2,y=5,i=5,第二次打印點為(-2,5),不在拋物線y=x2-x+2上;x=-1,y=4,i=4,第三次打印點為(-1,4),在拋物線y=x2-x+2上;x=0,y=3,i=3,第四次打印點為(0,3),不在拋物線y=x2-x+2上;x=1,y=2,i=2,第五次打印點為(1,2),在拋物線y2=x2-x+2上;x=2,y=1,i=1,第六次打印點為(2,1),不在拋物線y=x2-x+2上;x=3,y=0,i=0,程序
10、停止運行,故打印的點落在拋物線y=x2-x+2上的點的個數(shù)為2.故選B.
6.(xx重慶卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出k的值為6,則判斷框內(nèi)可填入的條件是( C )
(A)s> (B)s>
(C)s> (D)s>
解析:執(zhí)行程序框圖依次得s=,k=8;
s=×=,k=7;
s=×=,k=6,
此時不滿足條件,結(jié)合選項知條件應(yīng)為s>.故選C.
一、選擇題
1.(xx湖南衡陽市五校聯(lián)考)對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d)規(guī)定(a,b)=(c,d)當且僅當a=c,b=d;運算“?”為:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad),運算“⊕”為:(a,
11、b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1,2)⊕(p,q)等于( A )
(A)(2,0) (B)(4,0) (C)(0,2) (D)(0,-4)
解析:由(1,2)?(p,q)=(5,0)得?
所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0),故選A.
【教師備用】 (xx湖南卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖.如果輸入n=3,則輸出的S等于( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:第一次循環(huán),S=,此時i=2,不滿足條件,繼續(xù)第二次循環(huán),S=+,此時i=3,不滿足條件,繼續(xù)第三次循環(huán),S=++=[(1-
12、)+(-)+(-)]=,此時i=4>3,退出循環(huán),輸出S的值為.故選B.
2.(xx福建卷)在平面直角坐標系中,兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的“L距離”定義為||P1P2=|x1-x2|+|y1-y2|,則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點F1,F2的“L距離”之和等于定值(大于||F1F2)的點的軌跡可以是( A )
解析:設(shè)P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,則||F1F2|=2c,依題意,得||PF1|+||PF2|=2d(d為常數(shù)且d>c),所以|x+c|+|y-0|+|x-c|+
|y-0|=2d,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2d.
13、①當-c≤x≤c時,x+c+c-x+2|y|=2d,
即y=±(d-c);
②當x<-c時,-(x+c)+c-x+2|y|=2d,
即x±y+d=0;
③當x>c時,(x+c)+x-c+2|y|=2d,即x±y-d=0.
畫出以上三種情形的圖象,即可知選項A正確.故選A.
3.(xx福建卷)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為( C )
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1
解析:執(zhí)行程序:i=1,S=0;S=cos =0,i=2;S=0+cos π=-1,i=3;
S=-1+cos =-1,i=4;S=-1+cos =0,i=5;S=0+cos =
14、0,i=6,滿足i>5,退出循環(huán),輸出的結(jié)果為0,故選C.
【教師備用】 (xx廣東卷)設(shè)集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|
+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個數(shù)為( D )
(A)60 (B)90 (C)120 (D)130
解析:由題意可知符合條件的元素中至少含有兩個0.按照0的個數(shù)分類計算.
當含有兩個0時,先把0在五個位置中排好,有種排法,剩下的三個數(shù)可以是3個-1;兩個-1,一個1;一個-1兩個1;3個1,共有
(1+++1)=80個元素.當含有3個0,先排0
15、的位置,有種排法,再對于剩下的兩個數(shù)按照兩個-1;一個1,一個-1;兩個1來分類,共有(1++1)=40個.當含有4個0時,排好0的位置之后,剩下的一個位置有兩個選擇,共有·=10個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,滿足條件的元素共有130個.故選D.
【教師備用】 (xx資陽市一診)若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出S的值為3,則判斷框中應(yīng)填入的條件是( C )
(A) k<6? (B) k<7?
(C) k<8? (D) k<9?
解析:由程序框圖可知,第一次循環(huán),S=log23,k=3;第二次循環(huán),S=log23·log34=log24,k=4;第三次循環(huán),S=log24·log45=lo
16、g25,k=5;……;第六次循環(huán),S=log28=3,k=8,結(jié)束循環(huán),輸出S=3.故選C.
4.(xx廣東茂名市一模)設(shè)函數(shù)y=f(x)在R上有定義,對于任一給定的正數(shù)p,定義函數(shù)fp(x)=則稱函數(shù)fp(x)為 f(x)的“p界函數(shù)”.若給定函數(shù)f(x)=x2-2x-2,p=1,則下列結(jié)論成立的是( C )
(A)fp[f(0)]=f[fp(0)] (B)fp[f(1)]=f[fp(1)]
(C)fp [f(2)]=fp[fp(2)] (D)f[f(-2)]=fp[fp(-2)]
解析:由f(x)≤1,即x2-2x-2≤1,解得-1≤x≤3,
當p=1時,f1(x)=
f1(2
17、)=22-2×2-2=-2,f1(-2)=1,
f(2)=22-2×2-2=-2,則f1[f(2)]=f1(-2)=1,
f1 [f1(2)]=f1(-2)=1,故選C.
5.(xx寶雞二模)已知函數(shù)f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),如[-1.01]=-2,[1.99]=1,若-≤x<,則f(x)的值域為( B )
(A){0,1,2} (B){0,1,2,3}
(C){-2,-1,0} (D){-1,0,1,2}
解析:-≤x<-1時,[x]=-2,2
18、
所以f(x)可取0,1;
0≤x<1時,[x]=0,x[x]=0,
所以f(x)=0;
1≤x<時,[x]=1,1≤x[x]<,
所以f(x)=1.
所以f(x)的值域為{0,1,2,3}.
故選B.
6.(xx漳州二模)對于定義域為D的函數(shù)y=f(x)和常數(shù)C,若對任意正實數(shù)ξ,存在x∈D,使得0<|f(x)-C|<ξ恒成立,則稱函數(shù)y=f(x)為“斂C函數(shù)”.現(xiàn)給出如下函數(shù):
①f(x)=x(x∈Z); ②f(x)=()x+1(x∈Z);③f(x)=log2x; ④f(x)=.
其中為“斂1函數(shù)”的有( C )
(A)①② (B)③④ (C)②③④ (D)①②③
19、解析:對于函數(shù)①,取ξ=,因為x∈Z,找不到x,使得0<|x-1|<成立,所以函數(shù)①不是“斂1函數(shù)”;
對于函數(shù)②,當x→+∞時,()x→0,所以()x+1→1,所以對任意的正數(shù)ξ,總能找到一個足夠大的正整數(shù)x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函數(shù)②是“斂1函數(shù)”;
對于函數(shù)③,當x→2時,log2x→log22=1,所以對于無論多大或多小的正數(shù)ξ,總會找到一個x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函數(shù)③是“斂1函數(shù)”;
對于函數(shù)④,函數(shù)式可化為y=1-,所以當x→+∞時,→0,即1-→1,所以對于無論多小的正數(shù)ξ,總會找到一個足夠大的正數(shù)x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函
20、數(shù)④是“斂1函數(shù)”.
故選C.
二、填空題
7.(xx福建卷)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四個關(guān)系:
①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一個是正確的,則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個數(shù)是 .?
解析:因為①正確時,②也正確,所以只有①正確是不可能的;若只有②正確,①③④都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正確,①②④都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(3,1,2,4);若只有④正確,①②③都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).綜上,符合條
21、件的有序數(shù)組的個數(shù)是6.
答案:6
【教師備用】 (xx安徽皖北協(xié)作區(qū)一模)已知集合A={(x,y)|
|x|+2|y|≤4},集合B={(x,y)|(x-m)2+y2≤},若B?A,則實數(shù)m的取值范圍是 .?
解析:由題意,集合A中元素構(gòu)成一個菱形及其內(nèi)部,集合B中元素構(gòu)成一個圓及圓的內(nèi)部,
如圖,因為B?A,
所以圓在菱形內(nèi)部,故只需圓心到菱形邊所在的直線的距離大于或等于半徑即可,
即≥,解得m≥-2或m≤-6(舍去).
由對稱性可知m≤2,所以實數(shù)m∈[-2,2].
答案:[-2,2]
【教師備用】 (xx河南三市第二次調(diào)研)集合A={(x,y)|x-
22、y+4≥0},B={(x,y)|y≥x(x-2)},則集合A∩B的所有元素組成的圖形的面積為 .?
解析:
如圖,集合A∩B的所有元素組成的圖形的面積為[(x+4)-x(x-2)]dx=
(-x2+3x+4)dx=（-x3+x2+4x）|=.
答案:
8.觀察下列等式:
12=1,
12-22=-3,
12-22+32=6,
12-22+32-42=-10,
…
照此規(guī)律,第n個等式可為 .?
解析:觀察規(guī)律可知,第n個式子為12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.
答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=
23、(-1)n+1
【教師備用】 (xx福建卷)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?).
已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組:
其中運算⊕定義為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.
現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101,那么利用上述校驗方程組可判定k等于 .?
解析:因為x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=0⊕0⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元碼110
24、1101的前3位碼元都是對的;因為x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=1⊕0⊕1=1⊕1=0,所以二元碼1101101的第6,7位碼元也是對的;因為x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1⊕1⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元碼1101101的第5位碼元是錯的,所以k=5.
答案:5
【教師備用】 (xx濟寧市二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定義f″(x)是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)函數(shù),若方程
f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.可以證明,任何三次函數(shù)都有“拐點”,任何三次函數(shù)都有對稱中心,且
25、“拐點”就是對稱中心.請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題:
①存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù);
②函數(shù)f(x)=x3-3x2-3x+5的對稱中心也是函數(shù)y=tan x的一個對稱中心;
③存在三次函數(shù)h(x),使方程h′(x)=0有實數(shù)解x0,且點(x0,h(x0))為函數(shù)y=h(x)的對稱中心;
④若函數(shù)g(x)=x3-x2-,則g（）+g（）+g（）+…+ g（）=-1006.5.
其中正確命題的序號為 (把所有正確命題的序號都填上).?
解析:①f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),f″(x)=6ax+2b(a≠0),則方程
f″(x)=0只有一個實數(shù)解,即不存
26、在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù);
②f′(x)=3x2-6x-3,f″(x)=6x-6,方程f″(x)=0只有一個實數(shù)解x0=1,f(x0)=0,則函數(shù)f(x)的對稱中心是(1,0),而(1,0) 也是函數(shù)y=tan x的一個對稱中心;
③設(shè)三次函數(shù)h(x)=x3,h′(x)=3x2,方程h′(x)=0有實數(shù)解x0=0,h(x0) =0,則(0,0) 也是函數(shù)h(x)=x3的對稱中心;
④g′(x)=x2-x,g″(x)=2x-1,方程g″(x)=0只有一個實數(shù)解x0=,g(x0)=-,則函數(shù)g(x)的對稱中心是（,-）,g(x)+g(1-x)=2g(x0)=-1,
則g（）+g（）+g（）+…+g（）
=g（）+g（）+g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）+g（）+g（）
=-1006.5.
故正確命題的序號為②③④.
答案:②③④
2022年高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題1 高考客觀題?？贾R 第4講 算法、推理及創(chuàng)新性問題 理
