2022年高三上學(xué)期9月月考試題 數(shù)學(xué)試題（理） 含答案

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1、 2022年高三上學(xué)期9月月考試題 數(shù)學(xué)試題（理） 含答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,4}，集合B＝{2,4,5}，則下圖中的陰影部分表示(　　) A．{2,4} B．{1,3} C．{5} D．{2,3,4,5} [答案]　C [解析]　陰影部分在集合B中，不在集合A中，故陰影部分為B∩(?UA)＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，故選C． 2．函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　) A．(1,2)∪(2，＋∞)　　　　　　　 B．[

2、1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(1,2)∪[3，＋∞) 答案　A 解析　由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函數(shù)y＝的定義域是(1,2)∪(2，＋∞)． 3．已知命題:若，則；命題:若，則；在下列命題中： ，真命題是 A．（1）（3） B. （1）（4） C. （2）（3） D. （2）（4） [答案]C 4．若，則 A. B. C. D. D 5．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的是（

3、） A． B. C. D. B 6．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．若p：?x∈R，x2－x＋1＝0，則?p：?x∈R，x2－x＋1≠0 B．“sinθ＝”是“θ＝30°或150°”的充分不必要條件 C．命題“若a＝0，則ab＝0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0” D．已知p：?x∈R，cosx＝1，q：?x∈R，x2－x＋1>0，則“p∧(?q)”為假命題 [答案]　B [解析]　特稱命題的否定為全稱命題，“＝”的否定為“≠”，∴A正確；sinθ＝時(shí)，θ不一定為30°，例如θ＝150°，但θ＝30°時(shí)，sinθ＝，∴B應(yīng)是必要不充分條件，故B錯(cuò)；C顯然

4、正確；當(dāng)x＝0時(shí)，cosx＝1，∴p真；對(duì)任意x∈R，x2－x＋1＝(x－)2＋>0，∴q真，∴p∧(?q)為假，故D正確． 7．將函數(shù)y＝cosx＋sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)長(zhǎng)度單位后，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的最小值是(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　D [解析]　y＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，向左平移m個(gè)單位得到y(tǒng)＝2sin(x＋m＋)，此函數(shù)為奇函數(shù)，∴m＋＝kπ，k∈Z，∵m>0，∴m的最小值為. 8．函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21－x在同一直角坐標(biāo)系下的圖像大致是(　　) 答案　C 解析　f(x)

5、＝1＋log2x的圖像可由f(x)＝log2x的圖像上移1個(gè)單位得到，且過(guò)點(diǎn)(，0)，(1,1)，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知g(x)＝21－x為減函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)(0,2)，故選C. 9．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間 上方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B. C . D . [答案]B 10．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝2sin(x＋) B．f(x)＝4sin(x＋) C．f(x)

6、＝2sin(x＋) D．f(x)＝4sin(x＋) [答案]　B [解析]　f ′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，由f ′(x)的圖象知，＝－(－)＝2π，∴T＝4π， ∴ω＝，∴Aω＝2，∴A＝4， ∴f ′(x)＝2cos(x＋φ)，由f ′(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(，－2)得cos(＋φ)＝－1，∵0<φ<π，∴φ＝， ∴f ′(x)＝2cos(x＋)，∴f(x)＝4sin(x＋)． 11．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2.若直線y＝x＋a與函數(shù)y＝f(x)的圖像在[0,2]內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，

7、則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A．0 B．0或－ C．－或－ D．0或－ 答案　D 解析　∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2. 又0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2，可畫出函數(shù)y＝f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖． 顯然a＝0時(shí)，y＝x與y＝x2在[0,2]內(nèi)恰有兩不同的公共點(diǎn)． 另當(dāng)直線y＝x＋a與y＝x2(0≤x≤1)相切時(shí)也恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，由題意知y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝. ∴A(，)，又A點(diǎn)在y＝x＋a上，∴a＝－，∴選D. 12. 已知函數(shù)f(x)＝ax sinx－(a∈R)，若對(duì)x∈[0，]，f(x)的最大值為，則函數(shù)f(x)在(0，π)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ C

8、 ） A．0 B．1 C．2 D．3 解析　因?yàn)閒′(x)＝a(sinx＋xcosx)，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在x∈[0，]上單調(diào)遞減，最大值f(0)＝－，不適合題意，所以a>0，此時(shí)f(x)在x∈[0，]上單調(diào)遞增，最大值f()＝a－＝，解得a＝1，符合題意，故a＝1.f(x)＝xsinx－在x∈(0，π)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝sinx，y＝的圖像在x∈(0，π)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．又x＝時(shí)，sin＝1>>0，所以兩圖像在x∈(0，π)內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝xsinx－在x∈(0，π)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2. 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個(gè)

9、試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13．已知f(x)＝x(1＋|x|)，則f′(1)·f′(－1)＝________. 答案　9 解析　當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋x，f′(x)＝2x＋1， 則f′(1)＝3. 當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x－x2，f′(x)＝1－2x，則f′(－1)＝3，故f′(1)·f′(－1)＝9. 14．若cosx cosy＋sinx siny＝，sin2x＋sin2y＝，則sin(x＋y)＝________. [答案]　 [解析]　∵2x＝(x＋y)＋(x－y)，2y

10、＝(x＋y)－(x－y)，sin2x＋sin2y＝，∴sin(x＋y)cos(x－y)＝，又由cosxcosy＋sinxsiny＝得cos(x－y)＝， ∴sin(x＋y)＝. 15．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與直線y＝0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為________． [答案]?。? 16．已知函數(shù)f(x)＝esinx＋cosx－sin2x(x∈R)，則函數(shù)f(x)的最大值與最小值的差是________． [答案]　e－e－ [解析]　令sinx＋cosx＝t，則sin2x＝t2－1，易知－≤t

11、≤，∴函數(shù)f(x)化為y＝et－t2＋.(－≤t≤)，y′＝et－t，令u(t)＝et－t，則u′(t)＝et－1.當(dāng)00，當(dāng)－≤t<0時(shí)，u′(t)<0，∴u(t)在[－，0]上單調(diào)遞減，在[0，]上單調(diào)遞增，∴u(t)的最小值為u(0)＝1，于是u(t)≥1，∴y′>0，∴函數(shù)y＝et－t2＋在[－，]上為增函數(shù)，∴其最大值為e－，最小值為e－－，其差為e－e－. 三、解答題： 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 17．(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)＝2sin(π+x) cos(－3π－x)－2sin(－x)cos(π－x)． (1)求函數(shù)f(x

12、)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若f(－)＝，α是第二象限角，求cos(2α＋)的值． 答案　(1)[kπ－，kπ＋](k∈Z)　(2) 解析　(1)f(x)＝sin2x－2cosx(－cosx)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (2)∵f(－)＝2sinα＋1＝，∴sinα＝. ∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－. ∴sin2α＝－，cos2α＝.∴cos(2α＋)＝cos2αcos－sin2αsin

13、＝×－(－)×＝. 17. 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，然后再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝sinx的圖象． (1)求y＝f(x)的最小正周期 (2)若函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，求當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，函數(shù)y＝g(x)的最小值和最大值． [解析]　(1)函數(shù)y＝sinx的圖象向下平移1個(gè)單位得y＝sinx－1，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到y(tǒng)＝sinx－1，然后向右移1個(gè)單位得y＝sin(x－)－1. 所以函數(shù)y＝f(x)的最小正周期為T＝＝6. (2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)

14、于直線x＝2對(duì)稱， ∴當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，y＝g(x)的最值即為當(dāng)x∈[3,4]時(shí)，y＝f(x)的最值． ∵x∈[3,4]時(shí)，x－∈[，π]， ∴sin(x－)∈[0，]， ∴f(x)∈[－1，]， ∴y＝g(x)的最小值是－1，最大值為. 19. (本小題滿分12分) 已知其中 （1）求的單調(diào)區(qū)間; （2）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求的取值范圍. 解：（12分）（1） 令 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 ．．．．．．

15、．．．．．．．．．．．5分 （2）由知在上遞減，在遞增 設(shè) 所以上單調(diào)遞減， 所以 20．對(duì)于函數(shù)，如果它們的圖象有公共點(diǎn)P，且在點(diǎn)P處的切線相同，則稱函數(shù)和在點(diǎn)P處相切，稱點(diǎn)P為這兩個(gè)函數(shù)的切點(diǎn). 設(shè)函數(shù),. （Ⅰ）當(dāng),時(shí), 判斷函數(shù)和是否相切？并說(shuō)明理由； （Ⅱ）已知，，且函數(shù)和相切，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)； 解：（Ⅰ）結(jié)論：當(dāng),時(shí),函數(shù)和不相切. 理由如下： 由條件知，由，得， 又因?yàn)?，， 所以當(dāng)時(shí)，，，所以對(duì)于任意的，. 當(dāng),時(shí),函數(shù)和不相切. （Ⅱ）若，則，， 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，其

16、中, 由題意，得 ， ①　　　　， ② 由②，得 ，代入①，得 . （*） 因?yàn)?，且，　所以 . 設(shè)函數(shù) ，，　則 . 令 ，解得或(舍). 當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示， 1 0 ↗ ↘ 所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，且當(dāng)時(shí). 因此

17、，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí). 所以方程（*）有且僅有一解. 于是 ，　因此切點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 21．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)． (1)若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值； (2)若存在，使成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：(1)由已知得． 因在上為減函數(shù)，故在上恒成立． 所以當(dāng)時(shí)，． 又， 2分 當(dāng)，即時(shí)，． 所以于是，故a的最小值為． 4分 (2)命題“若存在 ，使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有 ． 由(1)，當(dāng)時(shí)，，∴． 問(wèn)題等價(jià)于：“

18、當(dāng)時(shí)，有”． 6分 ①當(dāng)時(shí)，由（1），在上為減函數(shù)， 則，故． 8分 ②當(dāng)<時(shí)，由于在上的值域?yàn)? （ⅰ），即，在恒成立，故在上為增函數(shù)， 于是，，矛盾． 10分 （ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知， 存在唯一，使，且滿足： 當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)； 所以，， 所以，，與矛盾． 綜上，得 請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做第一題記分.在答題卡選答區(qū)域指定位置答題，并寫上所做題的題號(hào)

19、.注意所做題目的題號(hào)必須和所寫的題號(hào)一致. 22.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講 如圖，已知與圓相切于點(diǎn)，半徑，交于點(diǎn). (1)求證：； (2)若圓的半徑為，，求線段的長(zhǎng)度． 解：(1)證明：連接，，.與圓相切于點(diǎn)，. .， . . 又，..…………………5分 (2)假設(shè)與圓相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn). 與圓相切于點(diǎn)，是圓的割線， ． ，，. . 由(1)知. .在中，. . .…………………10分 23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正

20、半軸為極軸）中，圓的方程為． (1)求圓的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求． 解：(1)由得，即.…………4分 (2)將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得. 即，…………6分 由于，可設(shè)是上述方程的兩個(gè)實(shí)根. 所以，又直線過(guò)點(diǎn)， 可得：.…………10分 24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數(shù)，，且的解集為． (1)求的值； (2)若，且，求 的最小值. 解：(1)因?yàn)椋? 等價(jià)于， 由有解，得，且其解集為． 又的解集為，故. 5分 (2)由(1)知，又，由柯西不等式得 . ∴ 的最小值為9 . 10分