2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理

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1、 第二講　三角恒等變換與解三角形 考點(diǎn)一　三角恒等變換與求值 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ. (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan2α＝. 3．輔助角公式 asinx＋bcosx＝sin(x＋φ). [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018·山西長(zhǎng)治二模)已知sinα＝，α∈，則cos的

2、值為(　　) A. B. C. D. [解析]　∵sinα＝，α∈，∴cosα＝，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝＝，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝，∴cos＝×－×＝.故選A. [答案]　A 2．(2018·河南濮陽一模)設(shè)0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，則sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　因?yàn)?°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°. 又因?yàn)閟in(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α為第三象限角，所以cos(

3、75°＋2α)＝－.所以sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝sin(15°＋α)·cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)·cos45°－cos(75°＋2α)·sin45°]＝×＝，故選B. [答案]　B 3．(2018·豫北名校聯(lián)考)計(jì)算： ＝________.(用數(shù)字作答) [解析]?。剑剑剑? [答案]　 4．(2018·河南六市聯(lián)考)已知cosα＝，cos(α－β)＝，若0<β<α<，則β＝________. [解析]　由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝，由0<β<α<，得0<α－β<. 又

4、cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝ ＝. 由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝. ∵β∈，∴β＝. [答案]　 [快速審題]　(1)看到三角函數(shù)求值，想到已知角與未知角間的和、差、倍的關(guān)系，想到公式求解． (2)看到三角函數(shù)的平方，想到用二倍角公式降冪． (1)三角恒等變換的三原則 ①一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理拆分，從而正確使用公式，如2題． ②二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”． ③三看“結(jié)構(gòu)

5、特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等． (2)解決條件求值應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn) ①分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角． ②正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示． ③求解三角函數(shù)中給值求角的問題時(shí)，要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小，如4題． 考點(diǎn)二　解三角形 1．正弦定理 ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. sinA＝，sinB＝，sinC＝. a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.

6、 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 推論：cosA＝，cosB＝， cosC＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC. 3．面積公式 S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC. 角度1：利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀 [解析]　由cosB＝1－2sin2得sin2＝，∴＝，即cosB＝. 解法一：由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC為直角三角形，又無法

7、判斷兩直角邊是否相等，故選A. 解法二：由正弦定理得cosB＝，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，∴cosC＝0，又角C為三角形的內(nèi)角，∴C＝，∴△ABC為直角三角形，又無法判斷兩直角邊是否相等，故選A. [答案]　A 角度2：利用正弦、余弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算 [解]　(1)由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1， 得2(sinAsinC－cosAcosC)＝1， 即cos(A＋C)＝－， ∴cosB＝－cos(A＋C)＝， 又0

8、π，∴B＝. (2)由余弦定理得cosB＝＝， ∴＝，又a＋c＝，b＝， ∴－2ac－3＝ac，即ac＝， ∴S△ABC＝acsinB＝××＝. [探究追問1]　若本例第(2)問條件變?yōu)椤叭鬮＝，S△ABC＝”，試求a＋c的值． [解]　由已知S△ABC＝acsinB＝， ∴ac×＝，則ac＝6. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac， 所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝. [探究追問2]　在本例條件下，若b＝，求△ABC面積的最大值． [解]　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac， 則3＝a2

9、＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤3(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時(shí)取等號(hào))． 所以S△ABC＝acsinB≤×3×sin＝. 故△ABC面積的最大值為. 利用正、余弦定理解三角形應(yīng)注意的3點(diǎn) (1)利用正、余弦定理解三角形時(shí)，涉及邊與角的余弦的積時(shí)，常用正弦定理將邊化為角，涉及邊的平方時(shí)，一般用余弦定理． (2)涉及邊a，b，c的齊次式時(shí)，常用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的正弦值，再利用三角公式進(jìn)行變形． (3)涉及正、余弦定理與三角形面積綜合問題，求三角形面積時(shí)用S＝absinC形式的面積公式． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．[角度1]在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·s

10、in(A＋B)，則△ABC的形狀為(　　) A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 [解析]　因?yàn)?a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， 所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－ sin(A－B)]． 所以a2cosAsinB＝b2sinAcosB. 解法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB， 所以sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB. 又sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB， 所以sin2A＝sin2B. 在△A

11、BC中，0<2A<2π，0<2B<2π， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， 所以A＝B或A＋B＝. 所以△ABC為等腰或直角三角形． 解法二：由正弦定理、余弦定理得： a2b＝b2a， 所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0， 即a＝b或a2＋b2＝c2. 所以△ABC為等腰或直角三角形． [答案]　C 2．[角度2](2018·河南、河北重點(diǎn)中學(xué)第三次聯(lián)考) 如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c＝4，b＝2,2ccosC＝b，D，E分

12、別為線段BC上的點(diǎn)，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE. (1)求線段AD的長(zhǎng)； (2)求△ADE的面積． [解]　(1)因?yàn)閏＝4，b＝2,2ccosC＝b，所以cosC＝＝. 由余弦定理得cosC＝＝＝， 所以a＝4，即BC＝4. 在△ACD中，CD＝2，AC＝2， 所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，所以AD＝. (2)因?yàn)锳E是∠BAC的平分線， 所以＝＝＝2， 又＝，所以＝2， 所以CE＝BC＝，DE＝2－＝. 又因?yàn)閏osC＝，所以sinC＝＝. 所以S△ADE＝×DE×AC×sinC＝. 考點(diǎn)三　正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 1

13、．實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． 2．實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018·廣東省五校協(xié)作體高三一診) 如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測(cè)得∠DAC＝15°，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測(cè)得∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝___

14、_____. [解析]　由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由內(nèi)角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根據(jù)正弦定理可得＝，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cosθ＝－1. [答案]?。? 2．(2018·福州綜合質(zhì)量檢測(cè))如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽車從

15、B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車的速度約為________m/s.(精確到0.1) 參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.236. [解析]　因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°. 設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則BC＝14v m， 在Rt△ADB中，AB＝＝＝200 m. 在Rt△ADC中，AC＝＝＝100 m. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC， 所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，解得v＝≈22.6，所以這輛汽車的速度約為2

16、2.6 m/s. [答案]　22.6 [快速審題]　看到三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，想到各類角的概念，想到確定一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型． 　解三角形實(shí)際問題的4步驟 1．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)若sinα＝，則cos2α＝(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　由sinα＝，得cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝.故選B. [答案]　B 2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B. C. D. [解析]　根據(jù)余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，因?yàn)镾△A

17、BC＝，所以S△ABC＝，又S△ABC＝absinC，所以tanC＝1，因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝.故選C. [答案]　C 3．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________. [解析]　由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0， 兩式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，整理得 sin(α＋β)＝－. [答案]?。? 4．(2018·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acos. (1)求角B的大小； (2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(

18、2A－B)的值． [解]　(1)在△ABC中， 由正弦定理＝，可得bsinA＝asinB， 又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，即sinB＝cos，可得tanB＝. 又因?yàn)锽∈(0，π)，可得B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝. 由bsinA＝acos，可得sinA＝. 因?yàn)閍

19、一大”的命題形式出現(xiàn)． 2．若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第4～9或第13～15題位置上． 3．若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等． 熱點(diǎn)課題8　解三角形中的范圍問題 [感悟體驗(yàn)] (2018·河南豫北聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且acosC＝(2b－c)cosA. (1)求角A的大??； (2)求cos－2sin2的取值范圍． [解]　(1)由正弦定理將原等式化為sinAcosC＝2sinBcosA－sinC

20、cosA， 從而可得，sin(A＋C)＝2sinBcosA， 即sinB＝2sinBcosA. 又B為三角形的內(nèi)角，所以sinB≠0， 于是cosA＝. 又A為三角形的內(nèi)角，因此A＝. (2)cos－2sin2 ＝sinB＋cosC－1 ＝sinB＋cos－1 ＝sinB＋coscosB＋sinsinB－1 ＝sinB－cosB－1 ＝sin－1， 由A＝可知，B∈，所以B－∈， 從而sin∈， 因此，sin－1∈， 故cos－2sin2的取值范圍為. 專題跟蹤訓(xùn)練(十五) 一、選擇題 1．(2018·廣東七校聯(lián)考)已知sin＋cosα＝－，則cos＝(　　

21、) A．－ B. C．－ D. [解析]　由sin＋cosα＝－，得sinα＋cosα＋cosα＝－，即sinα＋cosα＝－， 亦即sin＝－， ∴sin＝－， ∴cos＝sin＝sin ＝－，故選C. [答案]　C 2．(2018·貴陽監(jiān)測(cè))已知sin＝，則cos的值是(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝，∴cos＝cos＝cos＝－cos＝－. [答案]　D 3．(2018·湖北武漢模擬)在△ABC中，a＝，b＝，B＝，則A等于(　　) A. B. C. D.或 [解析]　由正弦定理得

22、＝，所以sinA＝＝＝，所以A＝或.又a

23、△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝，則b＝(　　) A．14 B．6 C. D. [解析]　bsinA＝3csinB?ab＝3bc?a＝3c?c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故選D. [答案]　D 6．(2018·山東日照二模)如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，△ACD為正三角形，則△BCD面積的最大值為(　　) A．2＋2 B. C.＋2 D.＋1 [解析]　在△ABC中，設(shè)∠ABC＝α，∠ACB＝β，由余弦定理得：AC2＝12＋22－

24、2×1×2cosα，∵△ACD為正三角形，∴CD2＝AC2＝5－4cosα，S△BCD＝·2·CD·sin＝CD·sin＝CD·cosβ＋CD·sinβ，在△ABC中，由正弦定理得：＝，∴AC·sinβ＝sinα，∴CD·sinβ＝sinα，∴(CD·cosβ)2＝CD2(1－sin2β)＝CD2－sin2α＝5－4cosα－sin2α＝(2－cosα)2，∵β<∠BAC，∴β為銳角，CD·cosβ＝2－cosα，∴S△BCD＝CD·cosβ＋CD·sinβ＝·(2－cosα)＋sinα＝＋sin，當(dāng)α＝時(shí)，(S△BCD)max＝＋1. [答案]　D 二、填空題 7．(2018·長(zhǎng)春二模

25、)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，則A＝________. [解析]　由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，又A為三角形的內(nèi)角，故A＝120°. [答案]　120° 8．計(jì)算：4cos50°－tan40°＝________. [解析]　4cos50°－tan40°＝4sin40°－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. [答案]　 9．(2018·安徽合肥一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊

26、分別為a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為________． [解析]　已知bcosA＋acosB＝2，由正弦定理可得2RsinBcosA＋2RsinAcosB＝2(R為△ABC的外接圓半徑)．利用兩角和的正弦公式得2Rsin(A＋B)＝2，則2RsinC＝2，因?yàn)閏osC＝，所以sinC＝，所以R＝3.故△ABC的外接圓面積為9π. [答案]　9π 三、解答題 10．(2018·江蘇卷)已知α，β為銳角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值． [解]　(1)因?yàn)閠anα＝，tanα＝

27、，所以sinα＝cosα. 因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 所以cos2α＝2cos2α－1＝－. (2)因?yàn)棣?，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)， 又因?yàn)閏os(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因?yàn)閠anα＝，所以tan2α＝＝－. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 11．(2018·河北保定三模)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足cosB＝bcosA. (1)若sinA＝，a＋b＝10，求a； (2)若b＝3，a＝5，求△ABC的面積S. [解]　∵cosB

28、＝bcosA， ∴由正弦定理得·cosB＝sinBcosA，即有sinCcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，則sinC·cosB＝sinC.∵sinC>0，∴cosB＝. (1)由cosB＝，得sinB＝， ∵sinA＝，∴＝＝. 又∵a＋b＝10，∴a＝4. (2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，b＝3，a＝5，∴45＝25＋c2－8c，即c2－8c－20＝0，解得c＝10或c＝－2(舍去)， ∴S＝acsinB＝15. 12．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝＋. (1)證明：a＋b＝2c； (2)求cosC的最小值． [解]　(1)證明：由題意知2＝＋， 化簡(jiǎn)得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB. 因?yàn)锳＋B＋C＝π， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC. 從而sinA＋sinB＝2sinC. 由正弦定理得a＋b＝2c. (2)由(1)知c＝， 所以cosC＝＝ ＝－≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 故cosC的最小值為. 18