2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第32講 不等式解法及應用教案 新人教版
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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第32講 不等式解法及應用教案 新人教版 一.課標要求: 1.不等關系 通過具體情境,感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,了解不等式(組)的實際背景; 2.一元二次不等式 ①.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程; ②通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系; ③會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,嘗試設計求解的程序框圖。 3二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 ①從實際情境中抽象出二元一次不等式組; ②了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組; ③從實際情境中抽象出一些簡
2、單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決。 二.命題走向 分析近幾年的高考試題,本將主要考察不等式的解法,綜合題多以與其他章節(jié)(如函數(shù)、數(shù)列等)交匯。從題型上來看,多以比較大小,解簡單不等式以及線性規(guī)劃等,解答題主要考察含參數(shù)的不等式的求解以及它在函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列中的應用。 預測xx年高考的命題趨勢: 1.結(jié)合指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)的考察函數(shù)的性質(zhì),解不等式的試題常以填空題、解答題形式出現(xiàn); 2.以當前經(jīng)濟、社會、生活為背景與不等式綜合的應用題仍是高考的熱點,主要考察考生閱讀以及分析、解決問題的能力; 3.在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何、導數(shù)等知識網(wǎng)絡的交匯點命題,特別注意與函數(shù)、導數(shù)綜合
3、命題這一變化趨勢; 4.對含參數(shù)的不等式,要加強分類討論思想的復習,學會分析引起分類討論的原因,合理分類,不重不漏。 三.要點精講 1.不等式的解法 解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時的重要手段,與“等式變形”并列的“不等式的變形”,是研究數(shù)學的基本手段之一。 高考試題中,對解不等式有較高的要求,近兩年不等式知識占相當大的比例。 (1)同解不等式((1)與同解; (2)與同解,與同解; (3)與同解); 2.一元一次不等式 解一元一次不等式(組)及一元二次不等式(組)是解其他各類不等式的基礎,必須熟練掌握,靈活應用。 情況分別解之。 3.一元二次不等式 或分及
4、情況分別解之,還要注意的三種情況,即或或,最好聯(lián)系二次函數(shù)的圖象。
4.分式不等式
分式不等式的等價變形:>0f(x)·g(x)>0,≥0。
5.簡單的絕對值不等式
絕對值不等式適用范圍較廣,向量、復數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對值不等式。高考試題中,對絕對值不等式從多方面考查。
解絕對值不等式的常用方法:
①討論法:討論絕對值中的式于大于零還是小于零,然后去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一般不等式;
②等價變形:
解絕對值不等式常用以下等價變形:
|x| 5、(x)-g(x) 6、表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。特別地,當時,通常把原點作為此特殊點。
(2)有關概念
引例:設,式中變量滿足條件,求的最大值和最小值。
由題意,變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域,不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知,原點不在公共區(qū)域內(nèi),當時,,即點在直線:上,作一組平行于的直線:,,可知:當在的右上方時,直線上的點滿足,即,而且,直線往右平移時,隨之增大。
由圖象可知,當直線經(jīng)過點時,對應的最大,
當直線經(jīng)過點時,對應的最小,所以,,。
在上述引例中,不等式組是一組對變量的約束條件,這組約束條件都是關于的一次不等式,所以又稱為線性約束 7、條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式,叫目標函數(shù)。又由于是的一次解析式,所以又叫線性目標函數(shù)。
一般地,求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問題中,可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值,它們都叫做這個問題的最優(yōu)解。
四.典例解析
題型1:簡單不等式的求解問題
例1.(xx京皖春,1)不等式組的解集是( )
A.{x|-1<x<1 B.{x|0<x<3
C.{x|0<x<1 D.{x|-1<x<3
8、
答案:C
解析:原不等式等價于: 0<x<1。
點評:一元二次不等式的求解問題是高中數(shù)學的基礎性知識,是解決其它問題的基礎。
例2.(xx河南、廣東,1)不等式>0的解集為( )
A.{x|x<1} B.{x|x>3}
C.{x|x<1或x>3} D.{x|1 9、對數(shù)和三角的不等式的求解問題
例3.(1)(xx全國,3)不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( )
A.{x|0≤x<1 B.{x|x<0且x≠-1
C.{x|-1<x<1 D.{x|x<1且x≠-1
(2)(1997全國,14)不等式組的解集是( )
A.{x|0<x<2 B.{x|0<x<2.5
C.{x|0<x< D.{x|0<x<3
解析:(1)答案:D;
解法一:①x≥0時,原不等式化為:(1+x)(1-x)>0,
∴(x+1)(x-1)<0,
∴0≤x<1。
②x<0時,原不等式化為:(1 10、+x)(1+x)>0(1+x)2>0,
∴x≠-1,
∴x<0且x≠-1。
綜上,不等式的解集為x<1且x≠-1。
解法二:原不等式化為: ①或 ②
①解得-1<x<1,
②解得即x<-1,
∴原不等式的解集為x<1且x≠-1。
點評:該題體現(xiàn)了對討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對值的基本方法的要求。
(2)答案:C
解法一:當x≥2時,原不等式化為,
去分母得(x+2)(3-x)>(x+3)(x-2),
即-x2+x+6>x2+x-6,2x2-12<0,。
注意x≥2,得2≤x<;
當0<x<2時,原不等式化為,去分母得-x2+x+6>-x2-x+6。
即2x> 11、0 注意0<x<2,得0<x<2。
綜上得0<x<,所以選C。
解法二:特殊值法.取x=2,適合不等式,排除A;取x=2.5,不適合不等式,排除D;再取x=,不適合不等式,所以排除B;選C。
點評:此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。
例4.(1)(1995全國理,16)不等式()>3-2x的解集是_____。
(2)(xx全國文5,理4)在(0,2π)內(nèi),使sinx>cosx成立的x取值范圍為( )
A.(,)∪(π,) B.(,π)
C.(,) D.(,π)∪(,)
(3)(06山東理,3)設f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為( )
12、
(A)(1,2)(3,+∞) (B)(,+∞)
(C)(1,2) ( ,+∞) (D)(1,2)
解析:(1)答案:{x|-2<x<4}
將不等式變形得
則-x2+8>-2x,從而x2-2x-8<0,(x+2)(x-4)<0,-2<x<4,所以不等式的解集是{x|-2<x<4}.
評述:此題考查指數(shù)不等式的解法;
(2)答案:C
解法一:作出在(0,2π)區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象,解出兩交點的橫坐標和,由圖4—6可得C答案。
圖4—6 圖4—7
解法二:在單位圓上作出一、三象限的對 13、角線,由正弦線、余弦線知應選C.(如圖4—7)。
(3)C;
點評:特殊不等式的求解,轉(zhuǎn)化是一方面,借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問題的有效手段。
題型3:含參數(shù)的不等式的求解問題
例5.(1)設不等式x2-2ax+a+2≤0的解集為M,如果M[1,4],求實數(shù)a的取值范圍?
(2)解關于x的不等式>1(a≠1)。
分析:該題實質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題,充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關鍵所在;數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗。
解析:(1)M[1,4]有兩種情況:其一是M=,此時Δ<0;其二是M≠,此時Δ=0或Δ>0,分三種情況計算a的取值范圍。
設f(x 14、)=x2 -2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a-2)
當Δ<0時,-1<a<2,M=[1,4];
當Δ=0時,a=-1或2;
當a=-1時M={-1}[1,4];當a=2時,m={2}[1,4]。
當Δ>0時,a<-1或a>2。
設方程f(x)=0的兩根x1,x2,且x1<x2,
那么M=[x1,x2],M[1,4]1≤x1<x2≤4,
即,解得2<a<,
∴M[1,4]時,a的取值范圍是(-1,)。
(2)原不等式可化為:>0,
①當a>1時,原不等式與(x-)(x-2)>0同解。
由于,
∴原不等式的解為(-∞,)∪(2,+∞)。
② 15、當a<1時,原不等式與(x-)(x-2) <0同解。
由于,
若a<0,,解集為(,2);
若a=0時,,解集為;
若0<a<1,,解集為(2,)。
綜上所述:當a>1時解集為(-∞,)∪(2,+∞);當0<a<1時,解集為(2,);當a=0時,解集為;當a<0時,解集為(,2)。
點評:考查二次不等式的解與系數(shù)的關系及集合與集合之間的關系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關系及集合與集合之間的關系,以及分類討論的數(shù)學思想。 M=是符合題設條件的情況之一,出發(fā)點是集合之間的關系考慮是否全面,易遺漏;構(gòu)造關于a的不等式要全面、合理,易出錯。
例6.(1)(06重慶理,15)設 16、a>0,n1,函數(shù)f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.則不等式logn(x2-5x+7) >0的解集為______ _;
(2)(06重慶文,15)設,函數(shù)有最小值,則不等式的解集為 。
解析:(1)由于函數(shù)有最大值,則。所以原不等式可轉(zhuǎn)化為,又因為恒成立,由解得;
(2)由于函數(shù)有最小值,故。原不等式化為,即。
點評:含參數(shù)指數(shù)、對數(shù)不等式的處理原則是轉(zhuǎn)化為一般的不等式,兼顧到底數(shù)的分類標準為兩種情況,這也是分類的標準。
題型4:線性規(guī)劃問題
例7.(1)(06安徽,10)如果實數(shù)滿足條件, 那么的最大值為( )
A. 17、 B. C. D.
(2)(06天津理,3)設變量、滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為( )
A. B. C. D.
解析:(1)當直線過點(0,-1)時,最大,故選B;
(2)B.
點評:近年來線性規(guī)劃的一些基本運算問題成為出題的熱點,該部分知識大多都屬于基礎題目,屬于中低檔題目。
例8.(1)(06四川理,8)某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為,生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克,甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元,月初一次性夠進本月用原料各千克,要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙 18、產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大;在這個問題中,設全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克,千克,月利潤總額為元,那么,用于求使總利潤最大的數(shù)學模型中,約束條件為( )
(A) (B)
(C) (D)
(2)(06浙江理,3)在平面直角坐標系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是( )
(A) (B) (C) (D)
(3)(06北京理,13)已知點 P(x,y)的坐標滿足條件點O為坐標原點,那么|PO |的最小值等于,最大值等于。
解析:(1)約束條件為 19、,選C;
(2)A;
(3)、。
點評:線性規(guī)劃的應用題也是高考的熱點,諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問題經(jīng)常出現(xiàn)。
題型5:不等式的應用
例9.(06湖南理,20)對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為,要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙: 分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?。設用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是,用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度。
(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當為某固 20、定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響。
解析:(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設有=0.99,解得x=19。
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。
因為當,故方案乙的用水量較少。
(II)設初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(I)得,(*),
于是+,
當為定值時,,
當且僅當時等號成立。
此時
將代入(*)式得
故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為:
, 最少總 21、用水量是.
當,故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。
點評:通過實際情景建立函數(shù)關系式求解不等式問題成為高考的亮點,解題的關鍵是建立函數(shù)模型,通過函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性建立不等關系求得結(jié)果。
例10.(xx全國文24、理22)如圖6—1,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設箱體的長度為a米,高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當a、b各為多少米時,經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A、B 22、孔的面積忽略不計)?
解法一:設y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù),則y=,其中k>0為比例系數(shù),依題意,即所求的a、b值使y值最小。
根據(jù)題設,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
得b=(0<a<30 ①,
于是
。
當a+2=時取等號,y達到最小值。
這時a=6,a=-10(舍去) 將a=6代入①式得b=3,
故當a為6米,b為3米時,經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。
解法二:依題意,即所求的a、b值使ab最大。
由題設知4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
即a+2b+ab=30(a>0,b>0)。
∵a+2b≥2 ∴2+ab≤30,
當 23、且僅當a=2b時,上式取等號.
由a>0,b>0,解得0<ab≤18
即當a=2b時,ab取得最大值,其最大值為18。
∴2b2=18.解得b=3,a=6。
故當a為6米,b為3米時,經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。
點評:本題考查綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的能力,考查函數(shù)關系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎知識,考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力。
五.思維總結(jié)
1.在復習不等式的解法時,加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓練與復習
解不等式的過程是一個等價轉(zhuǎn)化的過程,通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式(組),以快速、準確求解。
加強分類討論思想的復習 24、.在解不等式或證不等式的過程中,如含參數(shù)等問題,一般要對參數(shù)進行分類討論.復習時,學生要學會分析引起分類討論的原因,合理的分類,做到不重不漏。
加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應用訓練。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分,相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.如求參數(shù)的取值范圍問題,函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.在不等式的證明中,加強化歸思想的復習,證不等式的過程是一個把已知條件向要證結(jié)論的一個轉(zhuǎn)化過程,既可考查學生的基礎知識,又可考查學生分析問題和解決問題的能力,正因為證不等式是高考考查學生代數(shù)推理能力的重要素材,復習時應引起我們的足夠重視。
2.強化不等式的應用
突出不等式的知識在解決實際問題中的 25、應用價值,借助不等式來考查學生的應用意識。
高考中除單獨考查不等式的試題外,常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應用問題的試題中涉及不等式的知識,加強不等式應用能力,是提高解綜合題能力的關鍵.因此,在復習時應加強這方面訓練,提高應用意識,總結(jié)不等式的應用規(guī)律,才能提高解決問題的能力。
如在實際問題應用中,主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法,求最值時要注意等號成立的條件,避免不必要的錯誤。
3.突出重點
綜合考查在知識與方法的交匯點處設計命題,在不等式問題中蘊含著豐富的函數(shù)思想,不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具,不等式與函數(shù)既是知識的結(jié)合點,又是數(shù)學知識與數(shù)學方法的交匯點,因而在歷年高考題中始終是重中之重。在全面考查函數(shù)與不等式基礎知識的同時,將不等式的重點知識以及其他知識有機結(jié)合,進行綜合考查,強調(diào)知識的綜合和知識的內(nèi)在聯(lián)系,加大數(shù)學思想方法的考查力度,是高考對不等式考查的又一新特點。
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