2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何過關(guān)提升 文

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1、2022年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何過關(guān)提升 文 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．(xx·長沙調(diào)研)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝________． 2．(xx·福建高考改編)若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且PF1＝3，則PF2＝________． 3．(xx·北京高考改編)圓心為(1，1)且過原點(diǎn)的圓的方程是________． 4．已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝1交于A、B兩點(diǎn)，且|＋|＝|－|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)a的值為________． 5．(xx·

2、廣東高考改編)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為________． 6．(xx·長沙模擬)雙曲線x2－＝1的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓與此雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B(不同于O點(diǎn))，則|AB|＝________． 7．(xx·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________． 8．(xx·唐山調(diào)研)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為________．

3、 9．(xx·重慶高考改編)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則AB＝________． 10．(xx·山東高考改編)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為________． 11．(xx·青島模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過F作斜率為－1的直線交雙曲線的漸近線于點(diǎn)P，點(diǎn)P在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為，則該雙曲線的離心率為________． 12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓C：＋＝

4、1上，點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)Q滿足＝1，且·＝0，則的最大值為________． 13．(xx·衡水中學(xué)沖刺卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為該雙曲線右支上一點(diǎn)，且MF，F(xiàn)1F，MF成等差數(shù)列，該點(diǎn)到x軸的距離為，則該雙曲線的離心率為________． 14．(xx·合肥質(zhì)檢)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

5、滿分14分)(xx·全國卷Ⅰ)已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)． (1)求k的取值范圍； (2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MN. 16．(本小題滿分14分)(xx·太原模擬)已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，動(dòng)點(diǎn)B在直線x＝－2上，且滿足⊥(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，橢圓C上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)距離之和為4. (1)求橢圓C的方程； (2)判斷直線AB與圓x2＋y2＝3的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 17．(本小題滿分14分)(xx·北京高考)已知橢圓

6、C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M. (1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)； (2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 18．(本小題滿分16分)(xx·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連接F1C. (1)

7、若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且BF2＝，求橢圓的方程； (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值． 19.(本小題滿分16分)(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)如圖，已知橢圓：＋y2＝1，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率為k的直線l與線段AB相交于點(diǎn)D，且與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)． (1)若＝6，求k的值； (2)求四邊形AEBF面積的最大值． 20．(本小題滿分16分)(xx·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．已知點(diǎn)(1，e)和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率． (

8、1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P. (ⅰ)若AF1－BF2＝，求直線AF1的斜率； (ⅱ)求證：PF1＋PF2是定值． 專題過關(guān)·提升卷 1．9　[圓C1：x2＋y2＝1的圓心C1(0，0)，半徑r1＝1.圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0的圓心為C2(3，4)，半徑為r2＝.由于兩圓外切，則|C1C2|＝r1＋r2，所以5＝1＋，解之得m＝9.] 2．9　[由雙曲線定義，|PF2－PF1|＝6，又PF1＝3，知點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則PF2－PF1＝6.所以PF2＝9.]

9、3．(x－1)2＋(y－1)2＝2　[因?yàn)閳A心為(1，1)且過原點(diǎn)，所以該圓的半徑r＝＝，則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.] 4．±1　[∵|＋|＝|－|， ∴以，為鄰邊作出的平行四邊形OACB為矩形， 則⊥，所以△OAB為直角三角形，因此AB＝. 于是圓心O到直線x＋y＝a的距離d＝＝， 從而，得＝，∴a＝±1.] 5.－＝1　[因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F2(5，0)且離心率為e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為－＝1.] 6．2　[由雙曲線x2－＝1，右焦點(diǎn)F(2，0)， 漸近線方程分別為y＝±x， 代入圓F的方程(x－2)

10、2＋y2＝4，得x＝1，y＝±. 故AB＝2.] 7.　[圓心為(2，－1)，半徑r＝2. 圓心到直線的距離d＝＝， 所以弦長為2＝2＝.] 8.－1　[設(shè)F(－c，0)，點(diǎn)A(m，n)，依題意，得 解之得A. 代入橢圓方程，有＋＝1. 又b2＝a2－c2代入，得c4－8a2c2＋4a4＝0. 所以e4－8e2＋4＝0，e2＝4－2，e＝－1.] 9．6　[圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4， 圓心為C(2，1)，半徑為r＝2， 因此2＋a×1－1＝0，a＝－1， 即A(－4，－1)， AB＝＝＝6.] 10．－或－　[圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1

11、的圓心M(－3，2)，半徑r＝1.點(diǎn)N(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N′(2，－3)． 如圖所示，反射光線一定過點(diǎn)N′(2，－3)且斜率存在， ∴反射光線所在直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－(2k＋3)＝0. ∵反射光線與已知圓相切， ∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0， 解得k＝－或k＝－.] 11.　[設(shè)P(xP，yP)，依題設(shè)xP>0，且yP>0. 由S△OFP＝·c·yP＝＝，∴yP＝. 又直線PF的方程為y＝－(x－c)，∴xP＝， 又點(diǎn)P在雙曲線的漸近線bx－ay＝0上， ∴·b－＝0，則a＝3b，c＝b， 故雙曲線的離心率e＝＝.]

12、12.　[如圖所示，由方程＋＝1知：頂點(diǎn)A(－4，0)，B(4，0)，右焦點(diǎn)F(2，0)． 又||＝1，∴點(diǎn)Q的軌跡是以焦點(diǎn)F(2，0)為圓心，以1為半徑的圓． 由·＝0，知PQ⊥FQ. 因此直線PQ是圓F的切線，且Q為切點(diǎn)， ∴PQ2＝PF2－1，當(dāng)PF最長時(shí)，PQ取最大值． 當(dāng)點(diǎn)P與橢圓的左頂點(diǎn)A重合時(shí)，PF有最大值A(chǔ)F＝6. 所以||的最大值為＝.] 13.　[依題意，MF＋MF＝F1F. ∴△MF1F2是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形． 因此MF1·MF2＝F1F2·＝2c·＝c2. 又MF＋MF＝(MF1－MF2)2＋2MF1MF2＝4c2.∴(2a)2＋2c2＝

13、4c2，則c2＝2a2， 故雙曲線的離心率e＝＝.] 14．x2＋y2＝1　[設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝， 則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)， 由AF1＝3F1B，得＝3， 故即 代入方程＋b2＝1，得b2＝， 故所求橢圓E的方程為x2＋y2＝1.] 15．解　(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1， 因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以<1. 解得

14、0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. ·＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝＋8. 由題設(shè)可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程為y＝x＋1. 故圓C的圓心(2，3)在l上，所以MN＝2. 16．解　(1)由題意得∴a2＝12，b2＝3， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)直線AB與圓x2＋y2＝3相切，證明如下： 由題意可設(shè)A(x0，y0)，B(－2，t)(t∈R)， 則直線AB的方程為(y0－t)x－(x0＋2)y＋(tx0＋2y0)＝0， ∵⊥，∴2x0＝ty0，∴t＝， ∵動(dòng)點(diǎn)A在橢圓C上，∴＋＝1，∴y＝12－4x， ∴原

15、點(diǎn)O到直線AB的距離d＝ ＝＝ ＝＝＝， ∴直線AB與圓x2＋y2＝3相切． 17．解　(1)由點(diǎn)P(0，1)在橢圓上，知b＝1， 又離心率e＝＝且a2＝b2＋c2.解得c2＝1，a2＝2， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. 設(shè)M(xM，0)．因?yàn)閙≠0，所以－1

16、|xM||xN|＝＝2. 所以yQ＝或yQ＝－. 故在y軸上存在點(diǎn)Q， 使得∠OQM＝∠ONQ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，)或(0，－)． 18．解　設(shè)橢圓的焦距為2c，則 F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)． (1)因?yàn)锽(0，b)，所以BF2＝＝a. 又BF2＝，故a＝. 因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上， 所以＋＝1.解得b2＝1. 故所求橢圓的方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)锽(0，b)，F(xiàn)2(c，0)在直線AB上， 所以直線AB的方程為＋＝1. 解方程組得 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 又AC垂直于x軸，由橢圓的對(duì)稱性，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為. 因?yàn)橹本€F1C的斜率為＝，直線AB的斜率為－，且F

17、1C⊥AB，所以·＝－1. 又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝. 19．解　(1)依題設(shè)得橢圓的頂點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)， 則直線AB的方程為x＋2y－2＝0， 設(shè)EF的方程為y＝kx(k>0)． 如題圖，設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1

18、. (2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式知，點(diǎn)A，B到EF的距離分別為 h1＝，h2＝.又EF＝4， 所以四邊形AEBF的面積為 S＝EF(h1＋h2)＝ ＝2＝2 ＝2≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即當(dāng)k＝時(shí)，取等號(hào)． 所以S的最大值為2. 20．解　(1)由題設(shè)知a2＝b2＋c2，e＝，由點(diǎn)(1，e)在橢圓上， 得＋＝1，解得b2＝1，于是c2＝a2－1， 又點(diǎn)在橢圓上，所以＋＝1，即＋＝1，解得a2＝2. 因此，所求橢圓的方程是＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，又直線AF1與BF2平行，所以可設(shè)直線AF1的方程為x＋1＝my，直線BF2的方程為x

19、－1＝my. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，y2＞0. 由，得(m2＋2)y－2my1－1＝0， 解得y1＝， 故AF1＝＝ ＝.① 同理，BF2＝.② (ⅰ)由①②得AF1－BF2＝，解＝得m2＝2，注意到m＞0， 故m＝.所以直線AF1的斜率為＝. (ⅱ)證明　因?yàn)橹本€AF1與BF2平行，所以＝，于是＝， 故PF1＝BF1.由B點(diǎn)在橢圓上知BF1＋BF2＝2， 從而PF1＝(2－BF2)．同理PF2＝·(2－AF1)． 因此，PF1＋PF2＝(2－BF2)＋·(2－AF1)＝2－. 又由①②知AF1＋BF2＝，AF1·BF2＝，所以PF1＋PF2＝2－＝.因此，PF1＋PF2是定值．