2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第29講 等比數(shù)列教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第29講 等比數(shù)列教案 新人教版 一．課標要求： 1．通過實例，理解等比數(shù)列的概念； 2．探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式； 3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應的問題。體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。 二．命題走向 等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點。客觀性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應用，對基本的運算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識為工具。 預測07年高考對本講的考察為： （1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應用為主的

2、1~2道客觀題目； （2）關(guān)于等比數(shù)列的實際應用問題或知識交匯題的解答題也是重點； （3）解決問題時注意數(shù)學思想的應用，象通過逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力。 三．要點精講 1．等比數(shù)列定義 一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：數(shù)列對于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零） 2．等比數(shù)列通項公式為：。 說

3、明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則。 3．等比中項 如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）。 4．等比數(shù)列前n項和公式 一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項和是，當時， 或；當q=1時，（錯位相減法）。 說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應用求和公式時，必要時應討論的情況。 四．典例解析 題型1：等比數(shù)列的概念 例1．“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；

4、“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：四個命題中只有最后一個是真命題。 命題1中未考慮各項都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列； 命題2中可知an+1=an×，an+1an，即an+1>an，此時該數(shù)列為遞增數(shù)列； 命題3中，若a=b=0，c∈R，此時有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。

5、 點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。 例2．命題1：若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+b(a≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； 命題2：若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c(a≠0)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列； 命題3：若數(shù)列{an}的前n項和Sn=na－n，則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個命題中，真命題有（ ） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 解析： 由命題1得，a1=a+b，當n≥2時，an=Sn－Sn－1=(a－1)·

6、an－1。若{an}是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當b=－1且a≠0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。 由命題2得，a1=a+b+c，當n≥2時，an=Sn－Sn－1=2na+b－a，若{an}是等差數(shù)列，則a2－a1=2a，即2a－c=2a，所以只有當c=0時，數(shù)列{an}才是等差數(shù)列。 由命題3得，a1=a－1，當n≥2時，an=Sn－Sn－1=a－1，顯然{an}是一個常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當a－1≠0；即a≠1時數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列。 點評：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個命題均涉及到Sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列

7、或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項與其他各項的關(guān)系。上述三個命題都不是真命題，選擇A。 題型2：等比數(shù)列的判定 例3．（xx全國理，20）（Ⅰ）已知數(shù)列｛cn｝，其中cn＝2n＋3n，且數(shù)列｛cn＋1－pcn｝為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（Ⅱ）設(shè)｛an｝、｛bn｝是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn=an+bn，證明數(shù)列｛cn｝不是等比數(shù)列。 解析：（Ⅰ）解：因為｛cn＋1－pcn｝是等比數(shù)列， 故有：（cn＋1－pcn）2＝（cn＋2－pcn＋1）（cn－pcn－1）， 將cn＝2n＋3n代入上式，得： ［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋

8、1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p（2n－1＋3n－1）］， 即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2 ＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］， 整理得（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3。 （Ⅱ）證明：設(shè)｛an｝、｛bn｝的公比分別為p、q，p≠q，cn=an+bn。 為證｛cn｝不是等比數(shù)列只需證c22≠c1·c3。 事實上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq， c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2）， 由于p≠q，p

9、2＋q2＞2pq，又a1、b1不為零， 因此c22≠c1·c3，故｛cn｝不是等比數(shù)列。 點評：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運算能力。 例4．（xx京春，21）如圖3—1，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的圖3—1 內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（n∈N*），證明{an}是等比數(shù)列； 證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=。=sin30°=，所以rn=rn－1（n≥2），于是a1=πr12=，故{an}成等比數(shù)列。 點評：該題考察實際問題的

10、判定，需要對實際問題情景進行分析，最終對應數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。 題型3：等比數(shù)列的通項公式及應用 例5．一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。 解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2； 則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)； 解得a=2，q=3或a=，q=－5； 故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，－，。 點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點

11、是有時計算較繁。 例6．（xx年陜西卷）已知正項數(shù)列，其前項和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項 解析：∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2)。 當a1=3時，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴a1≠3； 當a1=2時,，a3=12， a15=72，有 a32

12、=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3。 點評：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。 題型4：等比數(shù)列的求和公式及應用 例7．（1）（xx年遼寧卷）在等比數(shù)列中,,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ） A． B． C． D． （2）（xx年北京卷）設(shè)，則等于（ ） A． B． C． D． （3）（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數(shù)列的公比q；解析：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列， 則 即，所以，故選擇答案C。

13、（2）D； （3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。 因a1≠0，得S3+S6≠2S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q≠1。 由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得2q6－q3－1=0，從而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－，所以q=－。 點評：對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項公式，對應好首項和公比求出最終結(jié)果即可。 例8．（1）（xx江蘇，18）設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3．分別求出｛an｝及｛bn｝的前10項的和S10及T10； （2

14、）（xx全國春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個正數(shù)a1，a2，a3……，an，使這n＋2個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個正數(shù)b1，b2，b3，……，bn，使這n＋2個數(shù)成等差數(shù)列.記An＝a1a2a3……an，Bn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn. （Ⅰ）求數(shù)列｛An｝和｛Bn｝的通項； （Ⅱ）當n≥7時，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。 （3）（xx天津理，22）已知｛an｝是由非負整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1＝0，a2＝3， an＋1an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5，…． （Ⅰ）求a3； （Ⅱ）證明an＝an－2＋2，n＝3，4，5，…；

15、（Ⅲ）求｛an｝的通項公式及其前n項和Sn。 解析：（1）∵｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列， ∴a2＋a4＝2a3，b2b4＝b32． 已知a2＋a4＝b3，b2b4＝a3， ∴b3＝2a3，a3＝b32． 得 b3＝2b32． ∵b3≠0 ∴b3＝，a3＝． 由a1＝1，a3＝知｛an｝的公差為d＝， ∴S10＝10a1＋． 由b1＝1，b3＝知｛bn｝的公比為q＝或q＝． 當q＝時，， 當q＝時，。 （2）（Ⅰ）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，……，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，……，bn，2。 則A1＝a1＝1·q A2＝1·q·1

16、·q2 A3＝1·q·1·q2·1·q3 又∵an＋2＝1·qn＋1＝2得qn＋1＝2， An＝q·q2…qn＝q（n＝1，2，3…） 又∵bn＋2＝1＋（n＋1）d＝2 ∴（n＋1）d＝1 B1＝b1＝1＋d B2＝b2＋b1＝1＋d＋1＋2d Bn＝1＋d＋…＋1＋nd＝n （Ⅱ）An＞Bn，當n≥7時 證明：當n＝7時，23．5＝8·＝An Bn＝×7，∴An＞Bn 設(shè)當n＝k時，An＞Bn，則當n＝k＋1時， 又∵Ak+1＝· 且Ak＞Bk ∴Ak＋1＞·k ∴Ak＋1－Bk＋1＞ 又∵k＝8，9，10… ∴Ak＋1－Bk＋1＞0，綜上所述，An＞

17、Bn成立. （3）（Ⅰ）解：由題設(shè)得a3a4＝10，且a3、a4均為非負整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10． 若a3＝1，則a4＝10，a5＝，與題設(shè)矛盾． 若a3＝5，則a4＝2，a5＝，與題設(shè)矛盾． 若a3＝10，則a4＝1，a5＝60，a6＝，與題設(shè)矛盾. 所以a3＝2. （Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝3，a3＝a1＋2，等式成立； ②假設(shè)當n＝k（k≥3）時等式成立，即ak＝ak－2＋2,由題設(shè)ak＋1ak＝（ak－1＋2）·（ak－2＋2），因為ak＝ak－2＋2≠0，所以ak＋1＝ak－1＋2， 也就是說，當n＝k＋1時，等式ak＋1＝ak－1＋2成立

18、； 根據(jù)①和②，對于所有n≥3，有an+1=an－1+2。 （Ⅲ）解：由a2k－1＝a2（k－1）－1＋2，a1＝0，及a2k＝a2（k－1）＋2，a2＝3得a2k－1＝2（k－1），a2k＝2k＋1，k＝1，2，3，…，即an＝n＋（－1）n，n＝1，2，3，…。 所以Sn＝ 點評：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項和等基礎(chǔ)知識，以及準確表述，分析和解決問題的能力。 題型5：等比數(shù)列的性質(zhì) 例9．（1）（xx江蘇3）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝（ ） （A）33 （B）72 （C）84

19、 （D）189 （2）（xx上海，12）在等差數(shù)列｛an｝中，若a10＝0，則有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.類比上述性質(zhì)，相應地：在等比數(shù)列｛bn｝中，若b9＝1，則有等式 成立。 解析：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。 （2）答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）； 解：在等差數(shù)列｛an｝中，由a10

20、＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， 所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1， 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1 ∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n， 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n， 相應地等比數(shù)列｛bn｝中，則可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。 點評：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計算能力。 例10．（1）設(shè)首項為

21、正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項和為80，前2n項和為6560，且前n項中數(shù)值最大的項為54，求此數(shù)列的首項和公比q。 （2）在和之間插入n個正數(shù)，使這個數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個數(shù)之積。 （3）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數(shù)列{lgan}的前多少項和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4) 解析：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，依題意設(shè)：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560。 ∵S2n≠2Sn ，∴q≠1； 從而 =80，且=6560。 兩式相除得1+qn=82

22、，即qn=81。 ∴a1=q－1＞0 即q＞1,從而等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，故前n項中數(shù)值最大的項為第n項。 ∴a1qn-1=54,從而(q－1)qn-1=qn-qn-1=54。 ∴qn-1=81－54=27 ∴q==3。 ∴a1=q－1=2 故此數(shù)列的首為2，公比為3。 （2）解法1：設(shè)插入的n個數(shù)為，且公比為q， 則 。 解法2：設(shè)插入的n個數(shù)為， 。 （3）解法一 設(shè)公比為q,項數(shù)為2m,m∈N*， 依題意有：， 化簡得， 設(shè)數(shù)列{lgan}前n項和為Sn， 則Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…

23、+(n－1) =nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3 =(－)·n2+(2lg2+lg3)·n 可見，當n=時，Sn最大， 而=5,故{lgan}的前5項和最大， 解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg， ∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項，以lg為公差的等差數(shù)列， 令lgan≥0，得2lg2－(n－4)lg3≥0， ∴n≤=5.5， 由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項和最大。 點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)

24、點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項等距”的兩項積相等，這在解題中常用到。 題型6：等差、等比綜合問題 例11．（xx年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9，無窮等比數(shù)列各項的和為。 (Ⅰ)求數(shù)列的首項和公比； (Ⅱ)對給定的，設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項之和。 解析：(Ⅰ)依題意可知：， (Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以數(shù)列的的首項為,公差，,即數(shù)列的前10項之和為155。 點評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。 五．思維總結(jié) 1．等比數(shù)列的知識要點（可類比等差數(shù)列學習） （

25、1）掌握等比數(shù)列定義＝q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由an·an＋2＝來判斷； （2）等比數(shù)列的通項公式為an＝a1·qn－1； （3）對于G 是a、b 的等差中項，則G2＝ab，G＝±； （4）特別要注意等比數(shù)列前n 項和公式應分為q＝1與q≠1兩類，當q＝1時，Sn＝na1，當q≠1時，Sn＝，Sn＝。 2．等比數(shù)列的判定方法 ①定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列； ②等比中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。 3．等比數(shù)列的性質(zhì) ①等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公比為，則有； ②對于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。 ③若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，，那么，，成等比數(shù)列。 如下圖所示：