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1、2022年高中數(shù)學(xué) 2、2-1-1-1第1課時 歸納推理同步檢測 新人教版選修2-2
一、選擇題
1.關(guān)于歸納推理,下列說法正確的是( )
A.歸納推理是一般到一般的推理
B.歸納推理是一般到個別的推理
C.歸納推理的結(jié)論一定是正確的
D.歸納推理的結(jié)論是或然性的
[答案] D
[解析] 歸納推理是由特殊到一般的推理,其結(jié)論的正確性不一定.故應(yīng)選D.
2.下列推理是歸納推理的是( )
A.A,B為定點,動點P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式
C.由圓x2+
2、y2=r2的面積πr2,猜出橢圓+=1的面積S=πab
D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇
[答案] B
[解析] 由歸納推理的定義知B是歸納推理,故應(yīng)選B.
3.?dāng)?shù)列{an}:2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )
A.28
B.32
C.33
D.27
[答案] B
[解析] 因為5-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3,猜測x-20=3×4,47-x=3×5,推知x=32.故應(yīng)選B.
4.在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,則猜想an是( )
A.2n-2-
B.2n-2
C.2n-1+
3、1
D.2n+1-4
[答案] B
[解析] ∵a1=0=21-2,
∴a2=2a1+2=2=22-2,
a3=2a2+2=4+2=6=23-2,
a4=2a3+2=12+2=14=24-2,
……
猜想an=2n-2.
故應(yīng)選B.
5.某人為了觀看xx年奧運會,從xx年起,每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄,若年利率為p且保持不變,并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期,到xx年將所有的存款及利息全部取回,則可取回的錢的總數(shù)(元)為( )
A.a(chǎn)(1+p)7
B.a(chǎn)(1+p)8
C.[(1+p)7-(1+p)]
D.[(1+p)8-(1+p)]
[答案
4、] D
[解析] 到2006年5月10日存款及利息為a(1+p).
到2007年5月10日存款及利息為
a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)]
到2008年5月10日存款及利息為
a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)
=a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]
……
所以到2012年5月10日存款及利息為
a[(1+p)7+(1+p)6+…+(1+p)]
=a
=[(1+p)8-(1+p)].
故應(yīng)選D.
6.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通過計算a2,a3,a4,猜想an等于(
5、)
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 因為Sn=n2an,a1=1,
所以S2=4a2=a1+a2?a2==,
S3=9a3=a1+a2+a3?a3===,
S4=16a4=a1+a2+a3+a4
?a4===.
所以猜想an=,故應(yīng)選B.
7.n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表:
根據(jù)規(guī)律,從xx到xx箭頭的方向依次為( )
A.↓→
B.→↑
C.↑→
D.→↓
[答案] C
[解析] 觀察特例的規(guī)律知:位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列,由234可知從xx到xx為↑→,故應(yīng)選C.
8.(xx·山東文,10)觀察(x
6、2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=( )
A.f(x)
B.-f(x)
C.g(x)
D.-g(x)
[答案] D
[解析] 本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容,由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù),
∴g(-x)=-g(x),選D,體現(xiàn)了對學(xué)生觀察能力,概括歸納推理的能力的考查.
9.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456×9+7等于( )
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12
7、345×9+6=111111
…
A.1111110
B.1111111
C.1111112
D.1111113
[答案] B
[解析] 根據(jù)規(guī)律應(yīng)為7個1,故應(yīng)選B.
10.把1、3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形(如下圖),
試求第七個三角形數(shù)是( )
A.27
B.28
C.29
D.30
[答案] B
[解析] 觀察歸納可知第n個三角形數(shù)共有點數(shù):1+2+3+4+…+n=個,∴第七個三角形數(shù)為=28.
二、填空題
11.觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中,第n個圖形由n個正方形
8、組成:
通過觀察可以發(fā)現(xiàn):第4個圖形中,火柴桿有________根;第n個圖形中,火柴桿有________根.
[答案] 13,3n+1
[解析] 第一個圖形有4根,第2個圖形有7根,第3個圖形有10根,第4個圖形有13根……猜想第n個圖形有3n+1根.
12.從1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中,可得一般規(guī)律是__________________.
[答案] n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
[解析] 第1式有1個數(shù),第2式有3個數(shù)相加,第3式有5個數(shù)相加,故猜想第n個式子有2n-1個數(shù)相加,且第n個式子的第一個加數(shù)為n,每數(shù)增
9、加1,共有2n-1個數(shù)相加,故第n個式子為:
n+(n+1)+(n+2)+…+{n+[(2n-1)-1]}
=(2n-1)2,
即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
13.觀察下圖中各正方形圖案,每條邊上有n(n≥2)個圓圈,每個圖案中圓圈的總數(shù)是S,按此規(guī)律推出S與n的關(guān)系式為________.
[答案] S=4(n-1)(n≥2)
[解析] 每條邊上有2個圓圈時共有S=4個;每條邊上有3個圓圈時,共有S=8個;每條邊上有4個圓圈時,共有S=12個.可見每條邊上增加一個點,則S增加4,∴S與n的關(guān)系為S=4(n-1)(n≥2).
14.(xx·浙
10、江理,15)觀察下列等式:
C+C=23-2,
C+C+C=27+23,
C+C+C+C=211-25,
C+C+C+C+C=215+27,
……
由以上等式推測到一個一般的結(jié)論:
對于n∈N*,C+C+C+…+C=__________________.
[答案] 24n-1+(-1)n22n-1
[解析] 本小題主要考查歸納推理的能力
等式右端第一項指數(shù)3,7,11,15,…構(gòu)成的數(shù)列通項公式為an=4n-1,第二項指數(shù)1,3,5,7,…的通項公式bn=2n-1,兩項中間等號正、負(fù)相間出現(xiàn),∴右端=24n-1+(-1)n22n-1.
三、解答題
15.在△AB
11、C中,不等式++≥成立,
在四邊形ABCD中,不等式+++≥成立,
在五邊形ABCDE中,不等式++++≥成立,猜想在n邊形A1A2…An中,有怎樣的不等式成立?
[解析] 根據(jù)已知特殊的數(shù)值:、、,…,總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律:(n≥3).
∴在n邊形A1A2…An中:++…+≥(n≥3).
16.下圖中(1)、(2)、(3)、(4)為四個平面圖.?dāng)?shù)一數(shù)每個平面圖各有多少個頂點?多少條邊?它們圍成了多少個區(qū)域?并將結(jié)果填入下表中.
平面區(qū)域
頂點數(shù)
邊數(shù)
區(qū)域數(shù)
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)觀察上表,推斷
12、一個平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系?
(2)現(xiàn)已知某個平面圖有999個頂點,且圍成了999個區(qū)域,試根據(jù)以上關(guān)系確定這個平面圖有多少條邊?
[解析] 各平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)如下表:
平面區(qū)域
頂點數(shù)
邊數(shù)
區(qū)域數(shù)
關(guān)系
(1)
3
3
2
3+2-3=2
(2)
8
12
6
8+6-12=2
(3)
6
9
5
6+5-9=2
(4)
10
15
7
10+7-15=2
結(jié)論
V
E
F
V+F-E=2
推廣
999
E
999
E=999+999-2
=1996
其頂點數(shù)V,邊數(shù)E,平面區(qū)
13、域數(shù)F滿足關(guān)系式V+F-E=2.
故可猜想此平面圖可能有1996條邊.
17.在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升,注入濃度為p%的溶液a升,攪勻后再倒出溶液a升,這叫一次操作,設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%),計算b1、b2、b3,并歸納出bn的計算公式.
[解析] b1==,
b2==.
b3=
=,
∴歸納得bn=.
18.設(shè)f(n)=n2+n+41,n∈N+,計算f(1),f(2),f(3),…,f(10)的值,同時作出歸納推理,并用n=40驗證猜想是否正確.
[解析] f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,
f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,
f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,
f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,
f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都為質(zhì)數(shù).
即:當(dāng)n取任何非負(fù)整數(shù)時f(n)=n2+n+41的值為質(zhì)數(shù).
但是當(dāng)n=40時,f(40)=402+40+41=1681為合數(shù).
所以,上面由歸納推理得到的猜想不正確.