2022年高考數(shù)學大一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語學案 文 新人教版

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1、 2022年高考數(shù)學大一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語學案 文 新人教版 [基礎知識深耕] 一、集合的基本概念 1．集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性． 2．元素與集合的關系：屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?. 3．常見數(shù)集的符號表示： 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 表示 N N＋(N*) Z Q R 解集合問題時的“四看”： 一看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解題時需分清是點集、數(shù)集還是其他集合； 二看元素組成：集合是由元素組成的，從研究集合的元素入手是解集合題的常用方法； 三看能否化簡：有些集

2、合是可以化簡的，如果先化簡再研究其關系，可使問題變得簡捷； 四看能否數(shù)形結(jié)合：常運用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標軸和Venn圖． 二、集合間的基本關系 1．子集：若對?x∈A，都有x∈B，則A?B(或B?A)． 2．真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，則AB(或BA)． 3．相等：若A?B，且B?A，則A＝B. 4．空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 【拓展延伸】　集合間基本關系中的“四結(jié)論”： (1)空集是任意一個集合的子集，是任意一個非空集合的真子集； (2)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一個子集，即它本身； (3)集合的

3、子集和真子集具有傳遞性，即若A?B，B?C，則A?C；若AB，BC，則AC； (4)含有n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個非空子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集． 三、集合的基本運算 并集 交集 補集 符號 表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為?UA 圖形 表示 意義 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 【拓展延伸】　1.集合間的兩個等價轉(zhuǎn)換關系 (1)A∩B＝A?A?B； (2)A∪B＝A?B?A. 2．集合間運算的兩個常用結(jié)論： (1)?U(A

4、∩B)＝(?UA)∪(?UB)； (2)?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． [基礎能力提升] 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　 1．下列說法正確的是(　　) A．很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合 B.∈Q C．集合{y|y＝x2－1}與{(x，y)|y＝x2－1}是同一集合 D．1，，，，0.5這些數(shù)構(gòu)成的集合有3個元素 【解析】　A選項不滿足集合中元素的確定性，錯誤；是無理數(shù)，故?Q，B錯；C中兩集合不同，一個是數(shù)集，另一個是點集，不是同一集合，錯誤；D選項正確． 【答案】　D 2．已知集合A＝{0,1}，則下列式子錯誤的是(　　) A．0∈A B．{1}∈A

5、 C．??A D．{0,1}?A 【解析】　∵{1}?A，∴{1}∈A錯誤，其余均正確． 【答案】　B 3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1＜x＜4}，則(　　) A．M?N B．N＝M C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝(1,4) 【解析】　∵N＝{x∈Z|1＜x＜4}＝{2,3}， ∴M∩N＝{2,3}． 【答案】　C 4．設全集U＝{2,3,4,5,6}，?UA＝{3,5}，則A＝________. 【解析】　∵?UA∪A＝U，?UA∩A＝?. ∴A＝{2,4,6}． 【答案】　{2,4,6} 1．兩個工具：數(shù)軸、Venn圖 2．兩種思想：數(shù)

6、形結(jié)合思想、分類討論思想 3．四個防范：(1)集合問題解題中要認清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合)，要對集合進行化簡． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關注對空集的討論，防止漏解． (3)解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系． (4)Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心． 第二節(jié)　命題及其關系、充分條件與必要條件 [基礎知識深耕] 一、命題的概念 在數(shù)學中把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判

7、斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題． 二、四種命題及其關系 1．四種命題間的相互關系 【方法技巧】　寫一個命題的其他三個命題時需要注意的問題： (1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫； (2)當命題有大前提時，寫其他三種命題時需保留大前提； (3)對于有多個并列條件的命題，應把其中一個作為大前提． 2．四種命題的真假關系 (1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性． (2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系． 【拓展延伸】　同一個命題的四種命題中真命題的個數(shù)： 在同一個命題的四種命題中，真命題的個數(shù)可能是0，或2，或4.

8、 三、充分條件與必要條件 1．如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． 2．如果p?q，那么p與q互為充要條件． 3．如果pq，且qp，則p是q的既不充分又不必要條件． 【拓展延伸】　充分不必要條件與必要不充分條件： (1)如果p?q，但qp，則p是q的充分不必要條件． (2)如果q?p，但pq，則p是q的必要不充分條件． [基礎能力提升] 1．下列語句是命題的為(　　) A．作△ABC≌△A′B′C′ B．等邊三角形是等腰三角形嗎？ C．一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù) D．平行四邊形 【解析】　根據(jù)命題的概念可知A，B，D不是命題．C是命題，是假命題． 【答案

9、】　C 2．命題“若a?A，則b∈B”的否命題是(　　) A．若a?A，則b?B B．若a∈A，則b?B C．若b∈B，則a?A D．若b?B，則a∈A 【解析】　“若p，則q”的否命題為“若綈p，則綈q”，B正確． 【答案】　B 3．已知p：|x|≤2，q：0≤x≤2，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【解析】　∵|x|≤2?－2≤x≤2，但由－2≤x≤2不能得到0≤x≤2；而由0≤x≤2能得出－2≤x≤2，故p是q的必要不充分條件． 【答案】　B 4．有三個命題： (1)“若x＋y＝0，則x，y互為相

10、反數(shù)”的逆命題； (2)“若a>b，則a2>b2”的逆否命題； (3)“若x≤－3，則x2＋x－6>0”的否命題． 其中真命題的個數(shù)為________． 【解析】　(1)真；(2)原命題假，其逆否命題也假；(3)原命題的逆命題假，則原命題的否命題假． 【答案】　1 1．一個區(qū)別：否命題與命題的否定是兩個不同的概念．否命題同時否定原命題的條件和結(jié)論，命題的否定僅僅否定原命題的結(jié)論(條件不變)． 2．兩條規(guī)律：四種命題間關系的兩條規(guī)律 (1)逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假． (2)當判斷一個命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假．同

11、時要關注“特例法”的應用． 3．三個防范：判斷充分、必要條件時的三個防范 (1)分清四種條件的定義間的區(qū)別與聯(lián)系． (2)弄清“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的不同． (3)注意題目中的大前提． 第三節(jié)　簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 [基礎知識深耕] 一、邏輯聯(lián)結(jié)詞 1．概念 用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到新命題p且q，記作p∧q； 用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到新命題p或q，記作p∨q； 對命題p的結(jié)論進行否定，得到新命題非p，記作綈p. 2．命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷 p q p∧q

12、 p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 【拓展延伸】　常見詞語的否定形式 正面詞語 ＝ ＞ ＜ 是 都是 至多有一個 至少有一個 任意 所有的 否定 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 至少兩個 一個也沒有 某個 某些 二、全稱量詞與存在量詞 1．全稱量詞與全稱命題 (1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示． (2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題． (3)全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為

13、?x∈M，p(x)． 2．存在量詞與特稱命題 (1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示． (2)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題． (3)特稱命題“存在M中的一個x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為?x0∈M，p(x0)． 3．含有一個量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) 【方法技巧】　對含有一個量詞的命題否定時要注意的問題： (1)含有一個量詞的命題的否定，是在否定結(jié)論的同時，改變量詞的屬性，不要只否定結(jié)論，不改量詞． (2)由于全稱

14、量詞經(jīng)常省略，因此寫這類命題的否定時，應先找出其中的全稱量詞，再否定量詞和結(jié)論． [基礎能力提升] 1．已知命題p：若x＋y>0，則x，y中至少有一個大于0，則綈p為(　　) A．若x＋y>0，則x，y中至多有一個大于0 B．若x＋y>0，則x，y都不大于0 C．若x＋y≤0，則x，y中至多有一個大于0 D．若x＋y≤0，則x，y都不大于0 【解析】　注意與否命題的區(qū)別，否命題中條件、結(jié)論全否定；命題的否定“綈p”只需否定命題“p”的結(jié)論，故選B. 【答案】　B 2．如果命題“綈(p∨q)”是假命題，則下列命題正確的是(　　) A．p，q均為真命題 B．p，q中至少有一個

15、為真命題 C．p，q均為假命題 D．p，q中至少有一個為假命題 【解析】　∵綈(p∨q)為假命題，∴p∨q為真命題，∴p，q中至少有一個為真命題． 【答案】　B 3．下列說法正確的是(　　) A．命題“三角形的內(nèi)角和是180°”不是全稱命題 B．“?x∈R，x3>0”是假命題 C．“?x0∈R，tan x0＝1”是假命題 D．命題“?n∈N,2n<1 000”的否定是“?n∈N,2n>1 000” 【解析】　A選項中命題是省略了量詞的全稱命題；∵當x<0時，x3<0，∴B正確；C中命題是真命題；D中命題的否定應為“?n∈N,2n≥1 000”． 【答案】　B 4．已知四

16、個命題為： ①?x∈R,2x－1>0；②?x∈N*，(x－1)2>0； ③?x0∈R，lg x0<1；④?x0∈R，tan x0＝2. 其中假命題是________． 【解析】　由函數(shù)的性質(zhì)，顯然①、③、④是真命題，對于②，當x＝1時，(x－1)2＝0，∴②是假命題． 【答案】?、? 1．一個關系：邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關系 邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”對應著集合中的“交”“并”“補”． 2．兩個易錯點：(1)對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再寫出命題的否定． (2)p或q的否定易誤寫成“綈p或綈q”；p且q的否定易誤寫成“綈p且綈q”． 3．三種方法：(1)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假判斷的方法：p∧q中一假則假，p∨q中一真必真，p與綈p中一假一真． (2)含量詞的命題的否定方法是“改量詞，否結(jié)論”，即把全稱量詞與存在量詞互換，然后否定原命題的結(jié)論． (3)判斷命題的真假要注意：全稱命題為真需證明，為假舉反例即可；特稱命題為真需舉一個例子，為假則要證明全稱命題為真．