2022年高三數(shù)學(xué)第一次診斷性考試試題 文(含解析)新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次診斷性考試試題 文(含解析)新人教A版 第I卷(共50分) 【試卷綜析】試題在重視基礎(chǔ),突出能力,體現(xiàn)課改,著眼穩(wěn)定,實(shí)現(xiàn)了新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題與老高考試題的嘗試性對(duì)接. 縱觀新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì),凸顯數(shù)學(xué)思想,強(qiáng)化思維量,控制運(yùn)算量,突出綜合性,破除了試卷的八股模式,以全新的面貌來(lái)詮釋新課改的理念,試題圖文并茂,文字闡述清晰,圖形設(shè)計(jì)簡(jiǎn)明,無(wú)論是在試卷的結(jié)構(gòu)安排方面,還是試題背景的設(shè)計(jì)方面,都進(jìn)行了大膽的改革和有益的探索,應(yīng)當(dāng)說(shuō)是一份很有特色的試題. 一、選擇題:本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合
2、題目要求的. 【題文】1.已知集合 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式的解法;集合運(yùn)算. A1 E3 【答案解析】D 解析:,所以,故選D. 【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)集合N,求得. 【題文】2.已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)等于 A.2 B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算. L4 【答案解析】A 解析:由=是純虛數(shù)得:, 解得a=2,故選A. 【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件求得a值. 【題文】3.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的 A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必
3、要條件 D.既不充分又不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性. B3 【答案解析】B 解析:函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)的充要條件是: ,即.又是的真子集,所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的充分不必要條件,故選B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)集合關(guān)系,若A是B的真子集,則A是B的充分不必要條件. 【題文】4.已知函數(shù),則實(shí)數(shù)的值等于 A.1 B.2 C.3 D.4 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)值的意義. B1 【答案解析】B 解析:因?yàn)?,所以? ,即a=1.故選B. 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)值的意義得關(guān)于a的方程即可. 【題文】5.已知兩個(gè)不同的平面和兩個(gè)不重合的直線m、n,有下列四個(gè)命
4、題: ①若; ②若; ③若; ④若. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系;空間中的垂直關(guān)系. G4 G5 【答案解析】D 解析:根據(jù)線面垂直的定義、平行線的性質(zhì)、線面垂直的判定得①正確; 由線面垂直的性質(zhì)、面面平行的判定定理得②正確;因?yàn)?。所以? 又因?yàn)椋?,故③正確;若,則m與n可能平行,也可能異面,故④不正確,所以選D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)空間線、面平行于垂直的判定與性質(zhì),一一判斷每個(gè)命題的正誤. 【題文】6.若實(shí)數(shù)滿足條件,則的最大值是 A.8 B.7 C.4 D.2 【知識(shí)點(diǎn)】
5、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題. E5 【答案解析】B解析:設(shè),畫出可行域,平移目標(biāo)函數(shù)z=0時(shí)的直線y=-2x,得使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解是直線x-y=2與直線x+y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)(3,1),所以的最大值是,故選B. 【思路點(diǎn)撥】畫出可行域,平移直線y=-2x,得使取得最大值的最優(yōu)解是直線x-y=2與直線x+y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)(3,1),所以的最大值是7. 【題文】7.一個(gè)三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面是正三角形,其正(主)視圖如右圖所示.該三棱錐側(cè)面積和體積分別是 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖;空間幾何體的結(jié)構(gòu). G1 G2 【答案解析】A解析:根據(jù)
6、題意知,此幾何體是底面邊長(zhǎng)2, 高為2 的正三棱錐,則底面正三角形的高為,從而斜高為,所以該三棱錐側(cè)面積為,體積為,故選A. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖可得該幾何體的結(jié)構(gòu)是底面邊長(zhǎng)2,高為2 的正三棱錐,則底面正三角形的高為,從而斜高為,由此求得該三棱錐側(cè)面積和體積. 【題文】8.若函數(shù)的大致圖像如右圖, 其中為常數(shù),則函數(shù)的大致圖像是 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的應(yīng)用. B8 【答案解析】B解析:由函數(shù)的大致圖像可得:所以是減函數(shù),的圖像由圖像向上平移b個(gè)單位得到,所以函數(shù)的大致圖像是B,故選B. 【思路點(diǎn)撥】由已知函數(shù)圖像得,所以是減函數(shù),的
7、圖像由圖像向上平移b個(gè)單位得到,所以函數(shù)的大致圖像是B. 【題文】9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此直線的斜率的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì). H6 【答案解析】A解析:此直線從與第二、四象限漸近線平行開始,繞焦點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與第一、三象限漸近線平行為止,這個(gè)過(guò)程中直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),所以此直線的斜率的取值范圍是,故選A. 【思路點(diǎn)撥】首先分析出,過(guò)點(diǎn)F與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線位置的圖形表現(xiàn),然后求出其斜率的取值范圍. 【題文】10.設(shè)向量,定義一種運(yùn)算“”。向量
8、.已知,點(diǎn)的圖象上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)且滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則的最小值為 A. B. C.2 D. 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算. F2 【答案解析】B解析:根據(jù)題意得: =,設(shè)Q(X,Y),則(x是參數(shù)) 所以,即,所以的最小值為:-2, 故選B. 【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)得,設(shè)Q(X,Y),則(x是參數(shù)),所以,即,所以的最小值為:-2. 第II卷(非選擇題 共100分) 二、填空題:本大題共5個(gè)小題,每小題5分,共25分.將答案填在題中橫線上. 【題文】11.某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值等于_________. 【知識(shí)點(diǎn)】算法與程序框圖
9、. L1 【答案解析】解析:由程序框圖得循環(huán)過(guò)程中S,k的值依次為:(1)(2) (3) (4),此時(shí)滿足 ,所以輸出 = . 【思路點(diǎn)撥】由框圖得循環(huán)過(guò)程中S,k依次取的值,從而得到該程序運(yùn)行后輸出的值. 【題文】12.函數(shù)的圖像,其部分圖象如圖所示,則_______. 【知識(shí)點(diǎn)】的圖像與性質(zhì). C4 【答案解析】解析:由圖像得周期T=, 從而,所以,又是函數(shù)增區(qū)間上的零點(diǎn),所以,所以, 所以. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖像確定函數(shù)的周期、初相,從而得到函數(shù)解析式,進(jìn)而求得的值. 【題文】13.已知圓C過(guò)點(diǎn),且圓心在軸的負(fù)半軸上,直線被該圓所截得的弦
10、長(zhǎng)為,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.] 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. H3 H4 【答案解析】解析:設(shè)圓心C(a,0),則C到直線y=x+1的距離d=, 圓半徑,由勾股定理得,解得a=1(舍去)或a=-3,所以圓心C(-3,0),半徑2,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題設(shè)條件及垂徑定理,求得圓心坐標(biāo)及半徑從而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【題文】14.下面給出的四個(gè)命題中: ①以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為; ②若,則直線與直線相互垂直; ③命題“,使得”的否定是“,都有”; ④將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象。
11、 其中是真命題的有___________(將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)。 【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假. A2 【答案解析】①②③ 解析:因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1,0),且F到原點(diǎn)的距離為1, 所以,以F為圓心坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為,故①正確;當(dāng)m=-2時(shí) ,兩直線方程分別為,顯然這兩條直線垂直,故②正確;根據(jù)含量詞的命題的否定知命題③正確;將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,故④不正確.所以填①②③. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,直線互相垂直的條件,含量詞的命題的否定方法,確定命題①、②、③正確;根據(jù)圖像左右的口訣:左加、右減,得命題④不正確. 【題文】15.已知恒成立,
12、則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______. 【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式.E1 【答案解析】-4<m<2 解析:解:解:根據(jù)題意,x>0,y>0,則,即的最小值為8, 若恒成立,必有m2+2m<8恒成立,m2+2m<8?m2+2m-8<0, 解可得,-4<m<2,故答案為-4<m<2. 【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是利用基本不等式求出的最小值. 三、解答題:本大題共6個(gè)小題.共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 【題文】16.(本小題滿分12分) 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為,且滿足. (I)求的面積; (II)若、的值. 【知識(shí)點(diǎn)】解三角形. C8 【答案解析】
13、(I)2;(II) 解析:(I) ------2分 而----4分 又-----5分 ------6分 (II)而c=1,-------9分 ------10分 又.-------12分 【思路點(diǎn)撥】(I)利用二倍角公式,再由平方關(guān)系求,由向量的數(shù)量積定義式求出bc,再用三角形面積個(gè)公式求解;(II)由(I)的結(jié)論及c=1得b=5,再根據(jù)余弦定理求a, 正弦定理求. 【題文】17.(本小題滿分12分) 如圖所示,平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,且分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn). (I)求證:BC//平面EFG; (II)求證:平面AEG; (III)
14、求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比. 【知識(shí)點(diǎn)】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì);錐體的體積. G1 G4 G5 【答案解析】(Ⅰ)略;(Ⅱ)略;(Ⅲ) 解析:(Ⅰ)∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF..........2分 ∥平面EFG............3分 (Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DH ,即 AE⊥DH..........5分 ∵△ADG≌△DCH ,∴∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG 又∵AE∩AG=A,∴DH⊥平面AEG............8分
15、 (Ⅲ)............... 10分 ...............12分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)根據(jù)線面平行的判定定理,只需證;(Ⅱ)根據(jù)線面垂直的判定定理,只需證DH與平面AEG中的兩條相交直線AE、AG都垂直盡即可; (Ⅲ), 而,由此求得三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比. 【題文】18.(本小題滿分12分) 某公司有男職員45名,女職員15名,按照分層抽樣的方法組建了一個(gè)4人的科研攻關(guān)小組. (I)求某職員被抽到的概率及科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù); (II)經(jīng)過(guò)一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論,這個(gè)科研攻關(guān)組決定選出兩名職員做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn),方法是先從小組里選出1名職
16、員做實(shí)驗(yàn),該職員做完后,再?gòu)男〗M內(nèi)剩下的職員中選一名做實(shí)驗(yàn),求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率; (III)試驗(yàn)結(jié)束后,第一次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為68,70,71,72,74,第二次做試驗(yàn)的職員得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74,請(qǐng)問(wèn)哪位職員的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定?并說(shuō)明理由. 【知識(shí)點(diǎn)】抽樣方法;古典概型;一組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征. I1 K2 【答案解析】(I)某職員被抽到的概率為,男、女職員的人數(shù)分別為3,1;(II); (III)第二次做試驗(yàn)的職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定,(理由:略). 解析:(I)某職員被抽到的概率為--2分 設(shè)有x名職員,則,男、女職員的人數(shù)分別為3,
17、1----4分 (II)把3名男職員和1名女職員記為,則選取兩名小于的基本事件有 共12 種,其中有一名女職員的有6種,所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為---------8分 (Ⅲ), , 第二次做試驗(yàn)的職員做的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定………………………12分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)利用古典概型的概率公式某職員被抽到的概率,由抽樣比乘以每層的人數(shù)為此層抽到的人數(shù),得科研攻關(guān)小組中男、女職員的人數(shù);(Ⅱ)從這4名職員中有順序的抽取兩名職員的情況用列舉法知有12種,其中恰有一名女職員的有6種,據(jù)此得所求概率;(Ⅲ)分別求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差,比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差得距結(jié)論. 【
18、題文】19.(本小題滿分12分) 在數(shù)列中,已知. (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (II)求證:數(shù)列是等差數(shù)列; (III)設(shè)數(shù)列滿足的前項(xiàng)和. 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;等比數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. D2 D3 【答案解析】(I);(II)略;(III). 解析:(I) ,∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, ∴.…………………………………………………………………3分 (II) ………………………………………………………………4分 ∴.………………………………………………………6分 ∴,公差 ∴數(shù)列是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列. ……………………
19、…………7分 (III)由(1)知,, ∴ ……………………………………………………8分 ∴ ……………………………10分 …………………………12分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)易知數(shù)列是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得; (Ⅱ)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用通項(xiàng)公式判斷數(shù)列是等差數(shù)列; (Ⅲ)由于數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列通項(xiàng)的和構(gòu)成的,所以用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【題文】20.(本小題滿分13分) 已知函數(shù). (I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (II)若直線是曲線的切線,求實(shí)數(shù)的值; (III)設(shè)在區(qū)間上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) 【知識(shí)點(diǎn)
20、】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B12 【答案解析】(I)的單調(diào)遞減區(qū)間是和,單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2); (II)1;(III)當(dāng)時(shí),最小值為;當(dāng)時(shí),的最小值=;當(dāng)時(shí),最小值為. 解析:(I)----------3分 在區(qū)間和上,;在區(qū)間(0,2)上, 所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是和,單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2).---4分 (II)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則---------7分 解得.-----------8分 (Ⅲ), 則, …………………9分 解,得, 所以,在區(qū)間上,為遞減函數(shù), 在區(qū)間上,為遞增函數(shù).
21、 ……………10分 當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上,為遞增函數(shù), 所以最小值為. 當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上,為遞減函數(shù), 所以最小值為. ………………11分 當(dāng),即時(shí),最小值 =. ………………12分 綜上所述,當(dāng)時(shí),最小值為;當(dāng)時(shí),的最小值=;當(dāng)時(shí),最小值為. ………13分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)由定義域上,導(dǎo)函數(shù)大于0的區(qū)間是增區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)小于0的區(qū)間是減區(qū)間求得結(jié)論;(Ⅱ)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)及字母常數(shù)a的方程組,求得實(shí)數(shù)a;(Ⅲ)導(dǎo)數(shù)法求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最
22、值. 【題文】21.(本小題滿分14分) 已知橢圓過(guò)點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4. (I)求橢圓C的方程; (II)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),O是以為直徑的圓,直線O相切,并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,若,求k的值. 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與橢圓的關(guān)系.H5,H8 【答案解析】(I) (II) 解析:解:(Ⅰ)由題意,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng),得,…………2分 ∵點(diǎn)在橢圓上,∴得,…………4分 ∴橢圓的方程為.………………6分 (II)由直線L與圓O相切,得,即,設(shè)由消去y,整理得,由題意可知圓O在橢圓內(nèi),所以直線必與橢圓相交 …………10分 ∴………………11分 ∵,∴.………………12分 ∵,∴,,得k的值為.…………13分 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可直接求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系列出關(guān)系式求出K的取值.
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