2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊一 離散型隨機(jī)變量及其分布列2完整講義(學(xué)生版)

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊一 離散型隨機(jī)變量及其分布列2完整講義(學(xué)生版) 知識(shí)內(nèi)容 1. 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗(yàn)中,試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示,并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的,我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫(xiě)字母表示. 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái),則稱為離散型隨機(jī)變量. ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示: … … … … 我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布,或稱為

2、離散型隨機(jī)變量的分布列. 2.幾類典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中,,則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布. 二點(diǎn)分布舉例:某次抽查活動(dòng)中,一件產(chǎn)品合格記為,不合格記為,已知產(chǎn)品的合格率為,隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果,則的分布列滿足二點(diǎn)分布. 兩點(diǎn)分布又稱分布,由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn),所以這種分布又稱為伯努利分布. ⑵超幾何分布 一般地,設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品,其中一類有件,從所有物品中任取件,這件中所含這類物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它取值為時(shí)的概率為 ,為和中較

3、小的一個(gè). 我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布,也稱服從參數(shù)為,,的超幾何分布.在超幾何分布中,只要知道,和,就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率,從而列出的分布列. ⑶二項(xiàng)分布 1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn),只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及,并且事件發(fā)生的概率相同.在相同的條件下,重復(fù)地做次試驗(yàn),各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立,那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn).次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為. 2.二項(xiàng)分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為,事件不發(fā)生的概率為,那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率是,其中.于是得到的分布列 … …

4、… … 由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值,所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布, 記作. 二項(xiàng)分布的均值與方差: 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布,則 ,. ⑷正態(tài)分布 1. 概率密度曲線:樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,在樣本容量越來(lái)越大時(shí), 直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中,如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量,則這條曲線稱為的概率密度曲線. 曲線位于橫軸的上方,它與橫軸一起所圍成的面積是,而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積. 2.正態(tài)分布 ⑴定義:如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的,而

5、且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用,則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布. 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量,簡(jiǎn)稱正態(tài)變量. 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為,,其中,是參數(shù),且,. 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作. 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線. ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:我們把數(shù)學(xué)期望為,標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. ⑶重要結(jié)論: ①正態(tài)變量在區(qū)間,,內(nèi),取值的概率分別是,,. ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為,在區(qū)間之外的取值的概率是,故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)

6、準(zhǔn)差之內(nèi),這就是正態(tài)分布的原則. ⑷若,為其概率密度函數(shù),則稱為概率分布函數(shù),特別的,,稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù). . 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得. 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求,適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可. 3.離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義:一般地,設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是,,…,,這些值對(duì)應(yīng)的概率是,,…,,則,叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望). 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平. 2.離散型隨機(jī)變量的方差 一般地,設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是,,…

7、,,這些值對(duì)應(yīng)的概率是,,…,,則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差. 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度). 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量. 3.為隨機(jī)變量,為常數(shù),則; 4. 典型分布的期望與方差: ⑴二點(diǎn)分布:在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為,在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中,離散型隨機(jī)變量的期望取值為. ⑵二項(xiàng)分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布,則,. ⑶超幾何分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布, 則,. 4.事件的獨(dú)立性 如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生

8、的概率沒(méi)有影響,即, 這時(shí),我們稱兩個(gè)事件,相互獨(dú)立,并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件. 如果事件,,…,相互獨(dú)立,那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率,等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,即,并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立. 5.條件概率 對(duì)于任何兩個(gè)事件和,在已知事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率叫做條件概率,用符號(hào)“”來(lái)表示.把由事件與的交(或積),記做(或). 典例分析 離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì) 【例1】 袋中有大小相同的5個(gè)球,分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼,現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球,設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量,則所有可能取值的個(gè)數(shù)

9、是( ) A.5 B.9 C.10 D.25 【例2】 下列表中能成為隨機(jī)變量的分布列的是 A. -1 0 1 0.3 0.4 0.4 B. 1 2 3 0.4 0.7 -0.1 C. -1 0 1 0.3 0.4 0.3 D. 1 2 3 0.3 0.4 0.4 【例3】 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.1

10、0.3 0.3 求⑴的分布列;⑵的分布列. 【例4】 已知隨機(jī)變量的分布列為: 分別求出隨機(jī)變量的分布列. 【例5】 袋中有個(gè)大小規(guī)格相同的球,其中含有個(gè)紅球,從中任取個(gè)球,求取出的個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)的概率分布. 【例6】 某人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試,已知在備選的10道試題中,能答對(duì)其中的6道題,規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試,求答對(duì)試題數(shù)的概率分布.

11、【例7】 盒中的零件有9個(gè)正品和3個(gè)次品,每次取一個(gè)零件,如果取出的次品不放回,求在取得正品前已取出的次品數(shù)的概率分布. 【例8】 有六節(jié)電池,其中有2只沒(méi)電,4只有電,每次隨機(jī)抽取一個(gè)測(cè)試,不放回,直至分清楚有電沒(méi)電為止,所要測(cè)試的次數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列. 【例9】 在10件產(chǎn)品中有2件次品,連續(xù)抽3次,每次抽1件,求: ⑴不放回抽樣時(shí),抽到次品數(shù)的分布列; ⑵放回抽樣時(shí),抽到次品數(shù)的分布列. 【例10】 設(shè)隨機(jī)變量所有可能取值為,且已知概率與成正比,求的分布. 【例11】 某一隨機(jī)變量的概率分布如下

12、表,且,則的值為( )   A.   B.    C.   D. 0 1 2 3 【例12】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為,則的值為( ) A .1 B. C. D. 【例13】 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列如下表,求的值 -1 0 1 【例14】 隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為,其中是常數(shù),則的值為( )   A. B. C. D. 【例15】 一批產(chǎn)品分為一、二

13、、三級(jí),其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍,三級(jí)品為二級(jí)品的一半,從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn),其級(jí)別為隨機(jī)變量,則( ) A. B. C. D. 【例16】 某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下: 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)”的概率________. 【例17】 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 P 1/3 1/2 1/6 求⑴;⑵.

14、 【例18】 隨機(jī)變量的分布列,為常數(shù),則( ) A. B. C. D. 【例19】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為,其中為常數(shù),則的值為( ) A. B. C. D. 【例20】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為,求的取值. 【例21】 已知為離散型隨機(jī)變量的概率分布,求的取值. 【例22】 若,,其中,則等于( ) A. B. C. D. 【例23】 甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員輪流投籃直至

15、有人投中為止,設(shè)每次投籃甲投中的概率為,乙投中的概率為,而且每次不受其他次投籃結(jié)果的影響,甲投籃的次數(shù)為,若甲先投,則_________. 【例24】 某人的興趣小組中,有名三好生,現(xiàn)從中任意選人參加競(jìng)賽,用表示這人中三好生的人數(shù),則________. 【例25】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下: … … 求常數(shù)的值. 【例26】 設(shè)隨機(jī)變量等可能的取值,如果,那么( ) A. B. C. D.

16、 【例27】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為,則的值是( ) A. B. C. D. 【例28】 已知隨機(jī)變量的分布列為,則 . 【例29】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布是,為常數(shù),,則( ) A. B. C. D. 離散型隨機(jī)分布列的計(jì)算 【例30】 在第路公共汽車都要依靠的一個(gè)站(假設(shè)這個(gè)站只能??恳惠v汽車),有一位乘客等候第路或第路汽車.假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可能性都是相等,則首先到站正好是這位乘客所需求的汽車的

17、概率等于 . 【例31】 在個(gè)村莊中有個(gè)村莊交通不便,現(xiàn)從中任意選取個(gè)村莊,其中有個(gè)村莊交通不便,下列概率中等于的是( ) A. B. C. D. 【例32】 已知隨機(jī)量服從正態(tài)分布,且,則( ) A. B. C. D. 【例33】 某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題,按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作.規(guī)定:至少正確完成其中2題的便可提高通過(guò).已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確

18、完成與否互不影響.分別寫(xiě)出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列. 【例34】 一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球,已知紅球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍,黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半.現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一個(gè)球,若取出紅球得1分,取出黃球得0分,取出綠球得分,試寫(xiě)出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)的分布列,并求出所得分?jǐn)?shù)不為0的概率. 【例35】 旅游公司為3個(gè)旅游團(tuán)提供4條旅游線路,每個(gè)旅游團(tuán)任選其中一條.求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的分布列. 【例36】 甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被

19、隨機(jī)地分到四個(gè)不同的崗位服務(wù),每個(gè)崗位至少有一名志愿者. ⑴ 求甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率; ⑵ 求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率; ⑶ 設(shè)隨機(jī)變量為這五名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù),求的分布列. 【例37】 某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為,,……,,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖4所示. ⑴ 根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過(guò)克的產(chǎn)品數(shù)量. ⑵ 在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件,設(shè)為重量超過(guò)克的產(chǎn)品數(shù)量,求的分布列; ⑶ 從該流水線上

20、任取件產(chǎn)品,求恰有件產(chǎn)品的重量超過(guò)克的概率. 【例38】 甲與乙兩人擲硬幣,甲用一枚硬幣擲次,記國(guó)徽面(記為正面)朝上的次數(shù)為隨機(jī)變量;乙用一枚硬幣擲次,記國(guó)徽面(記為正面)朝上的次數(shù)為隨機(jī)變量. ⑴求隨機(jī)變量與的分布列; ⑵求甲得到的正面朝上的次數(shù)不少于的概率. ⑶求甲與乙得到的正面朝上的次數(shù)之和為的概率; ⑷求甲得到的正面朝上的次數(shù)大于乙的概率. 【例39】 一袋中裝有編號(hào)為的個(gè)大小相同的球,現(xiàn)從中隨機(jī)取出個(gè)球,以表示取

21、出的最大號(hào)碼. ⑴ 求的概率分布;⑵ 求的概率. 【例40】 袋中裝有黑球和白球共個(gè),從中任取個(gè)球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的,用表示取球終止所需要的取球次數(shù). ⑴ 求袋中所有的白球的個(gè)數(shù); ⑵ 求隨機(jī)變量的概率分布; ⑶ 求甲取到白球的概率. 【例41】 一個(gè)袋中有個(gè)球,編號(hào)為,在其中同時(shí)取3個(gè)球,以表示取出的個(gè)球中的最大號(hào)碼,試求的概率分布列以及最大號(hào)碼不小于4的概率.

22、 【例42】 對(duì)于正整數(shù),用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù),其中(和可以相等);對(duì)于隨機(jī)選取的(和可以相等),記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率. ⑴求及;⑵求證:對(duì)任意正整數(shù),有. 【例43】 某種電子玩具按下按鈕后,會(huì)出現(xiàn)紅球或綠球,已知按鈕第一次按下后,出現(xiàn)紅球與綠球的概率都是,從按鈕第二次按下起,若前次出現(xiàn)紅球,則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為;若前次出現(xiàn)綠球,則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為;記 第次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為. ⑴求的值; ⑵當(dāng)時(shí),求用表示的表達(dá)式; ⑶求關(guān)于的表達(dá)式.

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