2022年高三數學第一次模擬考試試卷 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數學第一次模擬考試試卷 文（含解析）新人教A版 注意事項： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題） 請點擊修改第I卷的文字說明 評卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．已知集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】 試題分析：先求出集合，然后根據集合與集合的交集可得，.故應選D. 考點：集合的基本運算. 2．已知是虛數單位，若復數是純虛數，則實數等于（ ） A.2 B.

2、 C. D. 【答案】A. 【解析】 試題分析：利用復數的運算法則化簡復數，由純虛數的定義知，，解得.故應選A. 考點：復數的代數表示法及其幾何意義. 3．“”是“函數在區(qū)間上為減函數”的（ ） A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 【答案】B. 【解析】 試題分析：若，則，由二次函數的圖像及其性質知，在區(qū)間上為單調減函數，即“”是“函數在區(qū)間上為減函數”的充分條件；反過來，若函數在區(qū)間上為減函數，則，即，不能推出，即“”不是“函數在區(qū)間上為減函數”的

3、必要條件.綜上所述，“”是“函數在區(qū)間上為減函數”的充分不必要條件，故應選B. 考點：二次函數的單調性；充分條件與必要條件. 4．已知函數，則實數的值等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【解析】 試題分析：根據分段函數的解析式，由即可得到，，故應選B. 考點：分段函數求值. 5．已知兩個不同的平面和兩個不重合的直線m、n，有下列四個命題： ①若； ②若； ③若； ④若. 其中正確命題的個數是（ ） A.0

4、 B.1 C.2 D.3 【答案】D. 【解析】 試題分析：對于①，因為，所以直線與平面所成的角為，又因為∥，所以直線與平面所成的角也為，即命題成立，故正確； 對于②，若，，則經過作平面，設，，又因為，，所以在平面內，，，所以直線、是平行直線.因為，，∥，所以∥.經過作平面，設，，用同樣的方法可以證出∥.因為、是平面內的相交直線，所以∥，故正確； 對于③，因為，∥，所以.又因為，所以，故正確； 對于④，因為∥，，當直線在平面內時，∥成立，但題設中沒有在平面內這一條件，故不正確.綜上所述，其中正確命題的個數是3個，應選D.

5、 考點：平面的基本性質及推論. 6．若實數滿足條件，則的最大值是（ ） A.8 B.7 C.4 D.2 【答案】B. 【解析】 試題分析：首先根據題意畫出約束條件所表示的區(qū)域如下圖所示，然后令，則，要求的最大值，即是求的截距最大，由圖可知，當直線過點C時，其截距最大，聯(lián)立直線方程，解之得，即點C的坐標為，將其代入得，. 考點：線性規(guī)劃. 7．一個三棱錐的側棱長都相等，底面是正三角形，其正（主）視圖如右圖所示.該三棱錐側面積和體積分別是（ ） A.

6、 B. C. D. 【答案】A. 【解析】 試題分析： 如圖，由題意得三棱錐中，，高，是邊長為2的等邊三角形，所以，所以該三棱錐的體積.又因為⊥平面，所以點是的重心，所以，⊥，，所以，所以該三棱錐側面積.故應選A. 考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積. 8．若函數的大致圖像如右圖，其中為常數，則函數的大致圖像是（ ） 【答案】B. 【解析】 試題分析：由函數的圖像為減函數可知，，再由圖像的平移知，的圖像由向左平移可知，，故函數的大致圖像為B選項. 考點：對數函數的圖像與性質. 9．已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右

7、支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 試題分析：雙曲線的漸近線方程是，過右焦點分別作兩條漸近線的平行線和，由下圖圖像可知，符合條件的直線的斜率的范圍是.故應選A. 考點：直線與圓錐曲線的關系；直線的斜率；雙曲線的簡單性質. 10．設向量，，定義一種運算“”。向量.已知，，點的圖象上運動，點Q在的圖象上運動且滿足（其中O為坐標原點），則的最小值為（ ） A. B. C.2 D. 【答案】B.

8、【解析】 試題分析：由題意知，點P的坐標為，則， 又因為點Q在的圖象上運動，所以點Q的坐標滿足的解析式，即. 所以函數的最小值為-2.故應選B. 考點：平面向量的坐標運算. 第II卷（非選擇題） 請點擊修改第II卷的文字說明 評卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 11．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值等于 . 【答案】. 【解析】 試題分析：當時， 第一次執(zhí)行循環(huán)體：，； 第二次執(zhí)行循環(huán)體：，； 第三次執(zhí)行循環(huán)體：，； 第四次執(zhí)行循環(huán)體：，，此時輸出. 考點：程序框圖與算法. 12．函數的圖像，其部

9、分圖象如圖所示，則_______. 【答案】. 【解析】 試題分析：由圖像可知，，，所以，所以，所以，即函數，由五點對應法可知，當時，有，所以，所以，所以.故應填. 考點：由函數的部分圖像確定其解析式. 13．已知圓C過點，且圓心在軸的負半軸上，直線被該圓所截得的弦長為，則圓C的標準方程為 . 【答案】. 【解析】 試題分析：設圓C的圓心C的坐標為，則圓C的標準方程為.圓心C到直線的距離為：，又因為該圓過點，所以其半徑為.由直線被該圓所截得的弦長為以及弦心距三角形知，，即，解之得：或（舍）.所以，所以圓C的標準方程為. 考點：圓的標準方程；直線與圓的位置關系.

10、 14．下面給出的四個命題中： ①以拋物線的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為； ②若，則直線與直線相互垂直； ③命題“，使得”的否定是“，都有”； ④將函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象。 其中是真命題的有___________（將你認為正確的序號都填上）． 【答案】①②③. 【解析】 試題分析：①拋物線是焦點為，圓的半徑為，所以圓的方程為，正確； ②當時，兩直線方程為和，兩直線垂直，所以正確； ③根據特稱命題的否定是全稱命題可知其正確； ④函數向右平移，得到的函數為，所以不正確. 所以正確的命題有①②③.故應填①②③. 考點：特稱命題；命題的否定；函數的

11、圖像變換；拋物線的簡單性質. 15．已知，若恒成立，則實數的取值范圍是 ． 【答案】. 【解析】 試題分析：因為，所以由基本不等式知，，當且僅當即 等號成立.問題恒成立轉化為，即，由一元二次不等式解法知，. 考點：一元二次不等式及其解法；均值不等式的應用. 評卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 16．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為，且滿足，. （1）求的面積； （2）若、的值. 【答案】（1）2；（2），. 【解析】 試題分析：（1）首先利用倍角公式可求得的值，由同角三角函數的基本關系可求出的值；然后運用數量積的定義化簡得出；最

12、后運用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；（2）由（1）知，因為已知，可求出，利用余弦定理可計算出的值，再由正弦定理即可求出的值，即為所求. 試題解析：（1）, 而 又，， （2）而， ， 又， 考點：向量的數量積；余弦定理；正弦定理. 17．如圖所示，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且分別是線段PA、PD、CD、BC的中點. （1）求證：BC//平面EFG； （2）求證：平面AEG； （3）求三棱錐E-AFG與四棱錐P-ABCD的體積比. 【答案】（1）因為BC∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF. 因為，所以∥平面EFG； （2）

13、因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DH ，即 AE⊥DH 因為△ADG≌△DCH ，所以∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°，所以∠AGD+∠HDC=90°，所以DH⊥AG 又因為AE∩AG=A，所以DH⊥平面AEG； （3）. 【解析】 試題分析：（1）首先利用平行公理即平行的傳遞性證明BC∥EF，再由已知條件并運用線面平行的判定，證明∥平面EFG；（2）由已知PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DH即證明了AE⊥DH，然后利用△ADG≌△DCH 得出對應角相等即∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°即證明了DH⊥AG，從而由直線與平面的判定定理可證DH⊥平面AEG；（3

14、）由三棱錐的等體積可得，，然后根據三棱錐和四棱錐的體積計算公式即可求出其體積比. 試題解析：（1）因為BC∥AD,AD∥EF,所以BC∥EF. 因為，所以∥平面EFG. （2）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DH ，即 AE⊥DH 因為△ADG≌△DCH ，所以∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°，所以∠AGD+∠HDC=90°，所以DH⊥AG 又因為AE∩AG=A，所以DH⊥平面AEG. （3）. 考點：組合幾何體的面積、體積問題；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定. 18．某公司有男職員45名，女職員15名，按照分層抽樣的方法組建了一個4人的科研攻關小組.

15、 （1）求某職員被抽到的概率及科研攻關小組中男、女職員的人數； （2）經過一個月的學習、討論，這個科研攻關組決定選出兩名職員做某項實驗，方法是先從小組里選出1名職員做實驗，該職員做完后，再從小組內剩下的職員中選一名做實驗，求選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率； （21）試驗結束后，第一次做試驗的職員得到的試驗數據為68，70，71，72，74，第二次做試驗的職員得到的試驗數據為69，70，70，72，74，請問哪位職員的實驗更穩(wěn)定？并說明理由. 【答案】（1）某職員被抽到的概率為；男、女職員的人數分別為3,1；（2）； （3）第二次做試驗的職員做的實驗更穩(wěn)定. 【解析】 試題分

16、析：（1）根據題意，由總人數與抽取的人數，計算可得某職員被抽到的概率，進而設出該科研攻關小組中男職員的人數為，由分層抽樣的方法可得，解之可得的值，即可得出該科研攻關小組中男、女職員的人數；（2）先計算出選出兩名職員的基本事件數，有共12種；再算出恰有一名女職員的事件數，最后由古典概型的計算公式即可得出所求的概率； （3）由題意計算出兩名職員的平均數和方差，并比較大小，依據在均值相同的情況下，方差越小其穩(wěn)定程度越好，即可判斷哪位職員做的實驗更穩(wěn)定. 試題解析：（1）所以某職員被抽到的概率為. 設有名男職員，則，所以，所以男、女職員的人數分別為3,1. （2）把3名男職員和1名女職員記為，

17、則選取兩名職員的基本事件有共12種，其中有一名女職員的有6種. 所以選出的兩名職員中恰有一名女職員的概率為. （3）， ， 第二次做試驗的職員做的實驗更穩(wěn)定. 考點：古典概型及其計算公式；極差、方差與標準差；列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率. 19．在數列中，已知. （1）求數列的通項公式； （2）求證：數列是等差數列； （3）設數列滿足的前項和. 【答案】（1）； （2）因為，所以.因為，公差，所以數列是首項，公差的等差數列. （3）. 【解析】 試題分析：（1）直接由題意知數列是首項為，公比為的等比數列，由等比數列的通項公式知，即為所求；（2）將（1）中的結

18、論代入中，化簡得，由等差數列的定義知，數列是首項，公差的等差數列.即為所證. （3）由（1）和（2）知，數列是首項為，公比為的等比數列，數列是首項，公差的等差數列.所以數列的前項和可用分組求和進行計算得出結果. 試題解析：（1）,∴數列是首項為，公比為的等比數列，∴. （2）因為，所以.因為，公差，所以數列是首項，公差的等差數列. （3）由（1）知，, 所以 所以 . 考點：等差數列；等比數列；分組求和. 20．已知函數. （1）求函數的單調區(qū)間； （2）若直線是曲線的切線，求實數的值； （3）設在區(qū)間上的最小值.（其中e為自然對數的底數） 【答案】（1）的單調遞

19、減區(qū)間是和，單調遞增區(qū)間是；（2）；（3）當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為. 【解析】 試題分析：（1）先求出導函數，分別令導函數大于0即可求出增區(qū)間，導數小于0即可求出減區(qū)間； （2）首先設出切點坐標，然后直接利用切線的斜率即為切點處的導數值以及切點是直線與曲線的共同點可得方程組，解之即可求實數的值； （3）先求出的導函數，分三種情況討論函數在區(qū)間上的單調性，即當，即時， 在區(qū)間上為增函數，所以最小值為；當，即時，在區(qū)間上為減函數，所以最小值為；當，即時，最小值=.進而求得其在區(qū)間上的最小值. 試題解析：（1），（），在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調遞減區(qū)間是

20、和，單調遞增區(qū)間是. （2）設切點坐標為，則 ,解得，. （3），則，令，解得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數，在區(qū)間上，為遞增函數. 當，即時，在區(qū)間上，為遞增函數，所以最小值為. 當，即時，在區(qū)間上，為遞減函數，所以最小值為. 當，即時，最小值=. 綜上所述，當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為. 考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區(qū)間上的最值. 21．已知橢圓過點，且長軸長等于4. （1）求橢圓C的方程； （2）是橢圓C的兩個焦點，圓O是以為直徑的圓，直線與圓O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A，B，若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）由題意長軸長為4求得的值，在由橢圓過點建立方程求解即可求出其標準方程；（2）由于圓O是以為直徑的圓，直線與圓O相切，利用直線與圓相切的充要條件得到一個等式，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用整體代換的思想，根據建立k的方程求k即可. 試題解析：（1）由題意，橢圓的長軸長，得， 因為點在橢圓上，所以得， 所以橢圓的方程為. （2）由直線l與圓O相切，得，即， 設，由消去y，整理得 由題意可知圓O在橢圓內，所以直線必與橢圓相交，所以. 所以 因為，所以. 又因為，所以，，得k的值為. 考點：橢圓的標準方程.