2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(答案不全)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(答案不全) 2.已知且,則的值為( ).  A.      B.      C.       D. 3.已知為空間兩兩垂直的單位向量,則( ). A.???????? B. ??? C.??????D. 4.以雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ). A.????????B.???????? ? C.???? D. 5.已知的圖象如圖所示,則下列數(shù)值按從小到大的排列順序正確的是( ). A.,,,? B.,?,??, C.,,,??? D.,,, 6.在三棱柱中,分別

2、是中點(diǎn),設(shè) 則=( ). A. B. C.   D. 7. 在長(zhǎng)方體中,和與底面所成角分別為和,,則到截面的距離為 ( ). A. B. C. D. 8. 在平行六面體中,底面是矩形, 則=( ). A. B. C. D. 9.已知在拋物線(xiàn)上,為坐標(biāo)原點(diǎn),如果且的重心恰好是此拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),則直線(xiàn)的方程是( ). A. B. C. D. 10.若函數(shù)在是

3、增函數(shù),則的取值范圍是( ). A. B. C. D. 11.已知為等邊三角形,橢圓與雙曲線(xiàn)均以為焦點(diǎn),且都經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn),則橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率之積為( ). A. B. C.? D. 12.過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,若則橢圓的離心率為( ). A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非選擇題,共90分) 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把正確答案填在答題紙的橫線(xiàn)

4、上,填在試卷上的答案無(wú)效. 13.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為,則= . 14.已知雙曲線(xiàn)離心率為,它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近的焦點(diǎn)的距離為,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 . 15.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 . 16.已知在定義域是偶函數(shù),,當(dāng)時(shí)有則的解集為 . 三、解答題:共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.(本小題滿(mǎn)分10分) 已知 (Ⅰ)求與方向相同的單位向量; (Ⅱ)若與單位向量垂直,求

5、18.(本小題滿(mǎn)分12分) 如圖,在三棱錐中,側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形, ,為的中點(diǎn). (Ⅰ)證明:平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值. 19. (本小題滿(mǎn)分12分) 如圖,四棱錐中,底面是矩形, 底面,, 點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上移動(dòng). (Ⅰ)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),試判斷與平面的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由; (Ⅱ)證明:無(wú)論點(diǎn)在邊的何處,都有; (Ⅲ)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí),與平面所成角的大小為. 20. (本小題滿(mǎn)分12分) 設(shè)函數(shù). (Ⅰ)討論的單調(diào)性; (Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值和最小值. 21.(本小題滿(mǎn)分12分) 已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線(xiàn)斜率為

6、-1. (Ⅰ)求函數(shù)的極值; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明. 22. (本小題滿(mǎn)分12分) 已知點(diǎn)為圓的圓心,是圓上的動(dòng)點(diǎn), 點(diǎn)在圓的半徑上,且有點(diǎn)和上的點(diǎn), 滿(mǎn)足. (Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程; (Ⅱ)設(shè)曲線(xiàn)與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,是否存在常數(shù),使得向量與共線(xiàn)?如果存在,求值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 18. 證明: (Ⅰ)由題設(shè),連結(jié),為等腰直角三角形,所以,且,又為等腰三角形,故,且,從而.所以為直角三角形,.又.所以平面. (Ⅱ)解法一: 取中點(diǎn),連結(jié),由(Ⅰ)知,得.

7、 為二面角的平面角. 由得平面. 所以,又, 故.所以二面角的余弦值為. 解法二: 以為坐標(biāo)原點(diǎn),射線(xiàn)分別為軸、軸的正半軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè),則. 的中點(diǎn), . . 故等于二面角的平面角. , 所以二面角的余弦值為. 19.(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),∥平面. 因?yàn)樵谥校謩e為的中點(diǎn), 所以∥,又平面,而平面,所以,∥平面 (Ⅱ)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則設(shè)則(Ⅲ)設(shè)平面的法向量為,由得, 而,依題意與平面所成角為,所以,所以 得故時(shí),與平面所成角為 20.函數(shù)的定義域?yàn)椤?分 ,…………

8、……………………4分 當(dāng)時(shí),解得或;………………5分 當(dāng)時(shí),解得………………………………6分 所以函數(shù)在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù)…………8分 (Ⅱ)因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以……………………12分 21. ,因?yàn)椋?,? (Ⅰ),當(dāng)時(shí) 的變化,引起的變化情況如下表 - 0 + 極小值 (如果不列表,需先解導(dǎo)數(shù)值正負(fù)的不等式,得出的取值范圍,得出單調(diào)性,再得極值也可) (Ⅱ)法一:由(Ⅰ)知,,即 所以. 令,所以,即在上是增函數(shù) 所以,即 法二:,,令,所以 ,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), 所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以 ,所以,即在上是增函數(shù),所以,即 22.(Ⅰ)由題意知是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),于是 所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓,且,所以 故點(diǎn)的軌跡方程是: (Ⅱ)由已知知直線(xiàn)的斜率必存在,設(shè)直線(xiàn)的方程為:,將其代入橢圓方程

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