2022年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)歸納法解題》教案 滬教版
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1、2022年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)歸納法解題》教案 滬教版 教學(xué)目標(biāo) 1.了解歸納法的意義,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力. 2.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,并能以遞推思想作指導(dǎo),理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟. 3.抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn):歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析. 難點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) (一)引入 師:從今天開始,我們來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法.什么是數(shù)學(xué)歸納法呢?應(yīng)該從認(rèn)識(shí)什么是歸納法 開始. (板書課題.?dāng)?shù)學(xué)歸納法) (二)什么是歸納法(板書) 師:請(qǐng)看下面幾個(gè)問
2、題,并由此思考什么是歸納法,歸納法有什么特點(diǎn).問題1:這里有一袋球共十二個(gè),我們要判斷這一袋球是白球,還是黑球,請(qǐng)問怎么辦? (可準(zhǔn)備一袋白球.問題用小黑板或投影幻燈片事先準(zhǔn)備好) 生:把它例出來看一看就可以了. 師:方法是正確的,但操作上缺乏順序性.順序操作怎么做? 生:一個(gè)一個(gè)拿,拿一個(gè)看一個(gè). 師:對(duì).問題的結(jié)果是什么呢? (演示操作過程) 第一個(gè)白球,第二個(gè)白球,第三個(gè)白球,……,第十二個(gè)白球,由此得到:這一袋球都是白 球. 問題2:在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+),先計(jì)算a2,a3,a4的值,再推測(cè)通項(xiàng)an的公式.(問題由小
3、黑板或投影幻燈片給出) 生:a2=,a3=,a4=.由此得到:an=(n∈N+). 師:同學(xué)們解決以上兩個(gè)問題用的都是歸納法,你能說說什么是歸納法,歸納法有什么特點(diǎn) 嗎? 生:歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法. 特點(diǎn)是由特殊 一般(板書). 師:很好!其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中,歸納法我們?cè)缇徒佑|到了.例如,給出數(shù)列的前四項(xiàng),求它 的一個(gè)通項(xiàng)公式用的是歸納法,確定等差數(shù)列、等比數(shù)列項(xiàng)公式用的也是歸納法,今后的學(xué) 習(xí)還會(huì)看到歸納法的運(yùn)用. 在生活和生產(chǎn)實(shí)際中,歸納法也有廣泛應(yīng)用.例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史 資料作氣象預(yù)測(cè),水文預(yù)報(bào),用的
4、就是歸納法. 還應(yīng)該指出,問題1和問題2運(yùn)用的歸納法還是有區(qū)別的.問題1中,一共12個(gè)球,全看了, 由此而得了結(jié)論.這種把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法.對(duì)于問題2,由于自然有無數(shù)個(gè),用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能,它是由前4項(xiàng)體現(xiàn)的規(guī)律,進(jìn)行推測(cè),得出結(jié)論的,這種歸納法稱為不完全歸納法. (三)歸納法的認(rèn)識(shí)(板書) 歸納法分完全歸納法和不完全歸納法(板書). 師;用不完全歸納法既然要推測(cè),推測(cè)是要有點(diǎn)勇氣的,請(qǐng)大家鼓起勇氣研究問題3. 問題3:對(duì)于任意自然數(shù)n,比較7n-3與6(7n+9)的大小.(問題由小黑板或投影幻燈片給 出) (給學(xué)
5、生一定的計(jì)算、思考時(shí)間) 生:經(jīng)過計(jì)算,我的結(jié)論是:對(duì)任意n∈N+,7n-3<6(7n+9). 師:你計(jì)算了幾個(gè)數(shù)得到的結(jié)論? 生:4個(gè). 師:你算了n=1,n=2,n=3,n=4這4個(gè)數(shù),而得到的結(jié)論,是吧? 生:對(duì). 師:有沒有不同意見? 生:我驗(yàn)了n=8,這時(shí)有7n-3>6(7n+9),而不是7n-3<6(7n+9).他的結(jié)論不對(duì)吧! 師:那你的結(jié)論是什么呢? (動(dòng)員大家思考,糾正) 生:我的結(jié)論是: 當(dāng)n=1,2,3,4,5時(shí),7n-3<6(7n+9); 當(dāng)n=6,7,8,…時(shí),7n-3>6(7n+9). 師:由
6、以上的研究過程,我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)? 首先要仔細(xì)地占有準(zhǔn)確的材料,不能隨便算幾個(gè)數(shù),就作推測(cè).請(qǐng)把你們計(jì)算結(jié)果填入下表 內(nèi): 師:依據(jù)數(shù)據(jù)作推測(cè),決不是亂猜.要注意對(duì)數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析.由上表可看到,當(dāng)n依1,2,3,4,…變動(dòng)時(shí),相應(yīng)的7n-3的值以后一個(gè)是前一個(gè)的7倍的速度在增加,而6(7n+9) 相應(yīng)值的增長(zhǎng)速度還不到2倍.完全有理由確認(rèn),當(dāng)n取較大值時(shí),7n-3>6(7n+9)會(huì)成立的. 師:對(duì)問題3推測(cè)有誤的同學(xué)完全不必過于自責(zé),接受教訓(xùn)就可以了.其實(shí)在數(shù)學(xué)史上,一 些世界級(jí)的數(shù)學(xué)大師在運(yùn)用歸納法時(shí),也曾有過失誤. 資料1(事先準(zhǔn)備好,由學(xué)生閱讀)
7、 費(fèi)馬(Fermat)是17世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家,他是解析幾何的發(fā)明者之一,是對(duì)微積分的創(chuàng)立 作出貢獻(xiàn)最多的人之一,是概率論的的創(chuàng)始者之一,他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn). 但是,費(fèi)馬曾認(rèn)為,當(dāng)n∈N+時(shí), +1一定都是質(zhì)數(shù),這是他對(duì)n=0,1,2,3,4作了驗(yàn)證后得到的. 18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉(Euler)卻證明了+1=4 294 967 297=6 700 417×641 ,從而否定了費(fèi)馬的推測(cè). 師:有的同學(xué)說,費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢?今天我們是無法回答的.但是要告訴同學(xué) 們,失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上! 再請(qǐng)看數(shù)學(xué)史上的另一個(gè)資料(仍由學(xué)生閱讀): 資料
8、2 f(n)=n2+n+41,當(dāng)n∈N+時(shí),f(n)是否都為質(zhì)數(shù)? f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61, f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131, f(10)=151,… f(39)=1 601. 但f(40)=1 681=412是合數(shù). 師:算了39個(gè)數(shù)不算少了吧,但還不行!我們介紹以上兩個(gè)資料,不是說世界級(jí)大師還出錯(cuò) ,我們有錯(cuò)就可以原諒,也不是說歸納法不行,不去學(xué)了,而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原 因,并研究出對(duì)策來師:歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)呢? 生:完全
9、歸納法不會(huì)出錯(cuò). 師:對(duì)!但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的,它為什么會(huì)出錯(cuò)呢? 生:由于用不完全歸納法時(shí),一般結(jié)論的得出帶有猜測(cè)的成份. 師:完全同意.那么怎么辦呢? 生:應(yīng)該予以證明. 師:大家同意吧?對(duì)于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題,得出的結(jié)論的正確性,應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn) ,因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于數(shù)學(xué)問題,應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明. (四)歸納與證明(板書) 師:怎么證明呢?請(qǐng)結(jié)合以下問題1思考. 生:?jiǎn)栴}1共12個(gè)球,都看了,它的正確性不用證明了. 師:也可以換個(gè)角度看,12個(gè)球,一一驗(yàn)看了,這一一驗(yàn)看就可以看作證明.?dāng)?shù)學(xué)上稱這種 證法為窮舉
10、法.它體現(xiàn)了分類討論的思想. 師:如果這里不是12個(gè)球,而是無數(shù)個(gè)球,我們用不完全歸納法得到,這袋球全是白球,那 么怎么證明呢? (稍作醞釀,使學(xué)生把注意力更集中起來) 師:這類問題的證明確不是一個(gè)容易的課題,在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀.第一個(gè)正式 研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科.他運(yùn)用遞推的思想予以證明. 結(jié)合問題1來說,他首先確 定第一次拿出來的是白球. 然后再構(gòu)造一個(gè)命題予以證明.命題的條件是:“設(shè)某一次拿出來的是白球”,結(jié)論是“下 一次拿出來的也是白球”. 這個(gè)命題不是孤立地研究“某一次”,“下一次”取的到底是不是白球,而是研究若某一次是白球這個(gè)條件能保
11、證下一次也是白球的邏輯必然性. 大家看,是否證明了上述兩條,就使問題得到解決了呢? 生:是.第一次拿出的是白球已確認(rèn),反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題,可得第二次、第三次、第 四次、……拿出的都是白球. 師:對(duì).它使一個(gè)原來無法作出一一驗(yàn)證的命題,用一個(gè)推一個(gè)的遞推思想得到了證明. 生活上,體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的,你能舉出例子來嗎? 生:一排排放很近的自行車,只要碰倒一輛,就會(huì)倒下一排. 生:再例如多米諾骨牌游戲. (有條件可放一段此種游戲的錄相) 師:多米諾骨牌游戲要取得成功,必須靠?jī)蓷l: (1)骨牌的排列,保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒;
12、 (2)第一張牌被推倒. 用這種思想設(shè)計(jì)出來的,用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué) 歸納法. (五)數(shù)學(xué)歸納法(板書) 師:用數(shù)學(xué)歸納法證明以上推測(cè)問題而得的命題,應(yīng)該證明什么呢? 生:先證n=1時(shí),公式成立(第一步); 再證明:若對(duì)某個(gè)自然數(shù)(n=k)公式成立,則對(duì)下一個(gè)自然數(shù)(n=k+1)公式也成立(第 二步). 師:這兩步的證明自己會(huì)進(jìn)行嗎?請(qǐng)先證明第一步. 生:當(dāng)n=1時(shí),左式=a1=1,右式==1.此時(shí)公式成立. (應(yīng)追問各步計(jì)算推理的依據(jù)) 師:再證明第二步.先明確要證明什么? 生:設(shè)n=k時(shí),
13、公式成立,即ak=.以此為條件來證明n=k+1時(shí),公式也成立,即ak+1=也成立.師:應(yīng)注意,這里是證明遞推關(guān)系成立,證明ak+1=成立時(shí),必須用到ak=這個(gè)條件 生:依已知條件,ak+1=. 師:于是由上述兩步,命題得到了證明.這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行的證明的基本要求. 師:請(qǐng)小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟. 生:共兩步(學(xué)生說,教師板書): (1)n=1時(shí),命題成立; (2)設(shè)n=k時(shí)命題成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立. 師:其實(shí)第一步一般來說,是證明開頭者命題成立.例如,對(duì)于問題3推測(cè)得的命題:當(dāng)n=6,7,8,…時(shí),7n-3>6(7n+9
14、).第一步應(yīng)證明n=6時(shí),不等式成立. (若有時(shí)間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步,若無時(shí)間可布置學(xué)生課下思考) (六)小結(jié) 師:把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下: (1)本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法. (2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法.分完全歸納法和不完全歸納法二種. (3)由于不完全歸納法中推測(cè)所得結(jié)論可能不正確,因而必須作出證明,證明可用數(shù)學(xué)歸 納法進(jìn)行. (4)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法,它的基本思想是遞推(遞歸)思想,它的操作步驟必 須是二步. 數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用,將從下節(jié)課開始學(xué)習(xí). (七)課外作業(yè) (1)閱讀
15、課本 (2)書面作業(yè)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法.它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確,教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用.但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸,技能的操練.對(duì)方法作簡(jiǎn)單的灌輸,學(xué)生必然疑慮重重.為什么必須是二步呢?于是教師反復(fù)舉例,說明二步缺一不可.你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢?教師又不得不作出解釋,可學(xué)生仍未完全接受.學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來的問題,等等.為此,我們?cè)O(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué),把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中,把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來.這樣不僅使
16、學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景,從一開始就注意它的功能,為使用它打下良好的基礎(chǔ),而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué),這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充,也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī). 數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個(gè)階段,第一階段從對(duì)歸納法的認(rèn)識(shí)開始,到對(duì)不完全歸納法的 認(rèn)識(shí),再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí),直到怎么辦結(jié)束.第二階段是對(duì)策醞釀,從介紹遞 推思想開始,到認(rèn)識(shí)遞推思想,運(yùn)用遞推思想,直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束. 把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置,必然對(duì)理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來指導(dǎo)意義 ,也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試.
17、2.在教學(xué)方法上,這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法.目的是在于加強(qiáng) 學(xué)生對(duì)教學(xué)過程的參與程度.為了使這種參與有一定的智能度,教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引 導(dǎo)和點(diǎn)撥.學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的,盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴},并提出思維要求, 讓學(xué)生盡快投入到思維活動(dòng)中來,是十分重要的.這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分 明的分解,并選擇適當(dāng)?shù)膯栴},把課題的研究?jī)?nèi)容落于問題中,在逐漸展開中,引導(dǎo)學(xué)生用 已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決,并獲得新的發(fā)展.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究. 3.理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想,還要注意其中第二步,證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n =k時(shí)命題成立這個(gè)條件. 例如用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n∈N+)時(shí),其中第二步采用下 面證法: 設(shè)n=k時(shí),等式成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí), , 即n=k+1時(shí)等式也成立. 這是不正確的.因?yàn)檫f推思想要求的不是n=k,n=k+1時(shí)命題到底成立不成立,而是n=k時(shí)命題成立作為條件能否保證n=k+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確,即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立.證明的主要部分應(yīng)改為 以下理解不僅是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的需要,也為第二步證明過程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維 方向.
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