3、xx浙江溫州市第二次適應測試)若實數x,y滿足不等式組且z=y-2x的最小值等于-2,則實數m的值等于( A )
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
解析:由z=y-2x,得y=2x+z,
作出不等式對應的可行域,平移直線y=2x+z,
由平移可知當直線y=2x+z經過點A時,直線y=2x+z的截距最小,此時z取得最小值為-2,
即y-2x=-2,
由
解得
即A(1,0),
點A也在直線x+y+m=0上,
則m=-1.
故選A.
6.(xx貴州遵義市第二次聯考)若則目標函數z=的取值范圍是( A )
(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (
4、D)[2,6]
解析:z==1+2,
可理解為求斜率的最值問題,畫出可行域如圖陰影部分,
可知k=在(1,2)點處最大,最大為2;
在(2,1)點處最小,最小為,
所以z的取值范圍為[2,5].故選A.
7.(xx重慶卷)若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形,且其面積等于,則m的值為( B )
(A)-3 (B)1 (C) (D)3
解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,
由圖可知,要使不等式組表示的平面區(qū)域為三角形,
則m>-1.
由
解得即A(1-m,1+m).
由
解得
即B(-m,+m).
因為S△ABC=S△ADC-S△BDC
=
5、(2+2m)[(1+m)- (+m)]
=(m+1)2=,
所以m=1或m=-3(舍去),故選B.
8.(xx河南開封市模擬)設不等式組表示的平面區(qū)域為D,若指數函數y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點,則a的取值范圍是 .?
解析:作出區(qū)域D的圖象,聯系指數函數y=ax的圖象,能夠看出,當圖象經過區(qū)域的邊界點C(2,9)時,a可以取到最大值3,而顯然只要a大于1,圖象必然經過區(qū)域內的點.則a的取值范圍是10,a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny-
6、1=0(mn>0)上,則+的最小值為( B )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:函數y=a1-x(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A(1,1),
又點A在直線mx+ny-1=0(mn>0)上,
所以m+n=1,
所以+=(m+n) (+ )
=2++
≥2+2=4,
當且僅當m=n=時取等號.
故選B.
10.(xx河南鄭州市第一次質量預測)某三棱錐的三視圖如圖所示,且三個三角形均為直角三角形,則xy的最大值為( C )
(A)32 (B)32 (C)64 (D)64
解析:設該三棱錐的高為h,由三視圖知,
兩式相減并整理得x2+y2=128.
7、
又因為xy≤==64(僅當x=y時取等號).
11.(xx福建卷)要制作一個容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是( C )
(A)80元 (B)120元 (C)160元 (D)240元
解析:設該容器的總造價為y元,長方體的底面矩形的長為x m,因為無蓋長方體的容積為4 m3,高為1 m,所以長方體的底面矩形的寬為 m,依題意,得y=20×4+
10(2x+)=80+20(x+)≥80+20×2=160(當且僅當x=,即x=2時取等號).所以該容器的最低總造價為160元.故選C.
12.
8、(xx廣東深圳市第一次調研考試)已知向量a=(-1,1),b=(1, ) (x>0,y>0),若a⊥b,則x+4y的最小值為 .?
解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,
(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9. (當且僅當=時取等號)
答案:9
一、選擇題
1.(xx四川資陽市三模)已知loa
(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1
解析:因為y=lox是定義域上的減函數,
且loab>0.
又因為y=()
9、x是定義域R上的減函數,
所以()a<()b;
又因為y=xb在(0,+∞)上是增函數,
所以()b<()b;所以()a<()b,選項A正確.
2.(xx湖南卷)若變量x,y滿足約束條件則z=3x-y的最小值為( A )
(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2
解析:畫出可行域如圖所示.當直線y=3x-z過點C(-2,1)時,z取最小值,故zmin=3×(-2)-1=-7.故選A.
3.(xx廣西柳州市、北海市、欽州市1月份模擬)設變量x,y滿足約束條件則z=2x×的最小值為( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:可得z=2x-2y,
設m=x-2y,
10、不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分,
平移直線l:y=x,
由圖象可知直線l經過點A時,其截距最大,m最小,z最小,
解方程組
得A(2,2),
則z最小=.
4.(xx江西南昌市第一次模擬)已知實數x,y滿足若目標函數z=2x+y的最大值與最小值的差為2,則實數m的值為( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)-
解析:作出可行域如圖,根據目標函數的幾何意義可轉化為直線y=-2x+z的截距,可知在N點z取最小值,在M點z取最大值.
因為N(m-1,m),M(4-m,m),
所以2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,
所以m=2.
5.(x
11、x甘肅省河西五地市高三第一次聯考)已知集合{(x,y)︱}表示的平面區(qū)域為Ω,若在區(qū)域Ω內任取一點P(x,y),則點P的坐標滿足不等式x2+y2≤2的概率為( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖,則對應的區(qū)域為△AOB.
由解得
即B(4,-4).
由解得
即A(,).
直線2x+y-4=0與x軸的交點坐標為(2,0),
則△OAB的面積S=×2×+×2×4=.
點P的坐標滿足不等式x2+y2≤2區(qū)域面積S=×π×()2=,
由幾何概型的概率公式得點P的坐標滿足不等式x2+y2≤2的概率為=.故選D.
6.設f(x)=ln x
12、,0p
(C)p=rq
解析:由題意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,
因為0,
所以ln >ln ,
所以p=r0,b>0)滿足約束條件且最大值為40,則+的最小值為( B )
(A) (B) (C)1 (D)4
解析:不等式表示的平面區(qū)域為如圖陰影部分,
當直線z=ax+by(a>
13、0,b>0)過直線x-y+2=0與直線2x-y-6=0的交點(8,10)時,
目標函數z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,
即8a+10b=40,即4a+5b=20,
而+=(+)
=+(+)≥+1
=.
故選B.
8.(xx山東卷)已知x,y滿足約束條件當目標函數z=ax+by(a>0,b>0)在該約束條件下取到最小值2時, a2+b2的最小值為( B )
(A)5 (B)4 (C) (D)2
解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,根據目標函數的幾何意義可知,目標函數在點A(2,1)處取得最小值,故2a+b=2.
法一 將2a+b=2兩邊分別平方
14、得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,當且僅當a=2b,
即a=,b=時取等號.
所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),
所以a2+b2≥4,
即a2+b2的最小值為4.故選B.
法二 將2a+b=2看作平面直角坐標系aOb中的直線,則a2+b2的幾何意義是直線上的點與坐標原點距離的平方,故其最小值為坐標原點到直線2a+b=2距離的平方,即()2=4.故選B.
9.(xx四川宜賓市二診)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},滿足a∈A的所有點M(a, )均在直線y=x的同側,則實數m的取值范圍是( A )
(A)(-∞,-)∪
15、(,+∞)
(B)(-,-1)∪(1,)
(C)(-5,-)∪(,6)
(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)
解析:因為集合A={x∈R|x4+mx-2=0},
所以方程的根顯然x≠0,原方程等價于x3+m=,
原方程的實根是曲線y=x3+m與曲線y=的交點的橫坐標,
而曲線y=x3+m是由曲線y=x3向上或向下平移|m|個單位而得到的,
若交點(xi, ) (i=1,2)均在直線y=x的同側,
因直線y=x與y=交點為(-,-),(,);
所以結合圖象可得
或
解得m>或m<-.故選A.
10.已知函數f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+
16、f(x2-4x+1)≤0,則當y≥1時,的取值范圍是( A )
(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]
解析:因為f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),
且f′(x)=1+cos x≥0,
所以函數f(x)為奇函數,且在R上是增函數.
所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,
得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),
所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,
即(x-2)2+(y-1)2≤1,
其表示圓(x-2)2+(y-1)2=1及其內部.
表示滿足的點P與定點A(-1,0)連線的斜率.
結合圖形分析可知,直線AC的斜
17、率=最小,
切線AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX
=
=
=最大.
故選A.
二、填空題
11.(xx江蘇卷)不等式<4的解集為 .?
解析:不等式<4可轉化為<22,由指數函數y=2x為增函數知x2-x<2,解得-10恒成立,則實數m
18、的取值范圍是 .?
解析:不等式+-m>0恒成立,
即3(+)>3m恒成立.
又正數a,b滿足a+2b=3,
(a+2b) (+)=+++2≥,
當且僅當a=b=1時取“=”,
所以實數m的取值范圍是(-∞, ).
答案: (-∞, )
14.(xx浙江卷)已知函數f(x)=則f(f(-3))= ,f(x)的最小值是 .?
解析:因為-3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,
所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.
當x≥1時,f(x)=x+-3≥2-3(當且僅當x=時,取“=”),當x<1時,x2+1≥1,
所以f(x)=lg(x2+1)≥0,
又因為2-3<0,
所以f(x)min=2-3.
答案:0 2-3
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