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1、2022年高二數(shù)學(xué) 期中試卷 文 人教實(shí)驗(yàn)B版
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 方程的兩個(gè)根可分別作為（ ?。?
A. 一橢圓和一雙曲線的離心率 B. 兩拋物線的離心率
C. 一橢圓和一拋物線的離心率 D. 兩橢圓的離心率
2、橢圓的焦距是它的兩條準(zhǔn)線間距離的，則它的離心率為（ ?。?
A. B. C. D.
3、若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（ ）
A. B. C. D.
4、拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)P（m，－3）到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ?。?
2、A. y＝4 B. y＝－4 C. y＝2 D. y＝－2
5、是雙曲線上一點(diǎn)，、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，那么的值為（ ）
A. 1 B. 1或 33 C. 33 D. 31
6、若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，而是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值是（ ?。?
A. B. C. D.
7、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為（0，±5）的橢圓被直線3x－y－2＝0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為（ ）
8、已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是
3、 （ ）
A. B. C. D.
二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
9、已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________。
10、已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），則的值為_(kāi)________。
11、在拋物線y2＝16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)（2，1）且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_________。
12、已知雙曲線 的右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上的左支上且 ，則的大小為_(kāi)________。
三、解答題（本大題共4題，共40分）
13、過(guò)右焦點(diǎn)的弦 MN長(zhǎng)為5，右頂點(diǎn)
4、為A2。求△A2MN的面積．
14、已知圓C1的方程為（x－2）2＋（y－1）2＝，橢圓C2的方程為＝1（a＞b＞0），C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。
15、如圖，、為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，為垂直于軸的弦，且與的交點(diǎn)為。
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于軸右邊不同兩點(diǎn)、，且，求直線的方程。
16、過(guò)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的定點(diǎn)，作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)。
（1）試證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；
（2）若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn)，試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系，并給出證
5、明。
【試題答案】
一、選擇題
1、提示：方程的兩個(gè)根分別為2，，故選A
2、提示：依題意有,∴,故選B
3、提示：橢圓的右焦點(diǎn)為（2,0），所以拋物線的焦點(diǎn)為（2,0），則，故選D
4、提示：依題意準(zhǔn)線方程為y＝,且－（－3）＝5，∴＝2，故選C。
5、分析：利用雙曲線的定義求解．
解：在雙曲線中，，，故．
由是雙曲線上一點(diǎn)，得．
∴或．
又，得．故選C
說(shuō)明：本題容易忽視這一條件，而得出錯(cuò)誤的結(jié)論或．
6、分析：橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，在橢圓上又在雙曲線上，可根據(jù)定義得到和的關(guān)系式，再變形得結(jié)果．
解：因?yàn)樵跈E圓上，所以．
又在雙曲線上，所以．
6、
兩式平方相減，得，故．故選A．
說(shuō)明：（1）本題的方法是根據(jù)定義找與的關(guān)系．（2）注意方程的形式，、是，、是．
7、提示：由題意，可設(shè)橢圓方程為：＝1，且a2＝50＋b2，即方程為＝1。將直線3x－y－2＝0代入，整理成關(guān)于x的二次方程．由x1＋x2＝1可求得b2＝25，a2＝75。故選C
8、提示：設(shè)M F與雙曲線的交點(diǎn)為P，焦點(diǎn)F（－c，0），F(xiàn)2（c，0），由平面幾何知識(shí)知：F2P⊥FM，又|FF2|＝2c 于是 |PF2| ＝2csin60°＝c |PF1| ＝c
故 2a＝ |PF2| －|PF1| ＝c－c ＝（ －1）c
∴e＝ ＝＋1.故選D
7、
二、填空題
9、解：雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則焦點(diǎn)在x軸上，且a＝3，焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，即，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是。
10、解：方程變形為 ．
因?yàn)榻裹c(diǎn)在 軸上，所以 ，解得 ．
又 ，所以 ， ，滿足條件，故 ．
11、提示：設(shè)所求直線與y2＝16x相交于點(diǎn)A、B，且A（x1，y1），B（x2，y2），
代入拋物線方程得y12＝16x1，y22＝16x2，兩式相減得，
（y1＋y2）（y1－y2）＝16（x1－x2）。
即kAB＝8。
故所求直線的方程為y＝8x－15。
12、解：∵點(diǎn) 在雙曲線的左支上
∴
∴
∴
8、 ∵
∴
三、解答題
13、的右焦點(diǎn)為F2（5，0），右頂點(diǎn)為A2（4，0）．
（9k2－16）y2＋90ky＋81＝0，
此方程有兩不等實(shí)根y1，y2的條件是9k2－16≠0且Δ＞0．
由此知。且由韋達(dá)定理知
由已知|MN|＝5，故
又A2到MN的距離
故△A2MN的面積為
求面積．
14、解：由e＝，可設(shè)橢圓方程為＝1，
又設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
又＝1，兩式相減，
得＝0，
即（x1＋x2）（x1－x2）＋2（y1＋y2）（y1－y2）＝0 化簡(jiǎn)得＝－1，
故直線AB的方程為y
9、＝－x＋3，
把y＝－x＋3代入橢圓方程得3x2－12x＋18－2b2＝0。
有Δ＝24b2－72＞0，
又|AB|＝，
得，解得b2＝8。
故所求橢圓C2的方程為＝1。
15、解：（1）由圖可知。
設(shè)，則
②×③可得，由可得，
。
（2）設(shè)直線的方程為則
消去可得。
直線交雙曲線的右支于不同的兩點(diǎn)，，
解得。
。
消去可得（舍正），，
所求直線的方程為。
16、（1）證明：設(shè) 有，下證之：
設(shè)直線的方程為：與聯(lián)立得
消去得
由韋達(dá)定理得，
（2）解：三條直線的斜率成等差數(shù)列，下證之：
設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為;
直線的斜率為
又直線的斜率為
即直線的斜率成等差數(shù)列。
2022年高二數(shù)學(xué) 期中試卷 文 人教實(shí)驗(yàn)B版
