2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 復(fù)數(shù)教學(xué)案

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1、2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 復(fù)數(shù)教學(xué)案 考綱指要： 了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性，理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及向量表示．掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算． 考點(diǎn)掃描： 1.數(shù)的概念的發(fā)展;復(fù)數(shù)的有關(guān)概念. 2.復(fù)數(shù)的向量表示. 3.復(fù)數(shù)的加法與減法，乘法與除法. 考題先知： 例1 。 設(shè)，求的值。 分析：將所求式子變形為 ，顯然它是 的展開式的部分之和，即復(fù)數(shù)的實(shí)部。不妨取展開式的其余的項(xiàng)的和為A的對(duì)偶式。 則，所以. 例2．復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1,過點(diǎn)A作虛軸的平行線l,設(shè)l上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,求所對(duì)

2、應(yīng)的點(diǎn)的軌跡. 分析:本題考查復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡方程.因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),l過點(diǎn)A且平行于虛軸,所以直線l上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1,可設(shè)為z=1+bi(b∈R),然后再求所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合. 解:如下圖.因?yàn)辄c(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1,直線l過點(diǎn)A且平行于虛軸,所以可設(shè)直線l上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=1+bi(b∈R). 因此. 設(shè)=x+yi(x、y∈R),于是 x+yi=i. 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,有 消去b,有x2+y2= ===x. 所以x2+y2=x(x≠0), 即(x－)2+y2=(x≠0). 所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以(,0)為圓心,為半徑的圓,但不包括

3、原點(diǎn)O(0,0). 評(píng)注:一般說來,求哪個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就設(shè)哪個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y).所謂動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)所滿足的等量關(guān)系.常見求曲線方程的方法有:軌跡法、待定系數(shù)法、代入法、參數(shù)法等.若把參數(shù)方程中的參數(shù)消去,就可把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程.無論用什么方法求得曲線的方程,都要注意檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上.對(duì)此,常從以下兩個(gè)方面入手:一是看對(duì)方程的化簡是否采用了非同解變形的手法;二是看是否符合題目的實(shí)際意義.其中,用參數(shù)法求得的曲線方程中的x、y的范圍可由參數(shù)函數(shù)的值域來確定. 復(fù)習(xí)智略： 例3．對(duì)任意復(fù)數(shù)，定義。 (1) 若，求相應(yīng)的復(fù)數(shù)

4、； （2）若中的為常數(shù)，則令，對(duì)任意，是否一定有常數(shù)使得？這樣的是否唯一？說明理由。 （3）計(jì)算，并設(shè)立它們之間的一個(gè)等式。由此發(fā)現(xiàn)一個(gè)一般的等式，并證明之。 解：（1）由，得則故 （2） ，得即 ∴，所以是不唯一的。 （3），，； ∴ 一般地，對(duì)任意復(fù)數(shù)，有。 證明：設(shè)， ， ∴。 檢測(cè)評(píng)估： 1,若非零復(fù)數(shù)滿足,則的值是 A,1 B, C, D, 2,設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,且,又與為定點(diǎn),則函數(shù)︱ ︱取最大值時(shí)在復(fù)平面上以,A,B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖形是

5、A,等邊三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形 3．已知且則的最小值 （ ） A．等于 -2 B．等于 0 C．等于 -4 D．不存在 4．設(shè)復(fù)數(shù)，則滿足等式的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 5.設(shè)f(n)=()n+()n,n∈N,如果A{f(n)},則滿足條件的集合A有 A.8個(gè) B.7個(gè) C.3個(gè) D.無窮多個(gè) 6．若的展開式為，則

6、 = 。 7.復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z=x－i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________. 8．已知關(guān)于x的方程x2+(1+2i)x－(3m－1)i=0有實(shí)根,則純虛數(shù)m的值為 . 9,在復(fù)平面內(nèi),設(shè)點(diǎn)A,P所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2,,則當(dāng)由 變到時(shí),向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是 . 10.定義運(yùn)算=ad－bc,則對(duì)復(fù)數(shù)z=x+yi(x、y∈R)符合條件=3+2i的復(fù)數(shù)z等于__________. 11．若復(fù)數(shù)x+yi=(1+cosθ)+(t－cos2θ)i(其中x、y、θ

7、∈R),且點(diǎn)(x,y)在拋物線y=x2上,試求實(shí)數(shù)t的最大值與最小值. 7．已知復(fù)數(shù)， （1）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍； （2）是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由。 點(diǎn)撥與全解： 1. ,得或. (1)當(dāng)時(shí),原式= ==; (2)當(dāng)時(shí),同理可得:原式=1. 故選A。 2, 因?yàn)?可設(shè),則 ,當(dāng)時(shí),,此時(shí),則 ,, 所以=,得為等腰三角形. 故選D 3．解：不妨設(shè)，則 ，故選C 4．解：由條件得，化簡得，故選D。 5．解:∵f(n)=( )n+()n=in+(－

8、i)n(n∈N)= ∴{f(n)}={0,2,－2}.∵A{f(n)}={0,2,－2},∴A的個(gè)數(shù)是23=8. 故選: A 6．解：令可得； 令可得（其中，則且）； 令可得。 以上三式相加可得， 所以 7．解:∵z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z(x,－)都在單位圓內(nèi)，∴|Oz|<1,即<1. ∴x2+<1.∴x2<.∴－.答: － 8．解:設(shè)此方程的實(shí)根為x0,純虛數(shù)m=ai(a∈R且a≠0),則原方程可化為 x02+(1+2i)x0－(3ai－1)i=0. 整理得(x02+x0+3a)+(2x0+1)i=0. 由復(fù)數(shù)相等的定義,得方程組 解得所以m=. 9, 因?yàn)? 當(dāng)時(shí)

9、,在單位圓上的點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),在單位圓上的點(diǎn)為,A(2,0),,三點(diǎn)圍成的曲邊形面積易求得. 10．解法一:由定義運(yùn)算，得=2zi－z=3+2i. 設(shè)z=x+yi(x、y∈R),則2(x+yi)i－(x+yi)=3+2i, 即－(x+2y)+(2x－y)i=3+2i. 由復(fù)數(shù)相等，得 解得 ∴z=i. 解法二:由定義運(yùn)算,得=2zi－z=3+2i, 則z=i. 答案:i 11．解:根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件,得 因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)在拋物線上,所以t－cos2θ=(1+cosθ)2. 故t=(1+cosθ)2+cos2θ=1+2cosθ+cos2θ+2cos2θ－1=3cos2θ+2cosθ=3(cosθ+)2－. 由于cosθ∈［－1,1］,所以當(dāng)cosθ=－時(shí),t有最小值－;當(dāng)cosθ=1時(shí),t有最大值5. 12．解：（1）∵， ∴ 。 （2）∵，∴為純虛數(shù)，∴