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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理 新人教版A版
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.
1.命題“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
2.拋物線的準線方程是 ( ).
A. B. C. D.
3. 某雷達測速區(qū)規(guī)定:凡車速大于或等于80 km/h的汽車視為“超速”,并將受到處罰.如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結(jié)果的頻率分布
直方圖,則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有( ?。?
A.20輛
2、 B.40輛 C.60輛 D.80輛
4.雙曲線的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
(第5題)
5.如圖所示,在邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域.在正方形中隨機撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為,則陰影區(qū)域的面積為( )
A. B. C. D.
6.如果方程表示焦點在軸上的橢圓,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7. 已知拋物線,以為中點作拋物線的弦,則這條弦所在直線的
3、方程為( ?。?
A. B. C. D.
8. 已知動圓與圓和圓都外切,則動圓圓心的軌跡是 ( )
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.雙曲線的一支
9. M為拋物線上一動點,F是焦點,P(5,4) 是定點,則當取最小值時點M的橫坐標是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10.已知是雙曲線的兩焦點,以線段為邊作正三角
4、形,若的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
第II卷(非選擇題 共100分)
二、填空題:本大題5小題,每小題4分,共20分。
11.過拋物線的焦點作一條直線交拋物線于兩點,若線段的中點的橫坐標為,則等于 .
12.已知橢圓 + =1的兩個焦點是F1、F2,點P在該橢圓上,若|PF1|-|PF2|=2,則△PF1F2的面積是 .
13.已知點A(0,-1),當點B在曲線y=2x2+1上運動時,線段AB的中點M的軌跡方程是____________.
14.已知:,:,若是
5、的充分不必要條件,則的取值范圍是 .
15.已知兩個點M(-5,0)和N(5,0),若直線上存在點P,使|PM|-|PN|=6,則稱該直線為“B型直線”,給出下列直線:①y=x+1; ②;③y=2;④y=2x+1.其中為“B型直線”的是 .(填上所有正確結(jié)論的序號)
三、解答題:本大題共6小題,共80分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.(本小題13分)
已知中心在原點的雙曲線的一條漸近線方程是,且雙曲線過點
(Ⅰ)求雙曲線的標準方程;
(Ⅱ)過雙曲線右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線于,求.
17.
6、(本小題13分)
已知命題:方程表示焦點在軸上的橢圓,命題:關(guān)于x的方程無實根,若“”為假命題,“”為真命題,求實數(shù)的取值范圍.
18.(本小題13分)
某商場舉行抽獎活動,從裝有編號0,1,2,3四個球的抽獎箱中,每次取出后放回,連續(xù)取兩次,取出的兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎,等于4中二等獎,等于3中三等獎。
(1)求中二等獎的概率;
(2)求未中獎的概率。
19.(本小題14分)
已知頂點在坐標原點,焦點為的拋物線與直線相交于兩點,.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)求的值;
(3)當拋物線上一動點從點到運動時,求面積的最
7、大值.
20.(本小題滿分13分)
已知橢圓的一個頂點為,焦點在軸上,若右焦點到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在斜率為,過定點Q(0,2)的直線,使與橢圓交于兩個不同的點,且?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
21.(本小題滿分14分)
已知橢圓過點,其焦距為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知橢圓具有如下性質(zhì):若橢圓的方程為,則橢圓在其上一點處的切線方程為,試運用該性質(zhì)解決以下問題:
(i)如圖(1),點為在第一象限中的任意一點,過作的切線,分別與軸和軸的正半軸交于兩點,求面積的最小值;
(ii)如圖(2),過橢圓上任意
8、一點作的兩條切線和,切點分別為.當點在橢圓上運動時,是否存在定圓恒與直線相切?若存在,求出圓的方程;若不存在,請說明理由.
圖(1) 圖(2)
高二期中考數(shù)學(xué)(理科)參考答案
一、選擇題(每小題5分,共60分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
B
C
B
D
B
C
二、填空題(每小題4分,共20分)
11. 6 12. 13. 14. 15. ①③
9、
三.解答題:(本大題共6小題,共80分. )
16.解:(1)設(shè)雙曲線方程為:,點代入得:,
所以所求雙曲線方程為:
(2)直線的方程為:,
由 得:,
.
17.
18.解: (1)記試驗的基本事件為(x,y),x,y分別表示第一次和第二次取到的編號,則所有基本事件為(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3
10、)共16個,
設(shè)“中二等獎”的事件為A,其中事件A包含基本事件共3個,
———6分
(2)設(shè)“未中獎”的事件為B ,“兩個小球號碼相加之和等于3”這一事件包括基本事件 共4個,“兩個小球號碼相加之和等于5”這一事件包括基本事件共2個
——————12分
答:略——————13分
19. 解:(1)設(shè)所求的拋物線方程為,根據(jù)題意,
∴所求的拋物線標準方程為. …………2分
(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
由得4x2+4(b-1)x+b2=0, …………3分
Δ=16(b-1)2-16b2>0
11、. ∴. …………5分
又由韋達定理有x1+x2=1-b,x1x2=,
∴= …………7分
即. ∴. …………8分
20. 解:(I)依題意可設(shè)橢圓方程為 ,則右焦點,
由題設(shè):,解得:,
故所求橢圓的方程為. ……… 4分
(II)設(shè)存在直線符合題意,直線方程為,代入橢圓方程得:
, ……… 6分
設(shè),為弦的中點,則
由韋達定理得:
12、, …… 8分
, ……9分
因為 …11分
不符合,所以不存在直線符合題意. … 13分
21. (I)解:依題意得:橢圓的焦點為,由橢圓定義知:
,所以橢圓的方程為. …………… 4分
(II)(?。┰O(shè),則橢圓在點B處的切線方程為
令,,令,所以 …………… 5分
又點B在橢圓的第一象限上,所以
…………… 7分
,當且僅當
所以當時,三角形OCD的面積的最小值為 …………… 9分
(Ⅲ)設(shè),則橢圓在點處的切線為:
又過點,所以,同理點也滿足,
所以都在直線上,
即:直線MN的方程為 ……………12分
所以原點O到直線MN的距離,………… 13分
所以直線MN始終與圓相切. …………… 14分